Université d`Orléans Master de Mathématiques Parcours MA

SOM2MT05
Université d’Orléans
Analyse fonctionnelle approfondie
Master de Mathématiques
Printemps 2013
Parcours MA
Page web :
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF2.html
Espaces semi–normés
Dans ce chapitre transitoire, les démonstrations sont omises.
Cadre : EVN (espace vectoriel normé)
ELC (espace localement convexe)
norme k . k
famille N de semi–normes
Données : E espace vectoriel sur F = R ou C
N famille de semi–normes sur E
Définition : Une semi-norme sur E est une application N : E −→ [ 0, +∞ [ telle que
• N (λ x) = |λ| N (x) ∀ λ ∈ F , ∀ x ∈ E (homogénéité),
• N (x + y) ≤ N (x) + N (y) ∀ x, y ∈ E (inégalité triangulaire).
Remarque : Il manque la condition de non–dégénérescence
• N (x) = 0 =⇒ x = 0
pour que N soit une norme.
Topologie : T topologie engendrée par les semi–boules ouvertes
B(x; N ; r) = { y ∈ E | N (y − x) < r }
avec x ∈ E , N ∈ N , r ∈ ] 0, +∞ [ .
Remarque : (E, T ) est un EVT (espace vectoriel topologique) i.e.
• l’addition (x, y) 7−→ x + y est une application continue de E ×E dans E,
• la multiplication scalaire (λ, x) 7−→ λ x est une application continue de F×E dans E.
Ces EVT sont caractérisés par la propriété suivante :
E possède un système fondamental de voisinages de 0
composé d’ensembles convexes équilibrés absorbants.
Pour cette raison, on les appelle des ELC (espaces localement convexes).
Propriétés des ELC :
• T est la topologie initiale pour la famille d’applications y 7−→ N (y −x) , avec N ∈ N
et x ∈ E.
• Tout ouvert dans la topologie T est une réunion de semi–boules ouvertes
Tk
B(x; N1 , . . . , Nk ; r) = j=1 B(x; Nj ; r) = { y ∈ E | Nj (y − x) < r ∀ 1 ≤ j ≤ k }
avec x ∈ E , N1 , . . . , Nk ∈ N , r ∈ ] 0, +∞ [ .
• Une semi–norme N sur E est continue si et seulement s’il existe des semi–normes
N1 , . . . , Nk ∈ N et une constante C ≥ 0 tels que
Pk
N (x) ≤ C
∀x∈E.
j=1 Nj (x)
′
• Deux familles N et N de semi–normes sur E définissent la même topologie d’ELC
si et seulement si chacune est continue par rapport à l’autre.
Conditions équivalentes, pour une application linéaire T : E −→ F entre ELC :
◦ T est continue,
◦ T est continue à l’origine,
◦ N ◦ T est une semi– norme continue sur E,
pour toute semi–norme continue N sur F ,
Pk
◦ ∀ N ∈ NF , ∃ N1 , . . . , Nk ∈ NE et ∃ C ≥ 0 , ∀ x ∈ E , N T (x) ≤ C
j=1 Nj (x) .
• Un ELC E est séparé si et seulement si, pour tout x ∈ E r {0} , il existe une semi–
norme continue N sur E telle que N (x) > 0 .
• Les différentes versions du theorème de Hahn–Banach sont valables dans le contexte
des ELCS (espaces localement convexes séparés).
• Un ELCS est métrisable si et seulement si sa topologie est définie par une famille
au plus dénombrable de semi–normes.
Exemples : Soit E un EVN.
• La topologie forte sur E est définie par la norme k . kE .
′
• La topologie faible σ(E, E ) sur E est définie par les semi–normes
Nf (x) = |f (x)|
pour tout f ∈ E ′.
′
• La topologie forte sur E est définie par la norme d’opérateur k . kE ′ .
′
′
• La topologie faible σ(E , E) sur E est définie par les semi–normes
Nx (f ) = |f (x)|
pour tout x ∈ E .
′
′′
′
• La topologie faible σ(E , E ) sur E est définie par les semi–normes
Nξ (f ) = |ξ(f )|
pour tout ξ ∈ E ′′.
•
Définition :
Un espace de Fréchet est un ELCM (espace localement convexe métrisable) complet.
Remarques :
• Les espaces de Fréchet sont aux ELCS ce que les espaces de Banach sont aux EVN.
• Le théorème de Baire et ses conséquences s’étendent aux espaces de Fréchet.