Université d`Orléans Master de Mathématiques Parcours MA

Universit´e d’Orl´eans
Master de Math´ematiques
Parcours MA
SOM2MT05
Analyse fonctionnelle approfondie
Printemps 2013
Page web :
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF2.html
Espaces semi–norm´es
Dans ce chapitre transitoire, les d´emonstrations sont omises.
Cadre : EVN (espace vectoriel norm´e) ELC (espace localement convexe)
norme k.k famille Nde semi–normes
Donn´ees : Eespace vectoriel sur F=Rou C
Nfamille de semi–normes sur E
D´efinition : Une semi-norme sur Eest une application N:E−→ [ 0,+∞[ telle que
•N(λ x) = |λ|N(x)∀λ∈F,∀x∈E(homog´en´eit´e),
•N(x+y)≤N(x) + N(y)∀x, y ∈E(in´egalit´e triangulaire).
Remarque : Il manque la condition de non–d´eg´en´erescence
•N(x) = 0 =⇒x= 0
pour que Nsoit une norme.
Topologie : Ttopologie engendr´ee par les semi–boules ouvertes
B(x;N;r) = {y∈E|N(y−x)< r }
avec x∈E,N∈ N ,r∈] 0,+∞[ .
Remarque : (E, T) est un EVT (espace vectoriel topologique) i.e.
•l’addition (x, y)7−→ x+yest une application continue de E×Edans E,
•la multiplication scalaire (λ, x)7−→ λ x est une application continue de F×Edans E.
Ces EVT sont caract´eris´es par la propri´et´e suivante :
Eposs`ede un syst`eme fondamental de voisinages de 0
compos´e d’ensembles convexes ´equilibr´es absorbants.
Pour cette raison, on les appelle des ELC (espaces localement convexes).
Propri´et´es des ELC :
•Test la topologie initiale pour la famille d’applications y7−→ N(y−x) , avec N∈ N
et x∈E.
•Tout ouvert dans la topologie Test une r´eunion de semi–boules ouvertes
B(x;N1,...,Nk;r) = Tk
j=1 B(x;Nj;r) = {y∈E|Nj(y−x)< r ∀1≤j≤k}
avec x∈E,N1,...,Nk∈ N ,r∈] 0,+∞[ .
•Une semi–norme Nsur Eest continue si et seulement s’il existe des semi–normes
N1,...,Nk∈ N et une constante C≥0 tels que
N(x)≤CPk
j=1 Nj(x)∀x∈E.
•Deux familles Net N′de semi–normes sur Ed´efinissent la mˆeme topologie d’ELC
si et seulement si chacune est continue par rapport `a l’autre.

•Conditions ´equivalentes, pour une application lin´eaire T:E−→ Fentre ELC :
◦Test continue,
◦Test continue `a l’origine,
◦N◦Test une semi– norme continue sur E,
pour toute semi–norme continue Nsur F,
◦∀N∈ NF,∃N1, . . . , Nk∈ NEet ∃C≥0 , ∀x∈E,NT(x)≤CPk
j=1 Nj(x) .
•Un ELC Eest s´epar´e si et seulement si, pour tout x∈Er{0}, il existe une semi–
norme continue Nsur Etelle que N(x)>0 .
•Les diff´erentes versions du theor`eme de Hahn–Banach sont valables dans le contexte
des ELCS (espaces localement convexes s´epar´es).
•Un ELCS est m´etrisable si et seulement si sa topologie est d´efinie par une famille
au plus d´enombrable de semi–normes.
Exemples : Soit Eun EVN.
•La topologie forte sur Eest d´efinie par la norme k.kE.
•La topologie faible σ(E, E ′) sur Eest d´efinie par les semi–normes
Nf(x) = |f(x)|
pour tout f∈E′.
•La topologie forte sur E′est d´efinie par la norme d’op´erateur k.kE′.
•La topologie faible σ(E′, E) sur E′est d´efinie par les semi–normes
Nx(f) = |f(x)|
pour tout x∈E.
•La topologie faible σ(E′, E ′′ ) sur E′est d´efinie par les semi–normes
Nξ(f) = |ξ(f)|
pour tout ξ∈E′′.
D´efinition :
Un espace de Fr´echet est un ELCM (espace localement convexe m´etrisable) complet.
Remarques :
•Les espaces de Fr´echet sont aux ELCS ce que les espaces de Banach sont aux EVN.
•Le th´eor`eme de Baire et ses cons´equences s’´etendent aux espaces de Fr´echet.