SOM2MT05 Université d’Orléans Analyse fonctionnelle approfondie Master de Mathématiques Printemps 2013 Parcours MA Page web : http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF2.html Espaces semi–normés Dans ce chapitre transitoire, les démonstrations sont omises. Cadre : EVN (espace vectoriel normé) ELC (espace localement convexe) norme k . k famille N de semi–normes Données : E espace vectoriel sur F = R ou C N famille de semi–normes sur E Définition : Une semi-norme sur E est une application N : E −→ [ 0, +∞ [ telle que • N (λ x) = |λ| N (x) ∀ λ ∈ F , ∀ x ∈ E (homogénéité), • N (x + y) ≤ N (x) + N (y) ∀ x, y ∈ E (inégalité triangulaire). Remarque : Il manque la condition de non–dégénérescence • N (x) = 0 =⇒ x = 0 pour que N soit une norme. Topologie : T topologie engendrée par les semi–boules ouvertes B(x; N ; r) = { y ∈ E | N (y − x) < r } avec x ∈ E , N ∈ N , r ∈ ] 0, +∞ [ . Remarque : (E, T ) est un EVT (espace vectoriel topologique) i.e. • l’addition (x, y) 7−→ x + y est une application continue de E ×E dans E, • la multiplication scalaire (λ, x) 7−→ λ x est une application continue de F×E dans E. Ces EVT sont caractérisés par la propriété suivante : E possède un système fondamental de voisinages de 0 composé d’ensembles convexes équilibrés absorbants. Pour cette raison, on les appelle des ELC (espaces localement convexes). Propriétés des ELC : • T est la topologie initiale pour la famille d’applications y 7−→ N (y −x) , avec N ∈ N et x ∈ E. • Tout ouvert dans la topologie T est une réunion de semi–boules ouvertes Tk B(x; N1 , . . . , Nk ; r) = j=1 B(x; Nj ; r) = { y ∈ E | Nj (y − x) < r ∀ 1 ≤ j ≤ k } avec x ∈ E , N1 , . . . , Nk ∈ N , r ∈ ] 0, +∞ [ . • Une semi–norme N sur E est continue si et seulement s’il existe des semi–normes N1 , . . . , Nk ∈ N et une constante C ≥ 0 tels que Pk N (x) ≤ C ∀x∈E. j=1 Nj (x) ′ • Deux familles N et N de semi–normes sur E définissent la même topologie d’ELC si et seulement si chacune est continue par rapport à l’autre. Conditions équivalentes, pour une application linéaire T : E −→ F entre ELC : ◦ T est continue, ◦ T est continue à l’origine, ◦ N ◦ T est une semi– norme continue sur E, pour toute semi–norme continue N sur F , Pk ◦ ∀ N ∈ NF , ∃ N1 , . . . , Nk ∈ NE et ∃ C ≥ 0 , ∀ x ∈ E , N T (x) ≤ C j=1 Nj (x) . • Un ELC E est séparé si et seulement si, pour tout x ∈ E r {0} , il existe une semi– norme continue N sur E telle que N (x) > 0 . • Les différentes versions du theorème de Hahn–Banach sont valables dans le contexte des ELCS (espaces localement convexes séparés). • Un ELCS est métrisable si et seulement si sa topologie est définie par une famille au plus dénombrable de semi–normes. Exemples : Soit E un EVN. • La topologie forte sur E est définie par la norme k . kE . ′ • La topologie faible σ(E, E ) sur E est définie par les semi–normes Nf (x) = |f (x)| pour tout f ∈ E ′. ′ • La topologie forte sur E est définie par la norme d’opérateur k . kE ′ . ′ ′ • La topologie faible σ(E , E) sur E est définie par les semi–normes Nx (f ) = |f (x)| pour tout x ∈ E . ′ ′′ ′ • La topologie faible σ(E , E ) sur E est définie par les semi–normes Nξ (f ) = |ξ(f )| pour tout ξ ∈ E ′′. • Définition : Un espace de Fréchet est un ELCM (espace localement convexe métrisable) complet. Remarques : • Les espaces de Fréchet sont aux ELCS ce que les espaces de Banach sont aux EVN. • Le théorème de Baire et ses conséquences s’étendent aux espaces de Fréchet.