DROITES DANS LE PLAN REPÉ R É

DROITES DANS LE PLAN REP É R É
1 ) É QUATION R É DUITE D'UNE DROITE
Le plan est muni d’un repère
O,I,J
Propriété :
•Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme
x=k
où
k
est un réel.
•Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme
y=ax b
où
a
et
b
sont des réels.
Dans les deux cas, l'équation est appelée équation réduite de la droite.
Remarque : Pourquoi dit-on une équation ?
Une équation de droite dans le plan repéré est une égalité liant l'abscisse et l'ordonnée d'un point
M
quelconque de la droite.
Cette égalité permet de caractériser le fait que
M
appartienne à la droite.
Ainsi toute droite admet une infinité d'équations, appelées équations cartésiennes de la droite.
Les équations suivantes sont des équations de la même droite :
y=2x1
⇔
–2xy – 1=0
⇔
2x – y 1=0
⇔
4x – 2y2=0
...
L'équation réduite est unique.
La droite
d
a pour équation
y=ax b
signifie que
d
est l'ensemble des points de coordonnées
x;ax b
2 ) COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE
Définition :
Soit
d
une droite non parallèle à l'axe des ordonnées admettant une équation de la forme
y=ax b
où
a
et
b
sont des réels.
•Le nombre
a
s'appelle le coefficient directeur de la droite.
•Le nombre
b
s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite.
Propriété :
La droite d'équation
y=ax b
est parallèle à la droite d'équation
y=ax
.
Exemple :
Droites dans le plan repéré – auteur : Pierre Lux - page 1/2
d’: y = 2 x
d : y = 2 x + 3
Ordonnée à l’origine :
b = 3
Coefficient directeur :
a = 2
La droite
d ’
, d’équation
y
=2x
, est parallèle à la droite
d
, d’équation
y=2x3
Le coefficient directeur est 2.
Il indique l’accroissement de
y
pour un accroissement de
x
égal à 1.
L’ordonnée à l’origine est 3.
Elle indique l’ordonnée du point d’intersection de la droite
d
avec l’axe des ordonnées.

Remarque :
Le coefficient directeur de la droite
d
, d’équation
y
=ax b
, indique :
•la direction de
d
:
si
a=0
,
d
est parallèle à l’axe des abscisses
si
a0
,
d
« monte » de la gauche vers la droite
si
a0
,
d
« descend » de la gauche vers la droite
•l’inclinaison de
d
par rapport à l’axe des abscisses
3 ) DROITES PARALL È LES ET DROITES SECANTES
Propriété :
Soit les droites
d
et
d '
d'équations respectives
y=ax b
et
y=a ´ x b '
où
a
,
b
,
a '
et
b '
sont des réels . On a :
d
//
d '
⇔
a=a '
Preuve :
•Supposons que
d
//
d '
.
D'après la propriété précédente,
d
est parallèle à la droite
:y=ax
et
d
´est parallèle à
':y=a ' x
.
On en déduit que //
'
.
Comme et
'
passent par l'origine du repère, on déduit qu'elles sont confondues.
Ainsi
a=a '
•Supposons que
a=a '
.
D'après la propriété précédente, les droites
d
et
d '
sont parallèles à la droite
:y=ax
.
On en déduit que
d
//
d '
.
Remarque :
Si deux droites sont sécantes, pour déterminer les coordonnées du point d'intersection, on peut résoudre le système formé à partir des équations
des deux droites.
Droites dans le plan repéré – auteur : Pierre Lux - page 2/2
En raisonnant par contraposée, on en
déduit que
d
et
d '
sont sécantes si et
seulement si
a≠a '
.