DROITES DANS LE PLAN REPÉ R É

DROITES DANS LE PLAN REPÉRÉ
1 ) ÉQUATION RÉDUITE D'UNE DROITE
Le plan est muni d’un repère  O , I , J 
Propriété :
•
Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme x = k où k est un réel.
•
Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme y = ax  b où a et b sont des réels.
Dans les deux cas, l'équation est appelée équation réduite de la droite.
Remarque : Pourquoi dit-on une équation ?
Une équation de droite dans le plan repéré est une égalité liant l'abscisse et l'ordonnée d'un point M quelconque de la droite.
Cette égalité permet de caractériser le fait que M appartienne à la droite.
Ainsi toute droite admet une infinité d'équations, appelées équations cartésiennes de la droite.
Les équations suivantes sont des équations de la même droite : y = 2 x  1 ⇔ – 2 x  y – 1= 0 ⇔ 2 x – y  1= 0 ⇔ 4 x – 2 y  2 = 0 ...
L'équation réduite est unique.
La droite d a pour équation y = ax  b signifie que d est l'ensemble des points de coordonnées  x ; ax b 
2 ) COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE
Définition :
Soit d une droite non parallèle à l'axe des ordonnées admettant une équation de la forme y = ax  b où a et b sont des réels.
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Le nombre a s'appelle le coefficient directeur de la droite.
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Le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite.
Propriété :
La droite d'équation y = ax  b est parallèle à la droite d'équation y = ax.
Exemple :
Ordonnée à l’origine :
b=3
d’: y = 2 x
Coefficient directeur :
a=2
La droite d ’ , d’équation y = 2 x , est parallèle à la droite d , d’équation y = 2 x  3
d:y=2x+3
Le coefficient directeur est 2.
Il indique l’accroissement de y pour un accroissement de x égal à 1.
L’ordonnée à l’origine est 3.
Elle indique l’ordonnée du point d’intersection de la droite d avec l’axe des ordonnées.
Droites dans le plan repéré – auteur : Pierre Lux - page 1/2
Remarque :
Le coefficient directeur de la droite d , d’équation y = ax  b , indique :
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la direction de d :
si a= 0 , d est parallèle à l’axe des abscisses
si a 0 , d « monte » de la gauche vers la droite
si a 0 , d « descend » de la gauche vers la droite
•
l’inclinaison de d par rapport à l’axe des abscisses
3 ) DROITES PARALLÈLES ET DROITES SECANTES
Propriété :
Soit les droites d et d ' d'équations respectives y = ax  b et y = a ´ x  b ' où a , b , a ' et b '
sont des réels . On a :
d// d ' ⇔ a= a '
En raisonnant par contraposée, on en
déduit que d et d ' sont sécantes si et
seulement si a≠ a ' .
Preuve :
•
Supposons que d // d ' .
D'après la propriété précédente, d est parallèle à la droite  : y = ax et d´est parallèle à  ' : y = a ' x .
On en déduit que  //  '.
Comme  et  ' passent par l'origine du repère, on déduit qu'elles sont confondues.
Ainsi a= a '
•
Supposons que a= a ' .
D'après la propriété précédente, les droites d et d ' sont parallèles à la droite  : y = ax .
On en déduit que d // d ' .
Remarque :
Si deux droites sont sécantes, pour déterminer les coordonnées du point d'intersection, on peut résoudre le système formé à partir des équations
des deux droites.
Droites dans le plan repéré – auteur : Pierre Lux - page 2/2