Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 6 – Géométrie dans l

Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 8 – Lois à densité
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Loi uniforme – cas discret
On joue avec un dé équilibré que l’on
lance une fois. La variable aléatoire
X
prend les valeurs du numéro
obtenu. Ainsi pour tout entier
16k
on a :
1
6
p X k
.
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Du discret au continu
On étudie la loi de probabilité d’une variable
aléatoire correspondant au choix d’un nombre
réel dans l’intervalle
0;10
.
Soit
Y
la variable aléatoire qui correspond au
tirage au hasard d’un nombre d’au plus 14
décimales de l’intervalle
0;10
. Quelle est la
taille de l’univers de cette expérience aléatoire ?
3,72454225940462pY
?
5pY
?
Soit
X
la variable aléatoire qui correspond au
tirage au hasard d’un nombre réel de
l’intervalle
0;10
. On admet qu’il existe une
infinité de réels dans cet intervalle. Que vaut
5pX
?
2pX
?
pX
?
Probabilité d’un intervalle
On simule sur un tableur 10000 tirages d’un nombre
x
de
l’intervalle
0;10
à l’aide de la fonction « 10*ALEA() » et on
affiche les fréquences des événements suivants : «
2;x
»
et «
3 2;3x
». Quelle observation peut-on faire sur
les fréquences affichées ? Quelle similitude des deux intervalles
considérés permet d’expliquer cette remarque ?
Que vaut
2pX
, que vaut
3 2 3pX
?

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Probabilité et calcul d’aire
On simule sur un tableur 10000 tirages d’un nombre
x
de l’intervalle
0;10
à l’aide de la
fonction « 10*ALEA() ». L’histogramme ci-dessous représente les fréquences
k
f
des dix
événements suivants :
;1x k k
.
1. Conjecturer
;1p X k k
pour tout entier
09k
.
2. Le tableur présente une « courbe de tendance » qui « lisse » l’histogramme.
Quelle est cette fonction dans le cadre de cette simulation ? On la notera
f
.
3. Que vaut nécessairement
0;10pX
. Comparer avec
10
0f t dt
.
4. Conjecturer
;p X a b
pour tout réel
0 10ab  
. Comparer avec
b
af t dt
.
De nouveaux univers
Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini et une variable aléatoire X
prenait un nombre fini de valeurs. La loi de probabilité de X se définissait alors par la donnée des
probabilités de toutes les valeurs. Mais il arrive que les issues d’une expérience aléatoire ou les
valeurs prises par une variable aléatoire puissent être n’importe quel nombre d’un intervalle I…
Adaptation du modèle
Lorsqu’une variable aléatoire X prend pour valeurs les réels d’un intervalle I, sa loi de probabilité,
dite « continue », n’est plus associée à la probabilité de chacune de ses valeurs mais à la
probabilité d’intervalles inclus dans I. C’est par un calcul d’aire sous la courbe d’une fonction
propre à chaque loi, appelée « densité », que s’opèrent ces calculs.

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La loi uniforme
Une variable aléatoire
X
suit une loi uniforme sur l’intervalle
;ab
notée
;ab
U
si pour tous
réels
u
et
v
de l’intervalle
;ab
tels que
uv
on a :
1
v
u
vu
p u X v dt
b a b a
.
La fonction constante
f
définie sur
;ab
par
1
fx ba
est appelée fonction de densité
de la loi uniforme
;ab
U
.
Propriétés
;1p a X b p X a b    
,
 Pour tout
;x a b
,
0p X x
,
 L’espérance mathématique de
X
est
2
b
a
ab
E X t f t dt 
Démonstrations
Proposer une démonstration des trois propriétés énoncées ci-dessus.
Modéliser par une loi uniforme
Dans chacune des situations suivantes, préciser la variable aléatoire et indiquer si le choix d’une
variable aléatoire paraît pertinent.
 Situation 1 : sur un tableur l’instruction « 8*ALEA()+1 » renvoie un nombre réel
x
.
 Situation 2 : la montre de Monsieur Z tombe en panne et on repère la position de la
grande aiguille au moment de l’arrêt par la mesure du secteur angulaire balayé par cette
aiguille depuis la position « midi ».
 Situation 3 : dans une maternité, on a observé que la taille à la naissance d’un nouveau né
est dans l’intervalle [33 ; 58] avec une moyenne de 50,2 centimètres. Sur un dossier pris au
hasard, on relève la taille de naissance…
Dans la situation 1, calculer la probabilité de l’événement suivant : « le nombre affiché est
inférieur ou égal à ». Dans la situation 2, calculer la probabilité des événements suivants : « la
grande aiguille s’est arrêtée sur la marque correspondant à 15 minutes », « la grande aiguille s’est
arrêtée entre les marques correspondant à 5 minutes et 30 minutes ».
Exercice d’application directe
Sur un tableur de l’instruction « 9*ALEA()-2 » renvoie au hasard un nombre réel
x
. On modélise
le tirage de ce nombre par la variable aléatoire
X
. Préciser la loi de probabilité. Calculer la
probabilité des événements suivants :
0X
;
2X
;
13X  
;
Xx
avec
22 3 0xx  
.

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Feu tri(bi)colore
A un feu tricolore, le signal destiné aux piétons est vert pendant 45 secondes et rouge pendant
105 secondes, en alternance. A 12 heures, le feu se met au rouge et un piéton se présente à un
instant au hasard entre 12 heures et 12 h 05 pour traverser. La variable aléatoire T qui donne le
temps écoulé, en secondes, entre 12 heures et l’heure d’arrivée du piéton suit une loi uniforme sur
I = [0 ; 300]. Calculer la probabilité que le piéton :
 Trouve le feu vert et traverse sans attendre,
 N’attende pas le feu vert plus de 15 secondes,
 Attende le feu vert plus de 30 secondes.
Rater son bus
Martin arrive tous les matins entre 7h15 et 7h35 à son arrêt de bus. On considère que son heure
d’arrivée à cet arrêt est une variable aléatoire suivant une loi uniforme, notée X, sur I = [15 ; 35].
Le bus qu’il attend passe à 7h puis toutes les 10 minutes précisément jusqu’à 8h.
 Quelle est la probabilité que Martin attende moins de 5 minutes le prochain bus ?
 S’il rate le bus de 7h30, Martin arrive en retard à l’école.
Quelle est la probabilité qu’il soit en retard ?
Paquets de céréales
Sur les paquets de céréales, la masse indiquée est de 375 g. Statistiquement, on n’a jamais trouve
de paquet pesant moins de 365 g et plus de 385 g. A l’intérieur de cette fourchette, on estime que
les masses sont uniformément réparties.
 Déterminer la densité de X, variable aléatoire continue modélisant la masse d’un paquet.
 Que représente 375 g pour la loi de X ?
 Calculer la probabilité qu’un paquet de céréales ait une masse entre 365 et 370 g ?
Quand le zébu a bu…
Dans un parc national, un guide accompagne chaque soir un groupe pour observer des zébus
venant s’abreuver dans un lac au coucher du soleil. On suppose que le temps d’attente du groupe
avant l’arrivée des animaux est compris entre 0 et 2 heures 30. On le modélise, en minutes, par
une variable aléatoire T de loi uniforme sur [0 ; 150]. Calculer les probabilités suivantes :
20pT
45pT
45 60pT
90pT
Le groupe attend en vain depuis 50 minutes. Quelle est la probabilité d’avoir
60T
?

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Vers la loi exponentielle
Le fonctionnement naturel des humains et des animaux suit la loi du vieillissement ou de
l'usure : on n'a pas la même probabilité de vivre 40 ans de plus lorsque l'on vient de naître ou
lorsque l'on vient d’avoir 50 ou 60 ans… La plupart des phénomènes naturels sont soumis au
processus de vieillissement.
Il existe cependant des phénomènes où il n'y a pas de vieillissement ou d'usure. Il s'agit en
général de phénomènes accidentels. Par exemple, pour un verre en cristal, la probabilité d'être
cassé dans les cinq ans ne dépend pas de sa date de fabrication, de son âge.
Il s'agit ici d'étudier des objets ou phénomènes physiques pour lesquels, la probabilité d'être
encore en vie ou de ne pas tomber en panne avant un délai donné sachant que l'objet est en bon
état à un instant
t
ne dépend pas de
t
.
Durée de vie sans vieillissement
On considère un matériel électronique dont le temps de fonctionnement exprimé en années,
est modélisé par une variable aléatoire
T
prenant ses valeurs dans l’intervalle
0;
.
On a simulé 10000 temps de fonctionnement (appelé également durée de vie) de ce matériel.
Pour visualiser les données on les a regroupées en 24 classes d’amplitude 5 présentées ci-dessous :
 Estimer
20pT
.
En déduire
20pT
.
 Estimer
30pT
.
En déduire
30pT
.
 Estimer
10pT
.
En déduire
10pT
.
 Calculer
10 30 T
pT
.
Comparer à
20pT
.
Quelle remarque faîtes-vous ?
 Calculer
15 35 T
pT
.
Calculer
20 40 T
pT
.
Quelle remarque faîtes-vous ?
Regroupement en classes