Sur les méthodes de projection de moments angulaires

Sur les méthodes de projection de moments angulaires
J. Raynal
To cite this version:
J. Raynal. Sur les méthodes de projection de moments angulaires. Journal de Physique, 1970,
31 (1), pp.3-13. <10.1051/jphys:019700031010300>. <jpa-00206876>
HAL Id: jpa-00206876
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Submitted on 1 Jan 1970
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LE
Journal
DE
TOME
PHYSIQUE
SUR LES
MÉTHODES
DE
PROJECTION
Par
Service de
Physique Théorique,
3
DE MOMENTS ANGULAIRES
J. RAYNAL,
Centre d’Études Nucléaires de
(Reçu
31, JAXYIER 1970,
le 26 août
Saclay,
B.P. n° 2,
9I-Gif-sur-Yvette,
France.
1969.)
Résumé. 2014 Dans la méthode de projection par des rotations finies, on doit calculer des
fonctions des angles pour les normalisations et pour tout opérateur étudié. Leur calcul pour
un déterminant de Slater est décrit dans le formalisme de la seconde quantification. Nous discutons le nombre minimum de points pour lequel ces fonctions doivent être calculées. La méthode
des opérateurs de rotation infinitésimale donne directement un système d’équations linéaires
dont Löwdin a donné la solution pour un opérateur scalaire. Cette solution est généralisée à un
opérateur tensoriel. En introduisant des fonctions génératrices, on ramène cette seconde méthode
à la première qui serait utilisée avec des rotations généralisées. Ainsi, on peut démontrer la formule de Löwdin et comprendre le formalisme de Shapiro. Le passage d’une méthode à l’autre
permet d’obtenir des résultats dans des cas extrêmes où ni l’une ni l’autre ne permettraient de
les obtenir.
The projection method with finite rotations, deals with angular functions for
Abstract.
normalizations and any operator under study. Their computation for a Slater determinant
is derived in the framework of the second quantization formalism. The minimum number
of points where these functions must be known is discussed in details. The method which uses
infinitesimal rotation operators, leads directly to a set of linear equations, of which Löwdin gave
a solution for a scalar operator.
This solution is generalized for a tensor operator. Using generating functions, the second method can be shown to be the first one used with a generalized
rotation. This way, Löwdin’s formula can be demonstrated and Shapiro’s formalism
understood. In some cases, the use of the two methods provides results which cannot be
obtained by any one alone.
2014
1. Introduction.
Les méthodes de projection
été étudiées pour être appliquées au schéma
allongé [1, 2]. Elles ont été nécessaires pour évaluer
les conséquences d’une approximation qui permet
d’obtenir des formules très simples [3, 4] et pour le
comparer [5] au schéma de séniorité dans des cas
non encore étudiés [6]. Bien que cette étude soit aussi
générale que possible, elle a été orientée par les difficultés rencontrées dans ces applications.
Les méthodes de projection avec des rotations
finies et avec des opérateurs de rotation infinitésimale
seront présentées l’une après l’autre avant d’étudier
les relations qui existent entre elles.
La première [7, 8] est largement utilisée. C’est la
meilleure pour projeter un déterminant de Slater [9] ;
les fonctions d’onde à une particule n’ont pas forcément un bon moment angulaire : une méthode pour
les fonctions propres de l’oscillateur harmonique anisotrope est donnée dans l’appendice A. On obtient
une fonction des angles de rotation pour tout opérateur ; cette fonction doit être analysée comme une
somme de polynômes de Legendre (ou, plus généralement, d’éléments de matrice de rotation) ; les coefficients de ces polynômes sont les éléments de matrice
de l’opérateur. Habituellement, cette analyse est faite
par une intégration. Nous préférons choisir certains
angles et résoudre un système d’équations linéaires.
Cependant, si on préfère mener tout le calcul avec
des fonctions, la méthode décrite dans l’appendice B
-
ont
permet d’obtenir directement les coefficients des
polynômes.
La seconde méthode, qui n’est pas aussi largement
utilisée que la première, a été développée par Kelson [10] ; en principe, elle ne peut être utilisée que si
le nombre de moments angulaires est fini. Elle conduit
à un système d’équations linéaires dont la solution
a été donnée par Lôwdin [11] pour un opérateur
scalaire. Une solution analogue est donnée pour des
opérateurs tensoriels.
En introduisant une fonction génératrice pour le
système d’équations obtenu avec un opérateur de
rotation infinitésimale, cette méthode peut se ramener
à la première, mais utilisée avec des rotations généralisées. Ainsi, la même fonction est calculée point par
point dans la première méthode, alors que la deuxième
la définit par son développement en série. Les rotations
généralisées ont des éléments de matrice de rotation
ayant certaines propriétés des rotations ordinaires
et s’exprimant aussi avec les polynômes de Jacobi;
les relations d’orthogonalité des polynômes de Jacobi
permettent de démontrer la formule de Lôwdin. Cette
méthode est équivalente au formalisme de Shapiro [12]
qui utilise ces mêmes polynômes sous leur nom de
fonction hypergéométrique. L’emploi des fonctions
génératrices permet d’utiliser la méthode des opérateurs de rotation infinitésimale, même si le nombre
de moments angulaires n’est pas fini, sous certaines
conditions de convergence.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019700031010300
4
2. Projection par la méthode des rotations finies.
Considérons un étant ) ) qui n’ait pas un bon moment
angulaire mais qui soit fonction propre de l’opérateur I, de rotation autour de l’axe de quantification
avec la valeur propre m. On peut l’écrire comme une
somme d’états propres du moment
angulaire1 lm > ::
En projetant sur l’état 1 >,
des angles d’Euler :
Si 1 >
qui
-
les amplitudes aI
Notre but est d’étudier
les propriétés des états1 lm > sans connaître explicitement leur fonction d’onde. On peut le faire avec
des opérateurs de rotation. Dans la première méthode,
l’opérateur de rotation finie R(oc, ~, y) est appliqué
sur
l’état 1 >; dans la deuxième, on utilise les opérateurs de rotation infinitésimale I + ou 1_.
sont
et
lesIm ~
définies à
une
sont
normalisés,
phase près.
2 . l. FONCTION NORMALISATION ET ÉNERGIE.
L’opérateur de rotation, appliqué sur l’état~, donne :
-
ce
qui
donne le
produit 1 a,2 EI.
2.2. PROJECTION D’UN DÉTERMINANT DE SLATER.
Considérons l’état 1 > décrit dans le formalisme de la
seconde quantification par :
-
1
..
...
,
1
,
1-.
-,
obtient
une
fonction
le recouvrement entre l’état 1) et le même
a subi la rotation (cc, ~3, y). Cette fonction,
que nous appellerons fonction normalisation, doit
être analysée pour obtenir les 1 al 12 (voir § 2.3).
Pour calculer les éléments de matrice réduits d’un
opérateur tensoriel irréductible T’, il faut définir
(2k + 1) fonctions des angles d’Euler. Chacune d’elles
est obtenue en faisant agir une des composantes de
l’opérateur tensoriel sur l’état tourné (2.2) et en prenant le produit scalaire avez
état
est
qui
Les éléments de matrice réduits du tenseur sont obtenus à
de rotation :
Par exemple, si T k est l’opérateur quadrupolaire, les
éléments de matrice diaconaux 1 [1 T k 1Il sont
les moments quadrupolaires des états1 lm) :: ils
sont parfaitement déterminés car [al [2 est donné par
la fonction normalisation ; les éléments non diagonaux
permettent d’obtenir les BE2 : ils sont connus à un
signe près qui est une phase commune aux éléments
de matrice réduits de tous les opérateurs tensoriels
entre les états[1) et[l’).
Le cas le plus important est celui de l’opérateur
scalaire qu’est l’hamiltonien. Pour calculer les énergies, il faut analyser la fonction énergie :
on
partir
des coefficients des éléments de matrice
tation. Le second membre de l’équation (2.8) n’est
autre que le déterminant d’une matrice M(~x, ~, y)
dont les éléments sont les fonctions normalisation à unf
particule f.LiR (a, ~, y)~,~ ~ qui seraient utilisées
pour projeter un état quelconque à une seule particule formé avec les éléments du déterminant de
Slater. Par conséquent :
La fonction
s’écrit :
(2.4)
relative à
un
opérateur tensoriel
La somme sur f.L est restreinte aux états présents
dans le déterminant de Slater, tandis que la somme
sur ti’ s’étend à tout l’espace généré par leur rotation.
Si les états à une particule sont fonctions propres de
l’oscillation harmonique anisotrope, la somme sur ~/
est infinie. En commutant l’opérateur d’annihilation et l’opérateur de rotation, on obtient :
le vide et a~ l’opérateur de création d’une
dans un état qui n’est pas forcément état
propre de 12 ni de Iz. Le théorème de Wick permet
où0 ~
est
particule
d’écrire :
est le
En effet, le calcul
R(a, ~3, y)
même que celui de N(oc, ~, y), sauf que l’état [1.’ a
été supprimé dans le ket et l’ éta t [1. dans le bra.
C’est donc un mineur de la matrice M(a, ~3, y) ; il
de ( )a~
L’ensemble ~t’ 2, - .., ~C~,,) est le même que l’ensemble (~,1, P-21 - - ., ~.1~,,) et P est la parité de la permu-
a (1. , 1 >
5
les éléments de la matrice inverse
s’annule
N (oc, ~3, Y)
pas. Dans l’équation (2.11)
apparaît la fonction relative à l’opérateur étudié pour
un état à une seule particules
pL )1 T’R(oc, ~, y)~/ )~.
Cette quantité peut être difficile à évaluer, mais il
faut considérer que les sommations sur ~L et ~t’ sont
limitées aux états présents dans le déterminant de
Slater. L’emploi de la formule (2.11) est justifié si la
dimension de l’espace généré par la rotation est beaucoup plus grande que celle du déterminant [13].
Sinon, il est préférable d’utiliser :
peut s’exprimer
si
avec
ne
où les
sommes sur ~ et [1.’ portent sur les états occupés
celle sur ~," sur les états inoccupés. Le résultat
de la somme sur f.L’ peut être obtenu directement
comme solution d’un système d’équations linéaires.
Si l’hamiltonien contient une interaction résiduelle
à deux corps, il lui correspond une fonction V(oc, ~3, y)
qui peut s’exprimer avec les fonctions analogues d’un
problème à deux particules :
et
Si le déterminant de
s’annule pas :
la
matrice
Si les états à une particule ont un bon moment
angulaire, on peut utiliser les éléments de matrice
particule-particule de l’interaction résiduelle :
rotation donnée. On peut utiliser les relations d’orthogonalité entre éléments de matrice de rotation pour
extraire leurs coefficients. Ainsi, pour la fonction normalisation :
Les intégrations sur oc et y sont triviales si une seule
valeur de m est présente. Pour ~, la méthode de Gauss
semble particulièrement indiquée [13].
Si le plus grand moment angulaire présent est J,
l’intégrant de l’équation (2.16) est un polynôme de
degré I + J; on obtient le résultat exact en employant
la méthode de Gauss qui utilise les À zércs du polynôme de Legendre Px avec 2~, plus grand ou égal
à I ~- J ~-- 1. Pour extraire toutes les normalisations,
il faut calculer la fonction en j + 1 points. Si, pour
certaines raisons, le nombre de moments angulaires
est inférieur à j + 1, le nombre de valeurs nécessaires
est réduit en conséquence. Ainsi, si tous les moments
angulaires sont pairs, la fonction est symétrique par
rapport à ~
nf2; si m est différent de zéro, on
les
utiliser
zéros
du polynôme de Jacobi P J ~ mm~l.
peut
Par conséquent, si le nombre de moments angu=
laires est fini, il faut évaluer la fonction normalisation
pour le même nombre de valeurs de ~3. On peut aussi
résoudre le système d’équations linéaires (2.3), ce
qui donne plus de liberté pour le choix des valeurs
de ~. Par exemple, dans le schéma allongé, ni = 0 et
les valeurs du moment angulaire sont 0, 2, 4, ..., 7~~,
soit N valeurs. Les valeurs de ~ doivent être choisies
entre 0 et n/2; nous les avons prises équidistantes
parce que la densité des zéros des polynômes de
Legendre est uniforme en ~3. En résolvant le système
d’équations linéaires avec la méthode du pivot maximum, l’erreur sur le résultat est de l’ordre de l’erreur
sur les fonctions normalisation et énergie. D’autre
décroissent rapidement lorsque I augpart, les
mente, et peuvent devenir inférieurs aux erreurs de
calcul; si on ne tient pas compte des moments angulaires élevés, en réduisant la dimension du système
d’équations linéaires, les erreurs supplémentaires sont
très faibles. On peut donc appliquer cette méthode
même si le nombre de moments angulaires est infini.
Cette propriété est à rapprocher d’une propriété analogue de la méthode d’intégration de Gauss qui permet
de l’utiliser, même si l’intégrant est un polynôme de
I al j2
une formule analogue à (2.12) peut être plus
simple. Avec des états propres de l’oscillateur harmonique anisotrope, ces fonctions doivent être calculées
mais
directement.
2.3. CALCUL DES AMPLITUDES ET DES ÉNERGIES.
Si l’état à projeter est un déterminant de Slater et si
les éléments de la matrice M(oc, ~3, y) peuvent s’exprimer avec des éléments de matrice de rotation, le
calcul du déterminant et de la matrice inverse peut
se faire en terme d’éléments de matrice de rotation
(voir appendice B). Les fonctions normalisation et
énergie sont obtenues comme des sommes d’éléments
de matrice de rotation dont les coefficients sont respectivement lesaI 2 et les 1 al 2 Ei. On peut aussi
considérer les éléments de matrice comme des poly-
Î
nômes
en
sin 2 03B22 par
/
énergie
exemple ;
on
obtient pour les
fonctions normalisation et
des polynômes qui
doivent être analysés comme sommes d’éléments de
matrice de rotation.
Mais l’état à projeter n’est pas toujours un déterminant de Slater. Supposons que l’on sache calculer
explicitement les fonctions des angles d’Euler définies
par les équations (2.3), (2.4) et (2.6) pour une
degré trop grand.
L’utilisation d’un système d’équations linéaires à
place d’une intégration ne constitue pas un changement important dans le cas d’une symétrie axiale.
S’il n’y a pas d’axe de symétrie, cela paraît la seule
méthode possible pour projeter en calculant les fonctions au minimum de points.
la
Si
2.4. ÉTAT SANS SYMÉTRIE AXIALE.
n’a pas d’axe de symétrie [14], à chaque valeur propre
de 7~ correspond une « bande » définie par son nombre
quantique K. Le développement (2 .1 ) doit être remplacé par :
-
Le nombre
quantique magnétique
de l’état
l’état 1 )
6
ce
à K, mais il peut
est
toutes les valeurs de
I à I après rotation. Ces états
ne sont pas orthogonaux, mais :
de
développement
égal
prendre
-
nkK’ est une
gonal unité. La
où
et
la fonction
matrice hermitique d’élément diafonction normalisation est :
états 1 = 2,
états 1 = 5
.
3, trois états 1 = 4, deux
quatre états 1 = 6. Avec 10 valeurs
7U
TU
27r 3n
/
=
et y = 0, 7 ’ 7 ’ 303C0/7
=
2’
rx
détermine
inconnues
.
.
des
état I
un
et
fonctions
avec
et on obtient
y), on
quatre
six relations entre les autres inconnues en utilisant
une formule semblable à (2.21). Avec 9 autres valeurs
oe a
énergie :
’-’
Pour chaque valeur de I, la matrice hermitique
a;KI aIR EJe R doit être diagonalisée avec la métrique
définie par la matrice a;RI am nIe ~.
Si le moment angulaire est limité à J et si on ne
tient compte d’aucune symétrie, le nombre d’éléments
de matrice de rotation des équations (2.19) et (2.20)
est
+ 1)) ( 2 J + 2)) ( 2 J + 3). En faisant
6 (2J
varier 03B2, on ne peut obtenir que (2 J + 1) relations
de J-
leurs coefficients. Il faut donc utiliser ~x et y.
On peut procéder de la façon suivante : pour une
première valeur de ~, les fonctions 7V (o~ ~ y) et
j5’((x, ~3, y) sont calculées à (2 J + 1) valeurs de oc et
de y équidistantes entre 0 et 27U. On obtient alors :
entre
- ,
’-’
1
les valeurs impaires de I; en tenant compte
des inconnues déjà déterminées et des relations déjà
obtenues, on obtient huit inconnues supplémentaires
et sept relations parmi les douze inconnues restantes.
2n
Enfin, quatre calculs pour 03B2 = 03C0/6 avec 03B1 y 0, 3
27r
2n
et un dernier calcul pour
et 03B1
paires
et
3
=
- 3 03B3 = + 203C0/3
~ ==
0 donnent des relations
des
équations (2.3)
équidistants.
3.
,
Projection
et
par les
(2.6)
.
,
,
inconnues du type
écrites pour des angles
entre
opérateurs de rotation infinité-
Nous considérons de nouveau un état
propre de I, avec la valeur propre m. Le cas d’état
sans symétrie axiale sera examiné brièvement en fin
de paragraphe.
simale.
3.1.
--
ÉQUATIONS DE NORMALISATION ET D’ÉNERGIE.
-
Supposons m positif (si m était négatif, on utiliserait I_
au lieu de 1+). L’opérateur I, est appliqué n fois sur
l’état (2.1) pour obtenir Fêtâtn ) :
Io est la plus grande des deux valeurs 1 K 1 etK’ I .
Parmi les sommes du premier membre de l’équation (2.21), il y en a 8 J qui ne contiennent qu’un
seul terme. Par conséquent, pour une seconde valeur
de ~3, on n’a besoin que de (2 J -1 ) valeurs de x
et y. On peut corriger N(oc, ~, y) en utilisant les
inconnues déjà déterminées, ou on peut noter que la
formule (2.21) ne sépare pas K == ] de K == - J + 1
si on utilise (2 J -1 ) valeurs de oc et de y. De proche
en proche, on obtient tous les coefficients des éléments
de matrice de rotation comme solutions de systèmes
d’au plus 1 + 1 équations linéaires en calculant les
fonctions en un minimum de points.
Si le moment angulaire n’est pas limité, une limite
supérieure valable au moins pour K peut être obtenue
en choisissant J’ assez grand et en calculant :
où
En fait, les fonctions 7V ((X; ~ y) et E(~x, ~, y) possèdent un certain nombre de symétries qui se traduisent par une diminution très importante du nombre
des coefficients des éléments de matrice de rotation.
6 et des états pairs, il n’y a
Par exemple, pour J
de 455 données par la
lieu
au
inconnues
24
que
formule générale. Il existe [15] un état 1
0, deux
L’état 1 n ) n’est pas normalisé ; au contrainre,1 Im + n >
est normalisé : c’est l’état1 lm > de la décomposi-
tion (2 .1 ~ dont le nombre quantique magnétique a
été augmenté de n unités.
Si la somme sur I est limitée à la valeur J, les
états1 n > sont en nombre fini et correspondent à n
allant de 0 à J - m. La méthode de projection avec
les opérateurs de rotation infinitésimale ne s’applique
que dans ce cas.
Le calcul explicite de la norme Nn de l’état ~1 n >
donne une équation pour les amplitudes a, :
,- .-J
Les informations sur l’état à projeter contenues
dans l’ensemble des Nn sont équivalentes à celles de la
fonction N(a, ~, y) qui a été définie pour la projection
par des rotations finies. De même, à la fonction énergie
correspondent les valeurs moyennes de l’hamiltonien
On obtient le système d’équations
dans les
suivant :
états 1 n >.
=
=
qui permet de
calculer les
énergies EI.
7
3.2. CALCUL DES AMPLITUDES ET DES ÉNERGIES.
Les systèmes d’équations linéaires (3.2) et (3.3) sont
triangulaires : le nombre de termes de la somme des
seconds membres décroît lorsque rc croît. Elles peuvent
être résolues par élimination successive. Les énergies
des états ayant les plus grands moments angulaires
sont obtenues avec le plus de précision car leur calcul
nécessite moins d’opérations. Pour les faibles moments
angulaires, on peut espérer qu’une inversion algébrique serait plus précise que le processus d’éliminations successives. Une telle inversion a été donnée par
Lôwdin [11] ; c’est, pour les équations (3 . 2) :
-
Dans les applications au schéma allongé, les limitations
de cette méthode apparaissent dès que l’on obtient
les valeurs des N,, : ce sont des entiers très grands,
produits de n ! n ! par un entier qui est déjà très
grand. Pour huit neutrons et huit protons dans une
couche ~1512~ qui est le cas extrême que nous ayons
considéré, ~’V64 est de l’ordre de 10195 et le plus grand
terme de la somme (3.5) est 1,7 X 1025 et vient de N42,
Ainsi, pour retrouver la
0,0206185
obtenue par la méthode des rotations finies, il faudrait
utiliser un grand nombre de chiffres significatifs dans
les calculs intermédiaires.
valeur 1 ao 1 2
=
Le calcul des énergies est le même que celui des
En conclusion, cette méthode donne plus
facilement les grands moments angulaires que les
petits; le plus souvent, les grands moments angulaires
n’ont pas de sens physique.
amplitudes.
Les éléments de
3.3. OPÉRATEURS TENSORIELS.
matrice réduits d’un opérateur tensoriel irréductible sont aussi donnés par un système d’équations
linéaires [10]. On obtient une équation du système
en calculant la valeur moyenne d’une composante Tq
entre l’état1 n > et l’état ~n’ ~ tel que n’ = n + q :
-
Nous démontrerons cette formule en étudiant les relations entre les deux méthodes de projection.
Dans le cas particulier m
0 et I
0 :
=
--
Le nombre d’équations du système peut être plus
que le nombre d’inconnues : I, I" et k doivent
vérifier les inégalités du triangle, mais, pour les équan’ soit inférieur à k. Si
tions, il suffit
grand
que 1 n
m
=
0, cela
-
représente 21 k(k
mentaires.
Considérons les
1
-
1) équations supplé-
Ce système d’équations peut aussi être résolu par
éliminations successives car
est
seulement fonction des T n, n avec . n > I et n’ > l’.
On peut aussi obtenir une inversion algébrique, ressemblant à la formule de Lôwdin. Pour la démontrer,
exprimons le coefficient 3 - j de l’équation (3.6)
avec la formule de Racah [16] :
a;, al l’ Il Tk 1 [ 1 >
quantités :
quantités T,,, ne sont nécessaires que pour z variant entre la plus grande des deux valeurs 0 et n - k et la
plus petite des deux valeurs J et n -r k. Dans leur définition, la somme sur n’ va de z à la plus petite des deux
valeurs J et n --f- k. En utilisant l’équation (3.7), la somme sur n’ peut se faire et élimine la variable t qui prend
Les
8
la valeur k -j- n
I et n, la seconde
-
z.
La somme sur z de l’équation (3.9) et celle surt de
la formule de Racah ont des structures semblables.
Pour I et I’ fixés, ces deux sommes ont le même nombre
maximum de termes. Cependant, la somme sur z ne
constitue pas un coefficient 3 - j.
Remarquons que les trois sommations de la formule (3.9) peuvent se faire successivement : les éléments de matrice réduits sont obtenus après trois
combinaisons linéaires ne portant chacune que sur
un seul indice.
Nous n’avons aucune justification de l’utilisation
des quantités (3.8) comme étape intermédiaire. Une
autre méthode possible correspond aux équations (2.4)
et (2.5) de la méthode des projections avec des rotations finies. Considérons les quantités :
La sommation
n’ n’élimine pas la sommation
Racah, mais transforme le
coefficient 3 - j en un autre coefficient 3 - j. Nous
expliquerons ce fait en étudiant les relations entre les
deux méthodes de rotation (cf. § 4. 3). En appliquant
la formule de Lôwdin avec I et n, on obtient les quantités 6§ de l’équation (2.4). Les éléments de matrice
réduits sont obtenus avec la formule (2.5).
sur
sur t de la formule de
3.4. ÉTAT
état sans
un
rateurs
lz
et
données par
SANS
fois, la première
La formule de Lôwdin peut alors être appliquée deux
les variables I’ et z. On obtient ainsi :
avec
les variables
avec
SYMÉTRIE
On peut
4. Relations entre les deux méthodes.
transformer la méthode de projection avec les opérateurs de rotation infinitésimale en celle qui utilise les
rotations finies en introduisant des fonctions génératrices. Une fonction génératrice N(t) est obtenue
en multipliant la
équation du système (3.2)
-
par tn
et
en
sommant
Considérons le
cas m
sur n.
=
0 et la fonction
génératrice :
En remplaçant Nn par son expression (3.2), le coefficient de chaque 1 a, 12 peut être identifié au développement en série du polynôme de Legendre Pi(1 + 2t).
Le système d’équations (3.2) a donc été remplacé
par une équation semblable à (2.3). Les ) ai )2 peuvent
être obtenus par intégration du produit de N(t) avec
un polynôme de Legendre. Si on remplace N(t)
par son développement en série (4.1), on obtient la
formule de Lôwdin comme nous le démontrerons
dans le cas le plus général.
Les deux méthodes consistent donc à obtenir la
fonction des angles N(t) que nous avons appelée
fonction normalisation. Dans la première méthode,
cette fonction est calculée à des angles p fixés; dans la
deuxième, elle est obtenue par son développement
en série de t
sin2 0/2.
Si m n’est pas nul, la correspondance est moins
directe et il faut introduire la notion de rotation
=
généralisée.
4.1. FONCTIONS
l’état :
GÉNÉRATRICES.
-
Considérons
Pour projeter
il faut utiliser les opé-
AXIALE.
-
symétrie axiale,
I-,. Par exemple, les normalisations
le système d’équations :
sont
n’est pas un opéraL’opérateur appliqué à
teur de rotation physique, car il décrit une rotation oc
autour d’une droite isotrope du plan xy; c’est un
opérateur de rotation généralisée. Le dénominateur n !
a été introduit pour conserver les propriétés de groupe
des rotations.
Les éléments de matrice de e«I+ sont simples. Entre
des fonctions propres du moment angulaire, ce sont :
Le calcul de ces expressions pour un nombre suffisant
de valeurs de k permet de séparer les termes du second
membre pour K et K’ fixés. Les valeurs de
sont alors données par un système d’équations linéaires
qui est un peu différent des équations (3.2) si K’ # K.
La formule de Lôwdin peut être généralisée pour
résoudre
ces
équations (cf. § 4. 4).
Cette rotation
care«I+ ~ ~
ne
=
peut pas être utilisée pour projeter
1
quel que soit oc.
9
La fonction génératrice des normes des états1 n >
la norme de l’état ~oc ~. Nous préférons introduire
un deuxième angle ~ tel que
= t, et écrire :
est
Les relations de symétrie des éléments de matrice
des rotations physiques sont dues à la forme spéciale
de Q; elles ne sont pas valables pour les rotations
généralisées.
Pour le produit
et
Nous avons introduit une deuxième rotation er3Idont les éléments de matrice sont hermitiques conjuLes éléments de matrice du
gués de ceux de
de
ces
rotations
sont un cas particulier
deux
produit
de ceux des rotations généralisées.
4.2. ROTATIONS GÉNÉRALISÉES.
Comme pour les
rotations physiques, toutes les représentations irréductibles des rotations généralisées peuvent être obtenues à partir de la représentation irréductible à deux
dimensions. Cette représentation à deux dimensions
d’une rotation généralisée est une matrice :
-
des deux rotations
généralisées
exl+
ef3I- :
l’argument
des
En posant
tion sont :
polynômes
de
Jacobi
est
1 -Î-
= t, les éléments de matrice de
rota-
C’est seulement pour m = m’
0 que l’élément de
matrice de rotation (4.12) est égal à l’élément de matrice de rotation physique (4 .11 ) pour sin2 pj2
t;
si m
m’ =1= 0, ces éléments de matrice diffèrent
=
=
-
=
1. Le groupe des rotations génételle que ad - bc
ralisées est donc isomorphe au groupe des matrices
unimodulaires à deux dimensions (le groupe des
rotations physiques étant isomorphe à son sous-groupe
des matrices unitaires).
On obtient les éléments de matrice en appliquant
sur une base spinorielle [17] :
=
d’un facteur
cos" 2m2
.
2
Avec (X = t et
4.3. OPÉRATEURS TENSORIELS.
~ = 1, la différence entre les fonctions (2. 3) ou (2. 6)
et la fonction génératrice pour les normalisations :
-
.1
.
....
_
1.
.
où X = ( X+, X_ ) est un spineur à deux dimensions.
Si on remplace X par X’
S2X dans la définition (4.6), le coefficient de Ol/(jm’) est l’élément de
matrice :
=
-
--
..
J
Comme pour les rotations physiques, ces éléments
de matrice peuvent s’exprimer avec les polynômes
de Jacobi :
(4.14)
n’est que l’utilisation de rotations généralisées. De
même, la seconde méthode de calcul des éléments de
matrice réduits d’un opérateur tensoriel irréductible,
exposée au paragraphe précédent, correspond à l’utilisation des fonctions (2.4) pour cet opérateur. Considérons la fonction génératrice à deux variables pour
les Tn’n définis par l’équation (3.6) :
Tq (
03B1)
n.
nfn
e5I- Tl, k
1 ).
(4.15)
Cette formule est valable pour toutes les valeurs
de m et de m’ : le polynôme de Jacobi
est
un polynôme de degré n pour toutes les valeurs positives ou nulles de n + oc et n + p [18]. Cependant,
(1) s’annule si oc est négatif et la formule (4.8)
ne permet pas d’obtenir les éléments de matrice (4.3)
m, si on n’utilise pas les relations :
pour m’
et
Pour la rotation physique
c = - b
sin ~/2; on
=
(0, ~, 0), a
obtient :
= d
=
cos
p/2
tensoriel apparaît entre les deux opéde rotation. Pour obtenir l’ordre de la formule (2.4), il faut commuter e5I- avec T" et définir
de nouvelles fonctions génératrices :
L’opérateur
rateurs
T’z (03B2,03B1)
C’est la justification de la combinaison linéaire
faite à l’équation (3.10). Ces nouvelles fonctions
génératrices peuvent s’écrire :
T-’z(1, t)
1-
10
Il faut donc obtenir le coefficient de l’élément de
matrice de rotation, puis utiliser la formule (2.5)
pour avoir les éléments de matrice réduits.
tion (4.23) est la formule de Lôwdin. Si
on obtient une généralisation triviale.
Les
4.4. FORMULE DE LÔWDIN GÉNÉRALISÉE.
coefficients des éléments de matrice de rotation dans
les équations (4.13) et (4.14) sont obtenus par la
formule de Lôwdin. Une certaine généralisation est
nécessaire pour obtenir les coefficients des éléments
de matrice de rotation dans l’équation (4.17) dont
les deux nombres quantiques magnétiques ne sont pas
projection
m’,
La méthode de
4.5. FORMALISME DE SHAPIRO.
d’un déterminant de Slater avec des rotations finies peut être utilisée en employant la rotation
généralisée (4.11). Les éléments de la matrice M
sont alors des éléments de matrice de rotation (4.12).
La méthode est alors très proche de celle utilisée
par J. Shapiro [12]. Shapiro considère un état à
N-particules sans antisymétriser, c’est-à-dire un des
N ! produits d’éléments de matrice dont la somme est
le déterminant de M. Chaque élément de matrice,
multiplié par une puissance convenable de oc et ~,
est exprimé comme un développement en série de
Il utilise les fonctions hypergéométriques,
x
reliées aux polynômes de Jacobi par :
-
-
identiques.
Pour démontrer une formule de Lôwdin
considérons une fonction :
généralisée,
=
Si m’ > m, les sommations sont pour n > 0 et
m’ ;
si m’
m, elles sont pour n > m - m’ et I > m. Nous
désirons exprimer les coefficients XI en fonction des Fn.
En remplaçant les éléments de matrice de rotation
par des polynômes de. Jacobi, on peut utiliser la
relation d’orthogonalité :
et
la formule de
Le coefficient de xk dans le produit des fonctions
hypergéométriques est un des Nn de la formule (4.13)
multiplié par un certain coefficient. Au lieu d’utiliser
la formule de Lôwdin, Shapiro multiplie le tout par
une autre fonction hypergéométrique qui n’est autre
qu’une fonction de Jacobi de seconde espèce :
Rodrigue :
Il cherche ensuite le coefficient d’une certaine puisde x dans le produit de ces N -f- 1 fonctions
hypergéométriques. Mais ce coefficient pourrait être
obtenu par une intégrale de contour autour de l’origine qui peut se transformer en intégrale autour de
la coupure (- 1, 1) de la fonction de Jacobi de
deuxième espèce. Cette méthode de calcul des
revient à utiliser :
sance
On obtient ainsi :
Les dérivées de
intégrations
par
l’intégrant
parties :
sont
éliminées par I
-
m’
qui se démontre avec les relations d’orthogonalité
polynômes de Jacobi, et :
+ 10)
io)
(4.27)
valable pour des valeurs entières de n, oc et ~. On
pourrait ainsi démontrer la formule de Lôwdin à
partir des relations de bi-orthogonalité des polynômes de Jacobi et des fonctions de Jacobi de seconde
espèce dans une intégrale de contour.
Remarquons que Shapiro utilise un paramètre dont
la puissance décroît lorsque le moment angulaire
ce
des
-
n
(1 ~- t) disparaît avec (I -~- ~) nouvelles
intégrations par parties. Le résultat est :
Le terme
n
n
augmente. On retrouve le fait que les moments angulaires élevés sont obtenus plus aisément que les autres
dans la méthode des rotations infinitésimales.
L’introduction d’une fonction
5. Conclusion.
génératrice dans la méthode de projection avec des
opérateurs de rotation infinitésimale permet de pro-
où la
somme sur n commence
deux valeurs
(I - m)
ou
à la
(I - m’).
Si
des
plus grande
m
m’, l’équa=
11
dans des cas pour lesquels il n’y a pas d’autre
méthode. Il peut arriver que la méthode des rotations
finies ne puisse pas être utilisée parce que la description
de l’état est trop compliquée, alors que la méthode des
opérateurs de rotation infinitésimale est possible.
Si, de plus, les Nn et les Hn sont trop grands pour la
formule de Lôwdin, les fonctions génératrices (4.13)
et (4.14) peuvent éventuellement être obtenues avec
assez de précision sur un domaine suffisant det pour
procéder à une intégration numérique ou écrire un
système d’équations linéaires comme ceux utilisés
dans la méthode de projection par les rotations finies.
Si les moments angulaires sont pairs et m
0, les
fonctions génératrices ne sont nécessaires que pour
-1 ~2 t ~ 0; si on ne peut pas les obtenir pour t
voisin de -1 J2, on peut souvent les supposer nulles.
Certaines propriétés sont faciles à démontrer avec
les fonctions génératrices. Par exemple, si les moments
angulaires sont pairs, la relation :
jeter
toute valeur
et des
des nombres quantiques
n~, nz, nâ,
Pour cela, on peut utiliser
angles d’Euler oc,
la fonction génératrice des polynômes d’Hermite et
définir une fonction génératrice à six paramètres
dépendant des angles d’Euler :
=
Utilisons des entiers 1, 2, 3 à la place de x, y, z et
des notations vectorielles. Avec les variables réduites
de l’oscillateur harmonique, la rotation est décrite
par :
où
est la matrice diagonale des wi et
y)
décrit la rotation en coordonnées cartésiennes. La
fonction génératrice peut s’écrire :
pour n + m impair en fonction des N,
tels que v > n.
Si les moments angulaires ne sont pas bornés, on
peut cependant projeter par la méthode des opérateurs de rotation infinitésimale si les fonctions génératrices (4.13) et (4.14) convergent dans un domaine
suffisant.
exprime Nn
L’auteur tient à remercier le Docteur Moussa pour
des discussions utiles au sujet des rotations généralisées, le Docteur Ripka pour des indications sur les
travaux précédents et le Docteur Gillet dont le schéma
allongé est à l’origine de ce travail. C’est à l’Institut
d’Études Nucléaires d’Alger qu’il a rencontré le
plus d’intérêt et les discussions qui y ont eu lieu lui
ont été très utiles.
Appendice A.
POUR
UN
-
ÉLÉMENTS
avec :
Par
conséquent :
où - g(t’, t) est la valeur de l’exposant de l’intégrant
à son minimum par rapport à X, c’est-à-dire :
DE MATRICE DE ROTATION
OSCILLATEUR
HARMONIQUE ANISOTROPE.
Pour des fonctions propres de l’oscillateur harmonique anisotrope, on peut obtenir les éléments de
matrice de rotation sans intégration numérique. Nous
considérerons simultanément les éléments de matrice
pour une interaction gaussienne de portée pL en coordonnées relatives. L’élément de matrice de rotation
est donné par la même formule dans laquelle on fait
tendre ~ vers l’infini. La fonction énergie à deux
particules peut s’exprimer avec des éléments de
matrice de rotation pour les coordonnées absolues
(f.L -~ oo) et les éléments de matrice de l’interaction
pour les coordonnées relatives (~ fini).
Les trois paramètres de l’oscillateur harmonique
(i)z sont différents. La fonction d’onde définie
par les nombres quantiques
n. est :
-
La matrice M’est la matrice M de la rotation
la matrice N est la matrice transverse.
inverse,
Pour obtenir les éléments de matrice de rotation
pour des nombres quantiques tels que
il faut calculer le Ni--e terme du développement en
série de l’exponentielle de l’équation (A. 6) et prendre
le coefficient du monôme correspondant à ces nombres
quantiques. Le calcul est trivial pour N 0 ou 1.
Pour la couche (2s, l d), N - 2 pour les éléments
de matrice de rotation et atteint 4 pour utiliser une
interaction à deux particules.
=
où
X
les
polynômes
=
n’n’n’,l
(Ùx x, y
(ùyy, Z = (ùz z et les
d’Hermite. Nous voulons
=
(r/p,)2~
~, y)
Hn
sont
obtenir
pour
Si deux
sont
pris nuls.
de l’oscillateur harmonique
les angles a et y peuvent être
cas, la matrice M peut être inversée.
paramètres
égaux
Dans
=
ce
c~~),
12
fonction
La
génératrice
et
=
7~
oc
=
se
factorise. En
obtient :
posant
ce
qui impose n’ = n ~
si
oc
est
nul. Pour les autres
axes :
on
et
INVERSION D’UNE MATRICE DE POLYL’élément
de l’inverse de la matrice A
est égal au déterminant de la matrice A moins la
ligne j et la colonne i, divisé par le déterminant de A.
Un déterminant est le résultat d’un certain nombre
d’additions et de multiplications. Il est parfaitement
défini quand les éléments de matrice sont les éléments
d’un anneau comme des entiers, des polynômes ou des
éléments de matrice de rotation. Pour une matrice A
de dimensions N X N, il faut (N -~- 1) ! additions de
produits de N ou de N - 1 éléments de matrice pour
obtenir det
avec la définition des déterminants. On peut utiliser une méthode semblable à la
méthode de Choleski [19] pour les matrices numériques. Elle ne nécessite que N3 multiplications et
additions et les divisions nécessaires sont toujours
Appendice B.
NOMES.
-
-
les inverses de M(i) ~lil (i -1 ) ; D est une autre
matrice triangulaire dont les éléments Cij s’annulent
si i > j et sont égaux à M(i -1; i, j ) si i ~ j. La relation (B.2) permet de calculer tous ces mineurs de
proche en proche. Le calcul d’un nouveau mineur
nécessite une multiplication, une addition et une
division, mais cette division est toujours possible car
le résultat est un mineur.
sont
L’inverse de la matrice D peut se mettre sous la
forme du produit D’ C où D’ est une matrice semblable
à D et dont les éléments sont les mineurs M(j; -j - 1)
des j premières lignes et colonnes moins la ligne j et
la colonne i. La relation :
possibles.
Cette méthode utilise la relation :
démontre en considérant la matrice inverse des j premières lignes et colonnes de A. Cette relation permet
d’obtenir les
pour i fixé quand on connaît les
i
et
une seule division. De même,
nécessite
>
pour k
l’inverse de B peut s’écrire G’B’ où B’ est une matrice
triangulaire comme B, d’éléments M(i; - j - i) .
Remarquons que :
se
où 1 est la
plus petite des valeurs i et j, M(k) le mineur
des k premières lignes et colonnes de A et M(k ; ij ) le
mineur des k premières lignes et colonnes plus la ligne i
et la colonne j; on utilise la convention M(0)
1.
On peut démontrer la relation (B.1) par récurrence :
=
La dernière
c’est-à-dire :
considère la matrice formée par les n premières
lignes et colonnes de A plus la ligne i et la colonne j,
(B.2) est l’expression d’un mineur du second ordre
(ici M(n -1 ) ) avec les éléments de la matrice
inverse.
Si
on
dans la méthode de Choleski pour
des matrices numériques, A peut être factorisé en un
produit de trois matrices BCD où B est une matrice
triangulaire dont les éléments Bij s’annulent si j > i;
C est une matrice diagonale dont les éléments Cu
Ainsi,
comme
opération est le calcul de
A-1
=
D’CB’,
où 1 est la plus grande des valeurs i et j. La démonstration de la relation (B. 4) est la même que celle
de (B .1) . La sommation est une suite de multiplications, additions et divisions. Le résultat a la forme
M(N; -j* - 1) IM(N)
Le nombre maximum de polynômes présents dans
calcul est N2 + 1 : les éléments diagonaux de B
et D sont identiques et ceux de C en dépendent. Au
moment du calcul de B’ et D’, le déterminant de A
qui est en D_,,_,- doit être gardé. A cette exception, cette
méthode suit pas à pas la méthode de Choleski.
ce
13
BIBLIOGRAPHIE
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[13] Ces points sont les résultats de discussions avec le
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d’Alger.
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