Sur les méthodes de projection de moments angulaires

Sur les m´ethodes de projection de moments angulaires
J. Raynal
To cite this version:
J. Raynal. Sur les m´ethodes de projection de moments angulaires. Journal de Physique, 1970,
31 (1), pp.3-13. <10.1051/jphys:019700031010300>.<jpa-00206876>
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3
SUR
LES
MÉTHODES
DE
PROJECTION
DE
MOMENTS
ANGULAIRES
Par
J.
RAYNAL,
Service
de
Physique
Théorique,
Centre d’Études Nucléaires de
Saclay,
B.P. n°
2,
9I-Gif-sur-Yvette,
France.
(Reçu
le 26 août
1969.)
Résumé. 2014
Dans la méthode
de
projection
par
des rotations
finies,
on doit
calculer
des
fonctions des
angles
pour
les normalisations et
pour
tout
opérateur
étudié.
Leur
calcul
pour
un déterminant de
Slater
est décrit
dans
le
formalisme de
la seconde
quantification.
Nous
dis-
cutons
le nombre minimum de
points
pour
lequel
ces
fonctions doivent
être calculées.
La
méthode
des
opérateurs
de rotation
infinitésimale
donne
directement
un
système
d’équations
linéaires
dont
Löwdin
a donné la
solution
pour
un
opérateur
scalaire.
Cette
solution est
généralisée
à
un
opérateur
tensoriel.
En
introduisant
des
fonctions
génératrices,
on
ramène
cette
seconde méthode
à la
première
qui
serait utilisée
avec
des rotations
généralisées.
Ainsi,
on
peut
démontrer
la for-
mule de
Löwdin
et
comprendre
le
formalisme de
Shapiro.
Le
passage
d’une
méthode à
l’autre
permet
d’obtenir
des
résultats dans
des cas extrêmes
où ni l’une ni l’autre
ne
permettraient
de
les
obtenir.
Abstract.
2014
The
projection
method
with
finite
rotations,
deals
with
angular
functions
for
normalizations and
any
operator
under
study.
Their
computation
for a
Slater
determinant
is
derived
in the
framework
of the
second
quantization
formalism. The minimum
number
of
points
where these
functions
must
be
known
is discussed
in
details.
The method
which
uses
infinitesimal
rotation
operators,
leads
directly
to
a
set
of
linear
equations,
of
which
Löwdin
gave
a
solution
for a
scalar
operator.
This solution
is
generalized
for a
tensor
operator.
Using gene-
rating
functions,
the second method can be shown
to
be the
first
one
used with
a
generalized
rotation.
This
way,
Löwdin’s
formula
can
be
demonstrated
and
Shapiro’s
formalism
understood.
In
some
cases,
the
use
of
the
two
methods
provides
results
which
cannot
be
obtained
by any
one
alone.
LE
Journal
DE
PHYSIQUE
TOME
31,
JAXYIER
1970,
1.
Introduction.
-
Les
méthodes
de
projection
ont
été étudiées
pour
être
appliquées
au schéma
allongé
[1, 2].
Elles ont été
nécessaires
pour
évaluer
les
conséquences
d’une
approximation
qui
permet
d’obtenir des formules
très
simples
[3,
4]
et
pour
le
comparer
[5]
au schéma de séniorité dans
des cas
non encore étudiés
[6].
Bien
que
cette étude
soit aussi
générale que possible,
elle a été orientée
par
les diffi-
cultés rencontrées dans
ces
applications.
Les méthodes
de
projection
avec des
rotations
finies
et
avec des
opérateurs
de rotation
infinitésimale
seront
présentées
l’une
après
l’autre avant
d’étudier
les relations
qui
existent
entre elles.
La
première
[7,
8]
est
largement
utilisée. C’est la
meilleure
pour
projeter
un déterminant
de Slater
[9] ;
les
fonctions
d’onde
à une
particule
n’ont
pas
forcé-
ment
un bon
moment
angulaire :
une méthode
pour
les fonctions
propres
de
l’oscillateur
harmonique
ani-
sotrope
est donnée dans
l’appendice
A.
On obtient
une fonction des
angles
de
rotation
pour
tout
opé-
rateur ;
cette fonction
doit être
analysée
comme une
somme de
polynômes
de
Legendre
(ou,
plus
généra-
lement,
d’éléments
de matrice de
rotation) ;
les coef-
ficients de ces
polynômes
sont les éléments
de matrice
de
l’opérateur.
Habituellement,
cette
analyse
est faite
par
une
intégration.
Nous
préférons
choisir
certains
angles
et
résoudre un
système
d’équations
linéaires.
Cependant,
si
on
préfère
mener
tout le
calcul
avec
des
fonctions,
la méthode
décrite
dans
l’appendice
B
permet
d’obtenir
directement
les
coefficients
des
polynômes.
La
seconde
méthode,
qui
n’est
pas
aussi
largement
utilisée
que
la
première,
a
été
développée
par
Kel-
son
[10] ;
en
principe,
elle
ne
peut
être
utilisée
que
si
le nombre
de
moments
angulaires
est
fini.
Elle
conduit
à
un
système
d’équations
linéaires dont la
solution
a
été donnée
par
Lôwdin
[11] pour
un
opérateur
scalaire.
Une solution
analogue
est
donnée
pour
des
opérateurs
tensoriels.
En introduisant
une fonction
génératrice pour
le
système
d’équations
obtenu avec un
opérateur
de
rotation
infinitésimale,
cette méthode
peut
se
ramener
à
la
première,
mais utilisée avec des rotations
généra-
lisées.
Ainsi,
la même fonction est
calculée
point par
point
dans
la
première
méthode,
alors
que
la
deuxième
la
définit
par
son
développement
en série.
Les rotations
généralisées
ont des
éléments
de matrice de
rotation
ayant
certaines
propriétés
des rotations
ordinaires
et
s’exprimant
aussi
avec les
polynômes
de
Jacobi;
les
relations
d’orthogonalité
des
polynômes
de
Jacobi
permettent
de démontrer la
formule de Lôwdin. Cette
méthode
est
équivalente
au
formalisme
de
Shapiro [12]
qui
utilise
ces mêmes
polynômes
sous leur
nom de
fonction
hypergéométrique. L’emploi
des
fonctions
génératrices permet
d’utiliser la méthode des
opé-
rateurs
de rotation
infinitésimale,
même
si le nombre
de moments
angulaires
n’est
pas
fini,
sous
certaines
conditions
de
convergence.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019700031010300

4
2.
Projection
par
la méthode
des rotations finies.
-
Considérons un
étant ) )
qui
n’ait
pas
un bon moment
angulaire
mais
qui
soit
fonction
propre
de
l’opé-
rateur
I,
de rotation
autour
de
l’axe
de
quantification
avec
la
valeur
propre
m.
On
peut
l’écrire comme une
somme
d’états
propres
du
moment
angulaire 1 lm &#x3E; :
:
Si 1 &#x3E;
et
les Im ~
sont
normalisés,
les
amplitudes aI
sont
définies
à
une
phase près.
Notre but
est
d’étudier
les
propriétés
des
états 1 lm &#x3E;
sans connaître
explici-
tement
leur
fonction d’onde. On
peut
le faire avec
des
opérateurs
de
rotation.
Dans la
première
méthode,
l’opérateur
de rotation
finie
R(oc,
~, y)
est
appliqué
sur
l’état 1 &#x3E;;
dans
la
deuxième,
on utilise les
opéra-
teurs
de rotation
infinitésimale
I +
ou
1_.
2 . l.
FONCTION
NORMALISATION
ET
ÉNERGIE.
-
L’opé-
rateur de
rotation,
appliqué
sur
l’état ~,
donne :
En
projetant
sur
l’état 1 &#x3E;,
on
obtient une fonction
des
angles
d’Euler :
qui
est le recouvrement entre
l’état 1)
et le même
état
qui
a subi la
rotation
(cc, ~3, y).
Cette
fonction,
que
nous
appellerons
fonction
normalisation,
doit
être
analysée pour
obtenir les
1 al 12
(voir § 2.3).
Pour calculer les éléments
de matrice
réduits
d’un
opérateur
tensoriel
irréductible
T’,
il
faut
définir
(2k
+
1)
fonctions
des
angles
d’Euler.
Chacune
d’elles
est obtenue en
faisant
agir
une
des
composantes
de
l’opérateur
tensoriel
sur
l’état
tourné
(2.2)
et
en
pre-
nant le
produit
scalaire
avez
Les
éléments
de
matrice réduits
du
tenseur
sont obtenus
à
partir
des
coefficients
des
éléments de matrice
de
rotation :
Par
exemple,
si T k est
l’opérateur
quadrupolaire,
les
éléments
de
matrice
diaconaux
1 [ 1 T k 1 Il
sont
les moments
quadrupolaires
des
états 1 lm) :
:
ils
sont
parfaitement
déterminés
car [al [2
est
donné
par
la fonction
normalisation ;
les
éléments
non
diagonaux
permettent
d’obtenir
les BE2 : ils sont connus
à
un
signe
près
qui
est une
phase
commune
aux
éléments
de
matrice réduits
de
tous les
opérateurs
tensoriels
entre
les
états [1)
et [l’).
Le
cas le
plus important
est
celui
de
l’opérateur
scalaire
qu’est
l’hamiltonien.
Pour calculer
les
éner-
gies,
il
faut
analyser
la
fonction
énergie :
ce
qui
donne
le
produit 1 a,
2 EI.
2.2.
PROJECTION
D’UN DÉTERMINANT
DE SLATER.
-
Considérons
l’état 1 &#x3E;
décrit dans
le formalisme de
la
seconde
quantification
par :
1 .. .. . , 1 , 1-. -,
où 0 ~
est le vide
et
a~
l’opérateur
de création
d’une
particule
dans
un
état
qui
n’est
pas
forcément
état
propre
de 12
ni
de
Iz.
Le
théorème de Wick
permet
d’écrire :
L’ensemble
~t’ 2, - ..,
~C~,,)
est le
même
que
l’en-
semble
(~,1,
P-21 - - .,
~.1~,,)
et
P est
la
parité
de
la
permu-
tation.
Le second membre
de
l’équation
(2.8)
n’est
autre
que
le déterminant
d’une
matrice
M(~x, ~,
y)
dont les
éléments sont les fonctions normalisation à unf
particule
f.Li R (a, ~,
y) ~,~ ~
qui
seraient utilisées
pour projeter
un état
quelconque
à
une
seule
parti-
cule formé avec
les
éléments
du
déterminant
de
Slater. Par
conséquent :
La fonction
(2.4)
relative
à
un
opérateur
tensoriel
s’écrit :
La somme sur
f.L
est restreinte
aux
états
présents
dans le
déterminant
de
Slater,
tandis
que
la
somme
sur
ti’
s’étend
à
tout
l’espace généré par
leur
rotation.
Si
les états à une
particule
sont fonctions
propres
de
l’oscillation
harmonique
anisotrope,
la
somme
sur
~/
est infinie. En
commutant
l’opérateur
d’annihila-
tion et
l’opérateur
de
rotation,
on
obtient :
En
effet,
le
calcul
de ( ) a~
R(a, ~3, y)
a (1. , 1 &#x3E;
est
le
même
que
celui
de
N(oc,
~, y),
sauf
que
l’état
[1.’
a
été
supprimé
dans le
ket
et
l’ éta t [1.
dans
le
bra.
C’est
donc
un mineur de
la
matrice
M(a, ~3, y) ; il

5
peut
s’exprimer
avec
les
éléments de
la matrice inverse
si
N (oc,
~3, Y)
ne s’annule
pas.
Dans
l’équation (2.11)
apparaît
la
fonction relative
à
l’opérateur
étudié
pour
un
état
à
une
seule
particules
pL ) 1 T’R(oc, ~,
y) ~/
)~.
Cette
quantité
peut
être
difficile
à
évaluer,
mais il
faut
considérer
que
les sommations
sur ~L
et
~t’
sont
limitées aux états
présents
dans le déterminant
de
Slater.
L’emploi
de la formule
(2.11)
est
justifié
si
la
dimension
de
l’espace
généré
par
la
rotation est
beau-
coup
plus grande
que
celle du
déterminant
[13].
Sinon,
il
est
préférable
d’utiliser :
où les
sommes
sur ~
et
[1.’
portent
sur les états
occupés
et celle
sur
~,"
sur les états
inoccupés.
Le résultat
de
la
somme sur
f.L’
peut
être obtenu directement
comme
solution
d’un
système d’équations
linéaires.
Si l’hamiltonien contient
une
interaction résiduelle
à
deux
corps,
il
lui
correspond
une fonction
V(oc,
~3,
y)
qui
peut s’exprimer
avec les
fonctions
analogues
d’un
problème
à deux
particules :
Si
le déterminant de
la matrice
s’annule
pas :
Si
les
états à une
particule
ont un bon moment
angulaire,
on
peut
utiliser les éléments de matrice
particule-particule
de l’interaction
résiduelle :
mais une formule
analogue
à
(2.12) peut
être
plus
simple.
Avec des états
propres
de l’oscillateur
harmo-
nique anisotrope,
ces fonctions
doivent être
calculées
directement.
2.3.
CALCUL
DES AMPLITUDES
ET
DES
ÉNERGIES.
-
Si l’état
à
projeter
est un déterminant
de
Slater
et si
les
éléments de
la
matrice
M(oc, ~3,
y)
peuvent s’expri-
mer avec des
éléments
de
matrice de
rotation,
le
calcul
du déterminant
et
de
la
matrice
inverse
peut
se
faire en terme
d’éléments
de
matrice
de
rotation
(voir appendice
B).
Les fonctions
normalisation et
énergie
sont
obtenues
comme
des
sommes
d’éléments
de
matrice de rotation dont
les
coefficients
sont res-
pectivement
les aI 2
et
les
1 al
2 Ei.
On
peut
aussi
considérer les
éléments
de matrice comme des
poly-
nômes
en
sin 2 03B2
par
exemple ;
on obtient
pour
les
Î
2
/
fonctions
normalisation et
énergie
des
polynômes
qui
doivent être
analysés
comme
sommes d’éléments
de
matrice de rotation.
Mais
l’état à
projeter
n’est
pas toujours
un déter-
minant
de
Slater.
Supposons
que
l’on
sache calculer
explicitement
les fonctions des
angles
d’Euler
définies
par
les
équations (2.3),
(2.4)
et
(2.6)
pour
une
rotation
donnée.
On
peut
utiliser les
relations d’ortho-
gonalité
entre
éléments de matrice de rotation
pour
extraire
leurs coefficients.
Ainsi,
pour
la fonction nor-
malisation :
Les
intégrations
sur
oc
et
y
sont triviales si une seule
valeur
de m est
présente.
Pour
~,
la
méthode
de
Gauss
semble
particulièrement indiquée [13].
Si le
plus grand
moment
angulaire présent
est
J,
l’intégrant
de
l’équation (2.16)
est un
polynôme
de
degré
I +
J;
on
obtient
le
résultat
exact
en
employant
la méthode de
Gauss
qui
utilise
les À
zércs du
poly-
nôme
de
Legendre Px
avec
2~,
plus
grand
ou
égal
à I
~- J ~--
1. Pour
extraire
toutes les
normalisations,
il
faut
calculer la
fonction
en j
+
1
points.
Si,
pour
certaines
raisons,
le nombre de
moments
angulaires
est
inférieur
à j
+
1,
le nombre
de
valeurs
nécessaires
est
réduit en
conséquence.
Ainsi,
si
tous
les
moments
angulaires
sont
pairs,
la
fonction
est
symétrique
par
rapport
à ~
=
nf2;
si m
est différent de
zéro,
on
peut
utiliser
les
zéros du
polynôme
de
Jacobi
P J ~ mm~l.
Par
conséquent,
si le
nombre de
moments
angu-
laires est
fini,
il faut évaluer la fonction
normalisation
pour
le
même nombre
de
valeurs
de
~3.
On
peut
aussi
résoudre le
système d’équations
linéaires
(2.3),
ce
qui
donne
plus
de liberté
pour
le
choix
des
valeurs
de
~.
Par
exemple,
dans le
schéma
allongé, ni
= 0 et
les valeurs du
moment
angulaire
sont
0, 2,
4,
...,
7~~,
soit
N valeurs. Les valeurs
de ~
doivent
être
choisies
entre
0 et
n/2;
nous
les avons
prises
équidistantes
parce que
la densité des
zéros
des
polynômes
de
Legendre
est uniforme en
~3.
En résolvant
le
système
d’équations
linéaires avec
la
méthode du
pivot
maxi-
mum,
l’erreur sur le résultat
est
de l’ordre
de l’erreur
sur les
fonctions
normalisation et
énergie.
D’autre
part,
les I al j2
décroissent
rapidement
lorsque
I
aug-
mente,
et
peuvent
devenir inférieurs
aux erreurs de
calcul;
si
on
ne
tient
pas
compte
des moments
angu-
laires
élevés,
en réduisant
la
dimension
du
système
d’équations
linéaires,
les
erreurs
supplémentaires
sont
très faibles. On
peut
donc
appliquer
cette
méthode
même
si
le
nombre de
moments
angulaires
est infini.
Cette
propriété
est
à
rapprocher
d’une
propriété
ana-
logue
de la
méthode
d’intégration
de
Gauss
qui
permet
de
l’utiliser,
même
si
l’intégrant
est
un
polynôme
de
degré
trop
grand.
L’utilisation d’un
système d’équations
linéaires à
la
place
d’une
intégration
ne constitue
pas
un
chan-
gement important
dans le cas
d’une
symétrie
axiale.
S’il
n’y
a
pas
d’axe
de
symétrie,
cela
paraît
la
seule
méthode
possible
pour
projeter
en calculant les
fonc-
tions au minimum
de
points.
2.4.
ÉTAT
SANS
SYMÉTRIE
AXIALE.
-
Si
l’état 1 )
n’a
pas
d’axe
de
symétrie
[14],
à
chaque
valeur
propre
de
7~ correspond
une « bande »
définie
par
son nombre
quantique
K. Le
développement
(2 .1 )
doit
être rem-
placé
par :
Le
nombre
quantique
magnétique
de l’état

6
de
ce
développement
est
égal
à
K,
mais
il
peut prendre
toutes
les
valeurs de
-
I
à I
après
rotation. Ces
états
ne sont
pas
orthogonaux,
mais :
où
nkK’
est
une matrice
hermitique
d’élément dia-
gonal
unité.
La
fonction normalisation est :
et la fonction
énergie :
Pour
chaque
valeur
de
I,
la
matrice
hermitique
a;KI aIR EJe R
doit
être
diagonalisée
avec
la
métrique
définie
par
la
matrice
a;RI am nIe ~.
Si le
moment
angulaire
est limité
à J
et si on
ne
tient
compte
d’aucune
symétrie,
le nombre d’éléments
de
matrice
de rotation
des
équations (2.19)
et
(2.20)
est
de J-
( 2 J
+
1) ) ( 2 J
+
2) ) ( 2 J
+ 3).
En faisant
6
varier 03B2,
on ne
peut
obtenir
que
(2 J
+
1)
relations
entre
leurs
coefficients. Il faut
donc
utiliser
~x
et
y.
On
peut
procéder
de la
façon
suivante :
pour
une
première
valeur
de ~,
les fonctions
7V (o~ ~
y)
et
j5’((x,
~3,
y)
sont
calculées
à
(2 J
+
1)
valeurs de
oc
et
de
y
équidistantes
entre 0 et 27U.
On obtient alors :
où
Io
est
la
plus grande
des
deux valeurs
1 K 1 et K’ I .
Parmi
les sommes du
premier
membre
de
l’équa-
tion
(2.21),
il
y
en a
8 J
qui
ne
contiennent
qu’un
seul terme. Par
conséquent, pour
une
seconde valeur
de
~3,
on n’a
besoin
que
de
(2 J -1 )
valeurs
de
x
et
y.
On
peut
corriger N(oc,
~, y)
en
utilisant les
inconnues
déjà
déterminées,
ou on
peut
noter
que
la
formule
(2.21)
ne
sépare
pas K == ] de K == - J +
1
si
on utilise
(2 J -1 )
valeurs
de
oc et
de
y.
De
proche
en
proche,
on
obtient
tous les
coefficients
des éléments
de matrice
de rotation comme solutions de
systèmes
d’au
plus 1
+
1
équations
linéaires en
calculant les
fonctions
en un minimum de
points.
Si le moment
angulaire
n’est
pas
limité,
une limite
supérieure
valable au moins
pour K peut
être
obtenue
en
choisissant
J’ assez
grand
et
en
calculant :
En
fait,
les
fonctions
7V ((X; ~
y)
et
E(~x,
~, y)
pos-
sèdent
un
certain nombre
de
symétries
qui
se tra-
duisent
par
une
diminution
très
importante
du
nombre
des
coefficients des éléments
de
matrice de
rotation.
Par
exemple,
pour J
=
6
et
des
états
pairs,
il
n’y
a
que
24
inconnues
au
lieu
de
455
données
par
la
formule
générale.
Il
existe
[15]
un
état 1
=
0,
deux
états
1
= 2,
un état
I
=
3,
trois états
1 = 4,
deux
états 1
= 5
et
quatre
états
1
= 6. Avec
10 valeurs
.
.
/
7U . TU
27r 3n
des
fonctions
= 2’ rx
et y
= 0,
7 ’
7 ’
303C0/7
avec
oe a
y),
on
détermine
quatre
inconnues et
on
obtient
six relations
entre les autres inconnues
en
utilisant
une
formule
semblable
à
(2.21).
Avec 9
autres
valeurs
’-’
’-’
- ,
1
paires
et les valeurs
impaires
de
I;
en
tenant
compte
des
inconnues
déjà
déterminées
et
des relations
déjà
obtenues,
on obtient huit inconnues
supplémentaires
et
sept
relations
parmi
les douze
inconnues
restantes.
2n
Enfin,
quatre
calculs
pour 03B2
= 03C0/6
avec
03B1
=
y
0,
3
2n
27r
,
.
, ,
3
et
03B1
- 3 03B3 = + 203C0/3
et
un
dernier
calcul
pour
~ ==
0 donnent
des relations
entre inconnues
du
type
des
équations
(2.3)
et
(2.6)
écrites
pour
des
angles
équidistants.
3.
Projection
par
les
opérateurs
de
rotation
infinité-
simale.
--
Nous considérons
de nouveau
un état
propre
de
I,
avec la valeur
propre
m.
Le
cas
d’état
sans
symétrie
axiale
sera
examiné
brièvement
en
fin
de
paragraphe.
3.1.
ÉQUATIONS
DE
NORMALISATION
ET
D’ÉNERGIE.
-
Supposons
m
positif
(si
m était
négatif,
on utiliserait
I_
au lieu de
1+).
L’opérateur I,
est
appliqué n fois
sur
l’état
(2.1)
pour
obtenir
Fêtât n ) :
L’état 1 n )
n’est
pas
normalisé ;
au
contrainre, 1 Im + n &#x3E;
est
normalisé :
c’est
l’état
1 lm &#x3E;
de
la
décomposi-
tion
(2 .1 ~
dont
le
nombre
quantique
magnétique
a
été
augmenté
de n
unités.
Si la
somme sur
I
est
limitée
à
la
valeur J,
les
états 1 n &#x3E;
sont
en
nombre
fini
et
correspondent
à
n
allant
de 0
à J -
m. La
méthode
de
projection
avec
les
opérateurs
de
rotation
infinitésimale
ne
s’applique
que
dans ce
cas.
Le calcul
explicite
de la norme
Nn
de
l’état ~ 1 n &#x3E;
donne une
équation
pour
les
amplitudes a, :
,- . -J
Les
informations
sur
l’état
à
projeter
contenues
dans
l’ensemble
des
Nn
sont
équivalentes
à
celles
de la
fonction
N(a, ~,
y)
qui
a été
définie
pour
la
projection
par
des
rotations
finies. De
même,
à la fonction
énergie
correspondent
les
valeurs
moyennes
de
l’hamiltonien
dans
les
états 1 n &#x3E;.
On
obtient le
système
d’équations
suivant :
qui permet
de
calculer
les
énergies
EI.