Anneaux et corps

Anneaux et corps
1 G´en´eralit´es
D´efinition 1 On appelle Anneau un ensemble Amuni de deux lois de composition internes not´ees +et ×, telles
que(A, +) est un groupe commutatif, d’´el´ement neutre not´e 0et tel que
la multiplication est associative :
∀a, b, c ∈A, (ab)c=a(bc)
la multiplication est distributive par rapport `a la loi +:
∀a, b, c ∈A, (a+b)c=ac +bc et c(a+b) = ca +cb
la multiplication poss`ede un ´el´ement neutre not´e 1Aou 1:
∀a∈A, a ×1 = 1 ×a=a
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que Aest un anneau commutatif.
Exemple 2 •L’ensemble Zmuni de l’addition et de la multiplication est un anneau commutatif.
•(R[X],+,×)est un anneau.
•L’ensemble F(R,R)des applications de Rdans Rmuni de l’addition f+g:x7→ f(x)+g(x)et de la multiplication
f×g:x7→ f(x)g(x)est un anneau commutatif.
•L’ensemble Mn(R)des matrices carr´ees `a nlignes et ncolonnes est un anneau non-commutatif.
•Z/nZ,˙ +,˙ ×est un anneau commutatif.
2 R`egles de calcul
Proposition 3 Soit (A, +,×)un anneau. Alors :
pour tout a∈A, a ×0=0=0×a
pour tout a, b ∈A, (−a)×b=a×(−b) = −(ab)
pour tous a, b ∈A, (−a)×(−b) = ab
pour tout n∈N, pour tout a∈A, (−a)2n=a2net (−a)2n+1 =−a2n+1
pour tout n∈Zet pour tous a, b ∈A, (na)×b=a×(nb) = n×(ab).
D´emonstration. Soit a∈A, alors a×0 = a×(0 + 0) = a×0 + a×0 et donc a×0 = 0. De mˆeme 0 ×a= 0.
Soit a, b ∈A, alors a×b+(−a)×b= (a−a)×b= 0×b= 0, donc (−a)×b=−(a×b). De mˆeme, a×(−b) = −(a×b).
Soit a, b ∈A. Montrons par r´ecurrence que, pour n∈N, (na)×b=n(ab). Il est clair que (0a)×b= 0 = 0(a×b).
Soit n∈N, supposons que (na)×b=n(a×b). Alors
((n+ 1)a)×b= (na +a)×b= (na)×b+a×b=n(a×b) + a×b= (n+ 1)(a×b)
Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme de r´ecurrence, pour tout n∈N, (na)×b=n(a×b). De mˆeme, pour tout n∈N∗,
a×(nb) = n(a×b). cqfd.
Proposition 4 Formule du binˆome :
Soit aet bdeux ´el´ements d’un anneau Aqui commutent, c’est-`a-dire qui v´erifient a×b=b×a. Alors :
(a+b)n=C0
nan+C1 nan−1b1+··· +Cn−1 na1bn−1+Cn nbn
Rappel
Cp
n=n×(n−1) × ··· × (n−(p−1))
p!

3´ El´ements inversibles - diviseurs de z´eros
D´efinition 5 Soit (A, +,×)un anneau. On dit que a∈Aest inversible si il existe b∈Atel que ab = 1. On note A∗
l’ensemble des ´el´ements inversibles de A.
Exemple 6 Z∗={−1,1}
Q∗=Q\ {0}et R∗=R\ {0}
(R[X])∗=polynˆomes constants.
D´efinition 7 Soit (A, +,×)un anneau. On dit que a∈Aest un diviseur de z´ero si a6= 0 et s’il existe b∈A,b6= 0
tel que ab = 0.
On dit que Aest un anneau int`egre s’il n’admet pas de diviseurs de z´ero.
Proposition 8 L’anneau Aest int`egre si et seulement si :
∀a, b ∈A, ab = 0 =⇒a= 0 ou b= 0
Exemple 9 •L’anneau (Z,+,×)est int`egre.
•L’anneau (R(X),+,×)est int`egre.
•L’anneau Z/6Z,˙ +,˙ ×n’est pas int`egre car ˙ 2˙ ×˙ 3 = ˙ 0.
Remarque 10 un ´el´ement de Ane peut pas ˆetre `a la fois inversible et diviseurs de z´ero. (mˆeme d´emonstration que
pour Z/nZ).
4 Sous-anneaux et Id´eaux
D´efinition 11 Soit (A, +,×)un anneau. Soit Bune partie de A. On dit que Best un sous-anneaux de Asi et
seulement si:
(B, +) est un sous-groupe de (A, +)
1Aappartient `a B
pour tout a, b ∈B, ab ∈B.
Exemple 12 •Zest un sous-anneau de Qqui est lui-mˆeme un sous-anneau de R.
•Q[X]est un sous-anneau de R[X].
•L’ensemble Q√2={a+b√2|a, b ∈Q}est un sous-anneau de R.
D´efinition 13 Soit (A, +,×)un anneau. Soit Iune partie de A. On dit que Iest un id´eal de Asi et seulement si :
(I, +) est un sous-groupe de (A, +)
pour tout i∈I, et pour tout a∈Aon a ai ∈Aet ia ∈A.
Exemple 14 1. nZest un ideal de Zpour tout n.
2. P×R[X]est un id´eal de R[X].
3. Plus g´en´eralement si Aest un anneau commutatif et si a∈Aalors aA : l’ensembles des multiples de aest un
id´eal de A.
D´emonstration. Il suffit de d´emontrer le troisi`eme point.
a×0 = 0 donc 0 ∈aA
Soit x=au et y=av deux ´el´ement de aA alors x+y=au +av =a(u+v)∈aA et −x=a×(−u)∈aA
Donc aA est un sous-groupe de (A, +) .
Soit x=au un ´el´ement de aA et soit y∈Aalors xy =auy =a×(uy)∈aA et yx =xy car Aest commutatif donc
yx ∈aA.
Donc aA est un id´eal de A.

5 Corps
D´efinition 15 On appelle corps tout anneau (K,+,×)tel que tout ´el´ement non nul de Kposs`ede un sym´etrique pour
la multiplication.
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que Kest un corps commutatif.
Exemple 16 •Les ensembles Q,R,Csont des corps commutatifs.
•L’anneau (Z,+,×)n’est pas un corps (par exemple, l’´el´ement 2n’est pas inversible dans Z).
Exercice 17 Montrer que Q√2est un corps.
Proposition 18 Z/nZ,˙ +,˙ ×est un corps si et seulement si nest un nombre premier.
D´emonstration. Notons E={1,2,··· , n −1}, on a vu que
nest premier ⇐⇒ nest premier avec tous les ´el´ements de E
⇐⇒ tous les ´el´ements non nuls de Z/nZsont inversibles
6 Anneaux principaux
Dor´enavant on d´esignera par Aun anneau commutatif, par Kun corps et par K[X] l’anneau des polynˆomes `a
coefficients dans K.
D´efinition 19 Un id´eal Ide Aest dit principal si il est form´e des multiples d’un ´el´ements ade A, c’est `a dire si
I=aA.
D´efinition 20 Un anneau Aest dit principal si tous les id´eaux de Asont principaux.
Exemple 21 Zest un id´eal principal. En effet si Iest un id´eal de Zc’est un sous-groupe de (Z,+) donc on a I=nZ.
D´efinition 22 On dit qu’un polynˆome est unitaire s’il est non nul et si son cœfficient de plus haut degr´e est ´egal `a 1.
Lemme 23 Division euclidienne. Soit A, B ∈K[X]avec B6= 0. Il existe un unique couple (Q, R)(Q´etant
unitaire) de polynˆomes de K[X]tel que :
A=BQ +Ravec deg(R)<deg(B)
On dit que Qest le quotient et Rle reste de la division euclidienne de Apar B(Si R= 0 on a par convention
deg(R) = −∞ ).
Proposition 24 L’anneauK[X]est un anneau principal.
D´emonstration. Soit Iun id´eal de K[X], Notons dle plus petit degr´e atteint par les polynˆomes non nuls de I,
c’est `a dire
d=min {deg (P), P ∈I, P 6= 0}
et soit D∈Itel que deg (D) = d. On va montrer que I=DK[X] donc que Iest principal, ce qui conclura la preuve.
Tout d’abord comme D∈Ion a DK[X]⊂I.
Soit Pun polynˆome de I, effectuons la division euclidienne de Ppar Dil existe donc Qet Rtel que
P=DQ +Ravec deg(R)<deg(D)
comme P∈Iet DQ ∈Ion a P−DQ ∈I(c’est un groupe) et donc R∈Iet deg(R)< d. Comme dest le degr´e
minimal des ´el´ements non-nuls de I, on a forc´ement R= 0 et donc P=DQ et donc P∈DK[X]. Finalement
I⊂DK[X].

7 Intersection et sommes d’id´eaux
Proposition 25 Soit (A, +,×)un anneau commutatif . Soient Iet Jdeux id´eaux de A.
I∩Jest un id´eal de A
I+Jest un id´eal de A
D´emonstration. On sait que I∩Jet I+Jsont des sous-groupes de (A, +) donc il suffit de v´erifier la deuxi`eme
condition.
Soit a∈Aet soit x∈I∩Jalors ax ∈I(car x∈I) et ax ∈J(car x∈J) donc ax ∈I∩J.
Soit y∈I+J, alors il existe i∈Iet j∈Jtel que y=i+jdonc ay =a(i+j) = ai +aj ∈I+J.