Inégalités Rappels : Une variable aléatoire X ( # R est une

Inégalités
Rappels : Une variable aléatoire X:  !Rest une application dé…nie sur un ensemble …ni , où est muni d’une
probabilité :  ![0;1], véri…ant P!2(!) = 1:
L’espérance de Xest dé…nie par E(X) = P!2(!)X(!)barycentre des X(!)pondérés par les (!):
La variance est dé…nie par V(X) = E((XE(X))2) = E(X2)E(X)2:
Remarque : Si Aest une partie de , on note P(A) = P!2A(!):
Ainsi, P(A) = E(1A), où 1Aest la fonction caractéristique de A, c’est-à-dire 1A:  !R!7! (1si !2A
0si ! =2A
Important :P(X0) = E(1X0), où 1X0désigne la fonction caractéristique de A=f!2jX(!)0g:
1) Propriété de minimalité de la variance
Montrer que pour tout réel a,V(X)E((Xa)2):
Solution : On pose m=E(X):On a (Xa)2=X22aX +m2:
Par linéarité de l’espérance, on a E((Xa)2) = E(X2)2am +a2=V2+ (ma)2, minimale lorsque a=m:
2) Inégalité de Markov, de Bienaymé-Tchebychev et de Cantelli
a) Inégalité de Markov : Supposons Xà valeurs positives. Montrer que 8 > 0,P(X)E(X)
:
b) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Posons m=E(X)et V(X) = E((Xm)2). Montrer que
P(jXmj  )V(X)
2
c) Inégalité de Cantelli : Soit Xune variable aléatoire d’espérance met de variance V.
Soit " > 0. Montrer que 8x0,P(Xm")V+x2
("+x)2:En déduire que P(Xm")V V+"2:
Remarque : Lorsque V(X)"2, cette inégalité est plus …ne que celle de Bienaymé-Tchebychev.
d) On lance nfois une pièce de monnaie bien équilibrée. Déterminer une condition su¢ sante sur npour que la
fréquence d’apparition de face soit comprise entre 1
2; 1 2+avec une probabilité au moins égale à p:
Solution :
a) On minore dans la somme E(X) = P!2(!)X(!)les termes X(!)par 0ou selon qu’ils sont ou :
Plus formellement, XX:1X, donc E(X)E(X:1X)E(1X) = P (X):
b) On a jX(!)mj  ssi (X(!)m)2, donc P(jXmj  ) = P((Xm)2):
On conclut en appliquant l’inégalité de Markov à Y= (Xm)2et =2:
c) Avec Y=Xm, on a P(Xm") = P(Y+x"+x)V(Y+x)
("+x)2=V(Y) + x2 ("+x)2:
En e¤et, on a V(Y+x) = E(Y2)+2E(xY ) + E(x2) = V(Y) + x2, car E(Y) = 0:
L’application x7! V+x2
("+x)2est minimale lorsque x V+x2=1 "+x, c’est-à-dire x=V ":

Remarque : Il existe une autre preuve (basée sur Cauchy-Schwarz, cf paragraphe suivant).
d) P(Sn1
2)2 n2, où 2=1 4:, donc on prend ntel que 1 4n21p, c’est-à-dire n1 4(1 p)2:
3) Inégalité de Cauchy-Schwarz
On munit l’espace des variables aléatoires dé…nies sur du produit scalaire hX; Y i=E(XY ) = P!2(!)X(!)Y(!):
On a en particulier l’inégalité de Cauchy-Schwarz E(XY )2E(X2)E(Y2):
a) Montrer que E(jXj)2E(X2), et plus précisement E(jXj)2E(X2)P(jXj>0):
b) On suppose E(Y)0et Ynon identiquement nulle. Montrer que P(Y > 0) E(Y)2
E(Y2):
c) Inégalité de Cantelli. Soit " > 0. En utilisant b), montrer que P(XE(X)")V(X)
V(X) + "2:
En déduire que P(jXE(X)j  ")2V(X)
V(X) + "2:
Solution :
a) On a E(jXj)2=E(jXj:1) E(X2)E(1) = E(X2):
Plus précisement, E(jXj) = E(jXj:1jXj>0)en supprimant les termes nuls X(!)dans la somme P!2(!)jX(!)j:
Par Cauchy-Schwarz, E(jXj)2=E(jXj:1jXj>0)2E(X2)E(1jXj>0) = E(X2)P(jXj>0):
b) E(Y)E(Y+), où Y+= max(0; Y ), et par a), E(Y+)2E(Y2)P(Y > 0), donc E(Y)2E(Y+)2
E(Y2)P(Y > 0):
Comme Yn’est pas identiquement nulle (et positive), alors E(Y2)>0, ce qui permet de conclure.
c) On applique b) à Y=Xm+", où m=E(X). Ainsi, on a E(Y) = " > 0et E(Y2) = V(X) + "2, car
E(Xm) = 0: