Inégalités Rappels : Une variable aléatoire X : ! R est une application dé…nie sur un ensemble …ni , où est muni d’une P probabilité : ! [0; 1], véri…ant !2 (!) = 1: P L’espérance de X est dé…nie par E(X) = !2 (!)X(!) barycentre des X(!) pondérés par les (!): E(X))2 ) = E(X 2 ) La variance est dé…nie par V (X) = E((X Remarque : Si A est une partie de , on note P (A) = P E(X)2 : (!): !2A Ainsi, P (A) = E(1A ), où 1A est la fonction caractéristique de A, c’est-à-dire 1A : Important : P (X 0) = E(1X 0 ), où 1X 0 !R !7 ! désigne la fonction caractéristique de A = f! 2 ( 1 si ! 2 A 0 si ! 2 =A j X(!) 0g: 1) Propriété de minimalité de la variance Montrer que pour tout réel a, V (X) a)2 ): E((X a)2 = X 2 Solution : On pose m = E(X): On a (X 2aX + m2 : a)2 ) = E(X 2 ) Par linéarité de l’espérance, on a E((X 2am + a2 = V 2 + (m a)2 , minimale lorsque a = m: 2) Inégalité de Markov, de Bienaymé-Tchebychev et de Cantelli a) Inégalité de Markov : Supposons X à valeurs positives. Montrer que 8 > 0, P (X b) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Posons m = E(X) et V (X) = E((X P (jX mj ) E(X) : m)2 ). Montrer que V (X) ) 2 c) Inégalité de Cantelli : Soit X une variable aléatoire d’espérance m et de variance V . m V + x2 : En déduire que P (X (" + x)2 ") m ") V : V + "2 Soit " > 0. Montrer que 8x 0, P (X Remarque : Lorsque V (X) "2 , cette inégalité est plus …ne que celle de Bienaymé-Tchebychev. d) On lance n fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Déterminer une condition su¢ sante sur n pour que la fréquence d’apparition de face soit comprise entre 1 2 ; 12 + avec une probabilité au moins égale à p: Solution : a) On minore dans la somme E(X) = Plus formellement, X b) On a jX(!) mj X:1X P !2 (!)X(!) les termes X(!) par 0 ou , donc E(X) ssi (X(!) m) E(X:1X 2, donc P (jX On conclut en appliquant l’inégalité de Markov à Y = (X c) Avec Y = X m, on a P (X m ") = P (Y + x ) E( 1X mj ) = P ((X m)2 et " + x) ) = P (X = selon qu’ils sont ): m) 2: V (Y + x) V (Y ) + x2 = : 2 (" + x) (" + x)2 En e¤et, on a V (Y + x) = E(Y 2 ) + 2E(xY ) + E(x2 ) = V (Y ) + x2 , car E(Y ) = 0: L’application x 7 ! 2 ): V + x2 x 1 V est minimale lorsque = , c’est-à-dire x = : 2 2 (" + x) V +x "+x " ou : Remarque : Il existe une autre preuve (basée sur Cauchy-Schwarz, cf paragraphe suivant). d) P ( Sn 1 2 2 ) n 2 , où 2 1 1 = :, donc on prend n tel que 4 4n 2 1 1 p, c’est-à-dire n 4(1 p) 2 : 3) Inégalité de Cauchy-Schwarz On munit l’espace des variables aléatoires dé…nies sur du produit scalaire hX; Y i = E(XY ) = On a en particulier l’inégalité de Cauchy-Schwarz E(XY )2 a) Montrer que E(jXj)2 b) On suppose E(Y ) E(X 2 )E(Y 2 ): E(X 2 ), et plus précisement E(jXj)2 0 et Y non identiquement nulle. Montrer que P (Y > 0) E(X)j ") !2 (!)X(!)Y (!): E(X 2 )P (jXj > 0): c) Inégalité de Cantelli. Soit " > 0. En utilisant b), montrer que P (X En déduire que P (jX P E(X) E(Y )2 : E(Y 2 ) ") V (X) : V (X) + "2 2V (X) : V (X) + "2 Solution : a) On a E(jXj)2 = E(jXj :1) E(X 2 )E(1) = E(X 2 ): Plus précisement, E(jXj) = E(jXj :1jXj>0 ) en supprimant les termes nuls X(!) dans la somme Par Cauchy-Schwarz, E(jXj)2 = E(jXj :1jXj>0 )2 b) E(Y ) E(X 2 )E(1jXj>0 ) = E(X 2 )P (jXj > 0): E(Y + ), où Y + = max(0; Y ), et par a), E(Y + )2 P !2 E(Y 2 )P (Y > 0), donc E(Y )2 (!) jX(!)j : E(Y + )2 E(Y 2 )P (Y > 0): Comme Y n’est pas identiquement nulle (et positive), alors E(Y 2 ) > 0, ce qui permet de conclure. c) On applique b) à Y = X E(X m) = 0: m + ", où m = E(X). Ainsi, on a E(Y ) = " > 0 et E(Y 2 ) = V (X) + "2 , car