7. Lois à densité

7. Lois à densité • 127
7. Lois à densité
▶QCM Pour bien commencer
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le manuel, p. 398.
Corrigés des activités
1 Peut-on prévoir le hasard ?
●
1 a. L’instruction ALEA() renvoie un nombre aléatoire entre 0 et 1.
L’événement {X > 1} est un événement impossible. La probabilité de cet événement est donc 0.
b. L’événement contraire de cet événement est l’événement {X ⩽ 1} (événement certain).
c. F(1) = P(X ⩽ 1) = 1.
●
2 Raisonnement similaire aux questions 1. a., b. et c.
La fonction de répartition F étant constante sur l’intervalle ]1 ; + 3[, elle est dérivable sur cet inter-
valle et sa dérivée qui n’est rien d’autre que la densité, est nulle sur cet intervalle.
●
3 a. Non, la variable aléatoire X ne peut pas prendre de valeurs strictement négatives (l’instruction
ALEA() renvoie un nombre aléatoire entre 0 et 1).
b. Comme P(X ⩽ t) = P(∙) = 0 (pour tout nombre réel t strictement négatif), la fonction de réparti-
tion est alors constante sur ]– 3 ; 0[ (donc dérivable sur cet intervalle). Par conséquent, la densité est
nulle sur l’intervalle]– 3 ; 0[.
●
4 a. à g. Voir fichiers logiciels.
h. On conjecture que pour tout nombre réel x ∈ [0 ; 1[, F(x) = x.
●
5 a. D’après les questions 2. et 3., la densité est nulle sur ]– 3 ; 0[ et sur ]1 ; + 3[.
D’après l’énoncé de cette question, elle est supposée constante sur l’intervalle [0 ; 1].
Par la troisième caractéristique d’une densité, l’aire du domaine délimité par sa courbe représenta-
tive, par l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 1 (aire d’un rectangle), doit être égale
à 1. Ainsi, cette constante est 1.
b. Pour rappel, la fonction de densité est définie sur ℝ.
y
x
0
0,5
1
0,5
– 0,5– 1 1 1,5 2 2,5
f
c. Les primitives de la densité f sur l’intervalle ]0 ; 1[ sont les fonctions P définies sur cet intervalle
par P(x) = x + K, K étant un nombre réel.
d. D’après les questions 2. et 3., la fonction de répartition est constante sur l’intervalle ]– 3 ; 0[
(F(x) = 0) et également constante sur l’intervalle [1 ; + 3[ (F(x) = 1).

128 • 7. Lois à densité
D’après la question précédente, on en déduit que sur l’intervalle ]0 ; 1[, F est définie par
F(x) = x + K (F est une « primitive » de la densité sur cet intervalle). Or la fonction de répartition est
continue sur ℝ. En utilisant par exemple que F(1) = 1 (question 1.), on en conclut que la constante K
est égale à 0. On valide ainsi la conjecture établie à la question 4.h.
e. Pour rappel, la fonction de répartition est définie sur ℝ.
y
x
0
0,5
1
0,5– 0,5– 1– 1,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
𝒞F
2 De Moivre ou Laplace ?
Partie A
●
1 Cela se justifie par le fait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale ℬ(n ; p). En particulier, elle
prend les valeurs entières comprises entre 0 et n.
●
2 a. Le nombre de valeurs possibles que peut prendre la variable aléatoire Z est : n + 1.
b. Comme cette variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs, elle est discrète.
●
3 Non, la variable aléatoire Z ne suit pas une loi binomiale quels que soient les paramètres n et p. En
effet, les valeurs prises par cette variable aléatoire ne sont pas nécessairement des nombres entiers.
Par exemple, pour n = 2.
●
4 a. Son centre est z et sa longueur est
1
n
p
(
1
−
p
)
.
b. Comme k – 1 < k – 0,5 et k + 0,5 < k + 1, et comme la variable aléatoire X suit une loi binomiale
(valeurs entières), l’égalité est justifiée.
c. P(Z ∈ I)
=
P
z
−
1
2
n
p
(
1
−
p
)
¯
Z
¯
z
+
1
2
n
p
(
1
−
p
)
⎛
⎝
⎜
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
=
P
k
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
−
1
2
n
p
(
1
−
p
)
¯
X
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
¯
k
+
n
p
n
p
(
1
−
p
)
+
1
2
n
p
(
1
−
p
)
⎛
⎝
⎜
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
= P(k – 0,5 ⩽ X ⩽ k + 0,5)
= P(X = k).
d. Tous les rectangles Rk ont une dimension commune : longueur de l’intervalle I (question 4. a.) qui
est
1
n
p
(
1
−
p
)
. De plus, par définition, l’aire de chaque rectangle Rk doit être égale à P(Z ∈ I) qui par
la question 4. c. est elle-même égale à P(X = k).
Par conséquent, l’autre dimension est :
n
p
(
1
−
p
)
×
P
(
Z
[
I
)
=
n
p
(
1
−
p
)
×
P
(
X
=
k
)
.
Partie B
●
1 Voir fichiers logiciels.
●
2 Le message d’erreur s’affiche dans les cellules B14 à B58. Dans ces cellules, le tableur par l’intermé-
diaire de l’instruction LOI.BINOMIALE doit afficher la probabilité que la variable aléatoire X prenne
la valeur k pour n supérieur ou égal à 6. Or ici, le paramètre n et égal à 5 (cellule B2).

7. Lois à densité • 129
●
3 b. La colonne D contient les différentes valeurs prises par la variable aléatoire Z.
●
6 Pour n = 5, cette représentation est « décalée ».
●
7 Cette représentation « devient symétrique » : cette représentation à l’aide des rectangles contigus
évoque une courbe en cloche.
●
8 a. La courbe représentative de cette fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
c. Les contenus des deux colonnes deviennent très similaires.
d. On constate que la représentation à l’aide des rectangles contigus évoque une courbe en
cloche qui est exactement la courbe représentative de la fonction f tracée dans cette même fenêtre
graphique.
Partie C
●
1 Voir fichiers logiciels.
●
2 b. La variable aléatoire Z prend les valeurs
i
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
où i désigne les différentes valeurs prises par
la variable aléatoire X. Comme la variable aléatoire X suit une loi binomiale ℬ(n ; p), elle prend les
valeurs entières i comprises entre 0 et n. D’où la conclusion.
●
3 b. Les éléments de la liste P représentent les probabilités que la variable aléatoire Z prenne les
valeurs z. (Voir aussi la question 4. de la partie A).
●
4 et ● 5. Voir fichiers logiciels.
●
6 On constate que la représentation à l’aide des rectangles contigus évoque une courbe en cloche qui
est exactement la courbe représentative de la fonction f tracée à la question précédente.
Corrigés des travaux pratiques
TP 1 Passage à niveau et course cycliste
Partie A
●
1 Voir fichiers logiciels.
●
2 On conjecture que la constante de normalisation est égale à 42.
●
3 Une valeur approchée de l’intégrale J, est J ≈ 0,998 7.
Partie B
●
1 a. x(1 – x)5 = x – 5x2 + 10x3 – 10x4 + 5x5 – x6.
b. Ce sont les fonctions F définies sur l’intervalle [0 ; 1] par :
F
(
x
)
=
g
×
x
2
2
−
5
×
x
3
3
+
1
0
×
x
4
4
−
1
0
×
x
5
5
+
5
×
x
6
6
−
x
7
7
⎛
⎝
⎜
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
+
K
, K étant un nombre réel.
●
2 a.
f
(
x
)
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
=
g
×
1
2
−
5
3
+
1
0
4
−
1
0
5
+
5
6
−
1
7
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
=
g
×
1
4
2
.
b. L’intégrale déterminée à la question précédente en fonction de γ doit être égale à 1 (troisième
caractéristique de la densité) : γ = 42.
c. Par la question précédente, on valide la conjecture établie à la question 2. de la partie A.
●
3 Pour que la course ne soit pas perturbée, la réouverture des barrières doit s’effectuer avant que
45 secondes s’écoulent après leur fermeture. Autrement dit, le temps écoulé, exprimé en minutes,
entre la fermeture et la réouverture des barrières doit être inférieur à 45 secondes soit 0,75 minute.
Par définition, la probabilité de cet événement est l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses,
la courbe représentative de la fonction f et la droite d’équation x = 0,75.

130 • 7. Lois à densité
Aire ({M(x ; y) ; 0 ⩽ y ⩽ f(x) et x ⩽ 0,75})
= Aire ({M(x ; y) ; 0 ⩽ y ⩽ f(x) et 0 ⩽ x ⩽ 0,75}) (f(x) = 0 si x ∉ [0 ; 1])
=
f
(
x
)
d
x
0
0
,
7
5
∫
0
∫0
=
F
(
0
,
7
5
)
−
F
(
0
)
=
4
2
×
9
3
2
−
5
×
2
7
1
9
2
+
1
0
×
8
1
1
0
2
4
−
1
0
×
2
4
3
5
1
2
0
+
5
×
7
2
9
2
4
5
7
6
−
2
1
8
7
1
1
4
6
8
8
⎛
⎝
⎜
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
=
8
1
8
1
8
1
9
2
≈
0
,
9
9
8
7
.
Réponse cohérente avec celle de la question 3 de la partie A.
●
4 a.
x
2
(
1
−
x
)
5
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
x
(
x
−
5
x
2
+
1
0
x
3
−
1
0
x
4
+
5
x
5
−
x
6
)
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
x
3
3
−
5
×
x
4
4
+
1
0
×
x
5
5
−
1
0
×
x
6
6
+
5
×
x
7
7
−
x
8
8
⎛
⎝
⎜
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎡
⎣
⎢
⎡
⎢
⎡
⎢
⎣
⎢
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎤
⎥
⎤
⎥
⎦
⎥
⎦
⎥
⎥
⎥
0
1
=
1
3
−
5
×
1
4
+
1
0
×
1
5
−
1
0
×
1
6
+
5
×
1
7
−
1
8
=
1
1
6
8
.
b. Il faut déterminer l’espérance de la variable aléatoire implicitement définie dont la densité asso-
ciée est la fonction f :
x
f
xfx
(
x
)
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
4
2
×
x
×
x
×
(
1
−
x
)
5
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
4
2
×
1
1
6
8
=
0
,
2
5
(minute) donc 15 secondes.
TP 2 Préparation pour couscous
●
1 à ● 5. Voir fichiers logiciels.
●
5 h. Cet histogramme est symétrique. Oui, il a une forme particulière qui évoque une courbe en
cloche.
i. On conjecture que la loi suivie par la variable S est une loi normale.
●
6 a. Voir fichiers logiciels.
b. On conjecture que l’espérance de la variable aléatoire S est μ = 500.
●
7 a. Voir fichiers logiciels.
En cellule F48, la fréquence fluctue autour de la valeur 0,68.
En cellule F49, la fréquence fluctue autour de la valeur 0,95.
En cellule F50, la fréquence fluctue autour de la valeur 0,99.
b. [495 ; 505] = [500 – 5 ; 500 + 5].
[490 ; 510] = [500 – 2 × 5 ; 500 + 2 × 5].
[485 ; 515] = [500 – 3 × 5 ; 500 + 3 × 5].
On conjecture que l’écart-type de la variable aléatoire S est σ = 5.

7. Lois à densité • 131
Corrigés des exercices et problèmes
Exercices d’application
3 Dans un repère (O ; I, J), on appelle A, C et B les
points de coordonnées respectives (– 1 ; 0), (2 ; 0) et
1
;
2
3
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
.
1. La fonction f est continue et positive sur ℝ. Pour
que cette fonction soit une densité, il reste à vérifier
que l’aire du domaine délimité par la courbe repré-
sentative de cette fonction et par l’axe des abscisses
est égale à 1.
Or Aire(ABI) + Aire(BIC) =
(
1
−
(
−
1
)
)
×
2
3
2
+
2
3
×
(
2
−
1
)
2
=
1
.
La fonction f est donc une densité.
2. a. On appelle D le point de coordonnées
0
;
1
3
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
.
P(– 1 ⩽ X ⩽ 0) = Aire(AOD) =
1
6
.
b. On appelle E, G, H et F les points de coordonnées
respectives
1
2
;
0
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
,
3
2
;
0
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
,
3
2
;
1
3
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
et
1
2
;
1
2
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
.
P
1
2
¯
X
¯
3
2
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
=
A
i
r
e
(
E
F
B
I
)
+
A
i
r
e
(
I
G
H
B
)
=
1
2
+
2
3
2
×
1
2
+
2
3
+
1
3
2
×
1
2
=
1
3
2
4
.
4 Dans un repère (O ; I, J), on appelle A, B, C et D
les points de coordonnées respectives (– 1 ; 0),
0
;
1
2
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
,
1
;
1
2
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
et (2 ; 0).
a. La fonction f est continue et positive sur ℝ. Pour
que cette fonction soit une densité, il reste à vérifier
que l’aire du domaine délimité par la courbe repré-
sentative de cette fonction et par l’axe des abscisses
est égale à 1. Or :
Aire(triangle ABO) + Aire(rectangle OBCI)
+ Aire(triangle CID)
=
(
0
−
(
−
1
)
)
×
1
2
2
+
1
×
1
2
+
(
2
−
1
)
×
1
2
2
=
1
.
La fonction f est donc une densité.
b. P(– 1 ⩽ X ⩽ 1) = Aire(AOB) + Aire(OBCI) =
3
4
.
5 Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 398.
6 a. Étape 1.
La fonction f est continue sur ℝ.
Étape 2.
Pour que la fonction f soit une densité, elle doit être
positive sur ℝ.
Si x ∉ [0 ; 1], f(x) = 0 ⩾ 0.
Si 0 ⩽ x ⩽ 1, x(1 – x) ⩾ 0 : le nombre réel a doit donc
être positif.
Étape 3.
L’aire du domaine délimité par la courbe représen-
tative de la fonction f et par l’axe des abscisses doit
être égale à 1. Condition qui se traduit de la manière
suivante à l’aide d’une intégrale :
f
(
x
)
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
1
.
Or
f
(
x
)
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
a
x
(
1
−
x
)
d
x
0
1
∫
0
∫0
=
a
(
x
2
2
−
x
3
3
)
⎡
⎣
⎢
⎡
⎢
⎡
⎣
⎢
⎣
⎤
⎦
⎥
⎤
⎥
⎤
⎦
⎥
⎦
0
1
=
a
×
1
2
−
1
3
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎛
⎜
⎛
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎛
⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎞
⎟
⎞
⎠
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎞
⎠
⎞
=
a
6
.
Donc a = 6.
b.
P
(
0
,
2
5
¯
X
¯
0
,
7
5
)
=
6
x
(
1
−
x
)
d
x
0
,
2
5
0
,
7
5
∫
0
∫0
=
3
x
2
−
2
x
3
⎡
⎣
⎡
⎣
⎡
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
0
,
2
5
0
,
7
5
=
1
1
1
6
=
0
,
6
8
7
5
.
7 Étape 1.
Les trois fonctions f, g et h sont continues sur ℝ.
Étape 2.
Les fonctions g et h sont positives sur ℝ. Par contre,
f ne l’est pas (f est strictement négative sur l’inter-
valle]2 ; 3[) : f n’est donc pas une densité.
Étape 3.
Reste à vérifier la troisième caractéristique d’une
densité : l’aire du domaine délimité par la courbe
représentative de la fonction et par l’axe des
abscisses doit être égale à 1.
Pour la fonction g, l’aire de ce domaine est l’aire
d’un triangle :
(
3
−
1
)
×
2
2
=
2
≠
1
.
Pour la fonction h, l’aire de ce domaine est égale-
ment l’aire d’un triangle :
(
5
−
1
)
×
0
,
5
2
=
1
.
Étape 4.
𝒞h est donc la courbe représentative d’une densité
(réponse c).
8 Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 398.
9 F(60) = P(X ⩽ 60) = 1 – P(X > 60) = 0,7.
F(38) = P(X ⩽ 38) = 1 – P(X > 38) = 0,1.
P(38 ⩽ X ⩽ 50) = F(50) – F(38)
alors F(50) = F(38) + 0,45 = 0,55.
P(50 ⩽ X ⩽ 60) = F(60) – F(50) = 0,7 – 0,55 = 0,15.
10 a. I ∩ J = ]– 3 ; x] ∩ ]x ; y] = ∙.
b. P(X ∈ ℝ) = 1
P({X ∈ I} ∪ {X ∈ J} ∪ {X ∈ ]y ; + 3[}) = 1
P(X ⩽ x) + P(x < X ⩽ y) + P(y < X) = 1
F(x) + P(x < X ⩽ y) = 1 – P(X > y)
F(x) + P(x < X ⩽ y) = P(X ⩽ y)
F(x) + P(x < X ⩽ y) = F(y).