NOMBRES PARTICULIERS

1
Des nombres particuliers
Diviseurs page 2
Quelques critères de divisibilité page 3
Nombres premiers entre eux page 4
Les nombres premiers page 5
La conjecture de GOLDBACH page 6
Nombres premiers jumeaux page 7
Nombres premiers de Sophie Germain page 8
Les nombres parfaits page 9
Nombres de Mersenne page 10
Nombres de Mersenne et nombres parfaits page 11
Présentation rapide de quelques concepts qui seront utilisés en cryptographie.

2
Diviseurs
Si
a
est un entier alors l’entier d est un diviseur de a lorsque que
1)
0
d
≠
2)
0
aMODd
=
Donc : d est un diviseur de a veut dire : il existe un entier k tel que
,
k
d
a
×
=
k
est alors aussi un diviseur de a.
Vocabulaire si d est un diviseur de a on dit aussi « a est divisible par d ».
Notation
Si
a
est un entier
)
a
(
div
désigne l’ensemble des diviseurs positifs de a.
Remarques
1)
)
a
(
div
n’est jamais vide puisque
)
a
(
div
1
∈
dans tous les cas.
2)
)
0
(
div
est l’ensemble de tous les entiers positifs non nuls puisque
0
d
0
×
=
pour tout entier positif d.
{
}
;.........1n;n;1n.....;;3;2;1)0(div
+
−
=
3) pour tout entier a :
(
)
.)a(divaetadiv)a(div
∈
=
Exemples
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{ } { } { } { }
{ } )10(div10;5;2;1)10(div
10;5;2;1)10(div,9;3;1)9(div,8;4;2;1)8(div,7;1)7(div
,6;3;2;1)6(div,5;1)5(div,4;2;1)4(div,3;1)3(div,2;1)2(div,1)1(div
==− ====
=
=
=
=
=
=
Nombre pair (définition connue de tous)
Le nombre entier a est un nombre pair veut dire
)
a
(
div
2
∈
(un nombre qui
n’est pas pair est dit nombre impair) .
Par exemple 0 est un nombre pair puisque
).
0
(
div
2
∈
Remarque ( pour un grand entier a )
Pour trouver l’ensemble
)
a
(
div
il suffit de trouver les diviseurs de a inférieurs
ou égaux à .a et à chaque diviseur inférieur à a il correspond un diviseur
supérieur à :a .aketadediviseurunestk:dkaetad ≥=≤
•
On utilise une calculatrice si nécessaire.
Exemples
)
50
(
div
{
}
50;25;10;5;2;1)50(div......07,750: ==
d 1 2 5
k 50 25 10

3
Quelques critères de divisibilité
(Connus de tous, les nombres sont écrits en base 10)
a divisible
par Critère
2 Il se termine par un chiffre pair. Exemple 12345678.
3 La somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple 12345678.
4 Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Exemples 123456708 , 123456788.
5 Il se termine par 0 ou 5. 12345 , 1230.
6 Divisible par 2 et par 3 (se termine par un chiffre pair et la somme
de ses chiffres est divisible par 3). Exemple 123456.
7 Le double du dernier chiffre soustrait au nombre de dizaines est
divisible par 7. Exemple 7189
).
700
9
2
718
(
=
×
−
8 Les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
Exemples 14008 ; 14072
)
8
9
72
(
×
=
; 14664
8)
83
(664
×
=
.
9 La somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple 123456789
11 La différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et celle de
rang impair est divisible par 11. Exemple 1639263923
125 Les 3 chiffres de droite forment un nombre divisible par125 c'est-
à-dire :125 ; 250 ; 375 ; 500 ; 625 ; 750 ; 875
Exemples : 1234567125 et 1234567875

4
Nombres premiers entre eux
Définition
Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque
{
}
.1)b(div)a(div
=
∩
Exemples
1) Si b est un nombre impair alors 2 et b sont premiers entre eux puisque
{
}
{
}
{ }
.1)b(div)2(div:et)b(div)2(div2),b(div2Puisque
.2;1)2(div)b(div)2(div:donc2;1)2(div =∩∩∉∉
=
⊂
∩
=
1) 4 et 10 ne sont pas premiers entre eux puisque
{
}
{
}
{
}
{
}
12;110;5;2;14;2;1)10(div)4(div
≠
=
∩
=
∩
2) 4 et 9 sont premiers entre eux puisque
{
}
{
}
{
}
.19;3;14;2;1)9(div)4(div
=
∩
=
∩
Deux propriétés des nombres premiers entre eux
(Démonstration : voir plus loin)
.
entiers
des
sont
c
,
b
,
a
I. Lemme de Gauss
Si a est un diviseur de
c
b
×
et si a est premier avec b alors a est un diviseur de c.
Exemples
1) Si b est un nombre impair et si
c
b
×
est un nombre pair alors c est un nombre
pair : 2 est un diviseur de
c
b
×
et 2 est premier avec b donc 2 divise c.
II.
Si a et b sont deux nombres entiers non nuls premiers entre eux et si c est
divisible par a et par b alors c est divisible par
.
b
a
×
Exemples
1)
div(14664)
8
∈
puisque le nombre formé par les 3 derniers chiffres est
divisible par
,
83
8
664
:
8
×
=
div(14664)
3
∈
puisque la somme des chiffres qui
composent 14664 est divisible par 3
)
21
4
6
6
4
1
(
=
+
+
+
+
,
{
}
.1)3(div)8(div
=
∩
Donc
611
3)
(8
14664
:
14664)
(
div
3
8
×
×
=
∈
×
2)
puisque
)
123122664
(
div
9
et
)
664
(
div
8
puisque
)
123122664
(
div
8
∈
∈
∈
{
}
)123122664(div7298
:donc1)9(div)8(div;)466221321(div9 ∈=×
=
∩
+
+
+
+
+
+
+
+
∈
Remarque il peut exister a et b ne sont pas premiers entre eux tels que a divise c
et b divise c et ab divise c (en particulier si
.
)
c
ab
=
Exemple
.
4
6
par
aussi
et
4
par
et
6
par
divisible
48
×

5
Les nombres premiers
Définition un entier positif p est dit nombre premier lorsque :
2àégalest)p(divdeélémentsdesnombreLe
Remarque
1
n’est pas un nombre premier puisque
{
}
1)1(div
=
donc
.
2
à
non
et
1
à
égal
est
)
1
(
div
de
éléments
des
nombre
le
Exemples de nombres premiers
1601
;
151
;
13
;
11
;
7
;
5
;
3
;
2
Remarque le seul nombre premier pair est 2, et c’est le plus petit, en effet si n
est un nombre pair différent de 2
{
}
)n(divn;2;1
⊂
et le nombre des éléments de
.
2
à
égal
pas
est
'
n
)
n
(
div
•
Les nombres premiers sont difficiles à connaître.
Le polynôme d’Euler
.Euler'dpolynômeleest41)1n(n41n
2
n)n(P ++=++=
Ce polynôme possède la propriété suivante :
.premiernombreunest)n(P39à0devaleurslesprenantnentiertoutpour
Exemples
premier.nombreunest41P(0)
.
..........
premier
nombre
un
est
1523
P(38)
premier
nombre
un
est
1601
)
39
(
P
=
=
=
Propriété 1 des nombres premiers
Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux :
{
}
{
}
{
}
.
2
p
1
ppuisque
1
2
p;1
1
p;1)
2
p(div)
1
p(div:
2
p
1
petpremierssont
2
pet
1
p≠
=
∩
=
∩
≠
Propriété 2 des nombres premiers
Si p est un nombre premier alors pour tout entier a
{
}
{ } ∉
∈
=∩ )a(divpsi1
)a(divpsip;1
)p(div)a(div
•
Si p n’est pas un diviseur de a alors p est premier avec a.
•
Si p n’est pas premier avec a alors p est un diviseur de a.
Pour savoir si un nombre impair p est un nombre premier il suffit de vérifier
qu’aucun nombre inférieur ou égal à p ne divise p.
Les nombres premiers de 1 à 100 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 et 97.