Variables aléatoires à valeurs dans N

P.C. Feuille d’exercices 14 2017
VARIABLES ALÉATOIRES À VALEURS DANS N
Exercice 1 ♥Retrouver la formule de la variance à partir d’une série génératrice
Retrouver l’expression de V(X)dans le cas où RX, rayon de convergence de GX, est strictement
supérieur à 1.
Exercice 2 ♥Somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois
binomiales
1. Écrire la série génératrice d’une variable aléatoire X ֒→B(m, p).
2. Si Y ֒→B(n, p)et si Xet Ysont indépendantes, déterminer la série génératrice de leur
somme et retrouver que X+Y ֒→B(m+n, p).
Exercice 3 Série génératrice d’une variable aléatoire dont on connaît la loi de
probabilité
Soit xun réel strictement positif et Xune variable aléatoire discrète à valeurs dans Ndont la
loi de probabilité est définie par :
∀n∈N, P (X=n) = 1
ch x
x2n
(2n)!.
1. Calculer sa série génératrice GXà l’aide de fonctions usuelles.
2. En déduire son espérance et sa variance.
Exercice 4 Série génératrice d’une variable aléatoire
Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N. On pose pn=P(X=n),rn=P(X > n)et
on note Gla série génératrice de X.
1. Quelle relation a-t-on entre la série Xpnet la suite (rn)n∈N?
2. On considère la série entière Xrntn. Montrer que son rayon de convergence est supérieur
ou égal à 1.
3. Pour |t|<1, on pose : H(t) =
+∞
X
n=0
rntn. Montrer que H(t) = 1−G(t)
1−t.
Exercice 5 Détermination de la loi suivie par une VAD
On admet, dans cet exercice, que : ∀q∈N∗,X
k≥qk
qxk−qconverge et
∀x∈]−1,1[,
+∞
X
k=qk
qxk−q=1
(1 −x)q+1 .
Soit p∈]0,1[ et r∈N∗.
On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t= 0 (le temps est en secondes).
On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte.
Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t= 1.
La bactérie a la probabilité pd’être touché par le rayon laser.
Les tirs de laser sont indépendants.
La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée rfois par le rayon laser.
Soit Xla variable aléatoire égale à la durée de vie en secondes de la bactérie.
1

1. Déterminer la loi de X.
2. Prouver que Xadmet une espérance et la calculer.
Exercice 6 ♥Un couple de variables aléatoires indÃľpendantes suivant la même
loi géométrique
Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique sur N∗
de paramètre p∈]0,1[.
ndésigne un entier strictement positif ; d’autre part, on pose Z= min(X, Y )et q= 1 −p.
1. Calculer P(X≥n).
2. Calculer P(Z≥n), puis P(Z=n). En déduire quelle loi suit la variable aléatoire Z.
3. Les variables Xet Zsont-elles indépendantes ?
Exercice 7 ♥Un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi
géométrique (again)
Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométrique G(p).
On note Z= max(X, Y ). Déterminer la loi de Zet calculer son espérance.
Exercice 8 ♥Loi de Poisson et formule du transfert
Soit Xune variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0.
Calculer l’espérance de Y=1
1 + X.
Exercice 9 ♥Loi de Poisson et couple de variables aléatoires
On suppose que le nombre Nd’enfants d’une famille suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. À chaque naissance, on suppose que la probabilité que l’enfant soit une fille est p∈]0,1[
et celle que ce soit un garçon est q= 1 −p. On suppose aussi que les sexes des naissances
successives sont indépendants. On note Xla variable aléatoire correspondant au nombre de
filles par famille et Ycelle du nombre de garçons.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (N, X).
2. Quelle est la loi de X, de Y?
Exercice 10 ♥Couple de variables aléatoires suivant des lois de Poisson et séries
génératrices
On considère deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Poisson de
paramètres respectifs λet µ.
1. Montrer directement que Z=X+Ysuit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
2. Retrouver le résultat grâce aux séries génératrices.
Exercice 11 Couple de variables aléatoires à valeurs dans N2
Soit a∈]0,+∞[.
Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2dont la loi est donnée par :
∀(j, k)∈N2,P(X=j, Y =k) =
(j+k)1
2j+k
ej!k!.
1. Déterminer les lois marginales de Xet de Y.
Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
2. Prouver que E2X+Yexiste et la calculer.
Exercice 12 ♥Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
Soit nun entier naturel supérieur ou égal 5et Xune variable aléatoire à valeurs dans N∗
suivant la loi géométrique de paramètre 1
4.
2

Majorer P(X≥n)à l’aide de l’inégalité de Markov, puis à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-
Tchebychev et, enfin, en appliquant l’inégalité de Markov à la variable aléatoire discrète 5
4X
.
Commenter.
Exercice 13 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (bis)
Soit nun entier naturel non nul et Xune variable aléatoire suivant la loi géomètrique G1
n.
1. Montrer que P(X≥n2)61
n.
2. Montrer que P(|X−n| ≥ n)61−1
n. En déduire que P(X≥2n)61−1 n.
Exercice 14 Une utilisation des inégalités classiques
Soit X1, X2,...,X8,8variables aléatoires de Poisson indépendantes de moyenne 2.
1. Utilisez l’inégalité de Markov pour obtenir une borne pour : P(X1+X2+···+X8≥32)
2. Qu’obtient-on comme borne en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Exercice 15 ♥Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Soit une variable aléatoire X ֒→B(300,0,01). Est-il légitime de l’approcher par une loi de
Poisson ? Quel est alors le paramètre de cette loi ? Donner une approximation de P(X≥3).
3