Variables aléatoires à valeurs dans N

P.C.
Feuille d’exercices 14
2017
VARIABLES ALÉATOIRES À VALEURS DANS N
Exercice 1 ♥ Retrouver la formule de la variance à partir d’une série génératrice
Retrouver l’expression de V (X) dans le cas où RX , rayon de convergence de GX , est strictement
supérieur à 1.
Exercice 2 ♥ Somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois
binomiales
1. Écrire la série génératrice d’une variable aléatoire X ֒→ B(m, p).
2. Si Y ֒→ B(n, p) et si X et Y sont indépendantes, déterminer la série génératrice de leur
somme et retrouver que X + Y ֒→ B(m + n, p).
Exercice 3 Série génératrice d’une variable aléatoire dont on connaît la loi de
probabilité
Soit x un réel strictement positif et X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N dont la
loi de probabilité est définie par :
∀ n ∈ N , P (X = n) =
1 x2n
.
ch x (2n)!
1. Calculer sa série génératrice GX à l’aide de fonctions usuelles.
2. En déduire son espérance et sa variance.
Exercice 4 Série génératrice d’une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N . On pose pn = P (X = n), rn = P (X > n) et
on note G la série génératrice de X. X
1. Quelle relation a-t-on entre la série
pn et la suite (rn )n∈N ?
X
2. On considère la série entière
rn tn . Montrer que son rayon de convergence est supérieur
ou égal à 1.
+∞
X
1 − G(t)
3. Pour |t| < 1, on pose : H(t) =
rn tn . Montrer que H(t) =
.
1−t
n=0
Exercice 5 Détermination de la loi suivie par une VAD
X k
xk−q converge et
On admet, dans cet exercice, que : ∀ q ∈ N∗ ,
q
k≥q
+∞ X
k k−q
1
.
∀ x ∈ ]−1, 1[,
x
=
(1 − x)q+1
q
k=q
Soit p ∈ ]0, 1[ et r ∈ N∗ .
On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t = 0 (le temps est en secondes).
On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte.
Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t = 1.
La bactérie a la probabilité p d’être touché par le rayon laser.
Les tirs de laser sont indépendants.
La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée r fois par le rayon laser.
Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie en secondes de la bactérie.
1
1. Déterminer la loi de X.
2. Prouver que X admet une espérance et la calculer.
Exercice 6 ♥ Un couple de variables aléatoires indÃľpendantes suivant la même
loi géométrique
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique sur N ∗
de paramètre p ∈]0, 1[.
n désigne un entier strictement positif ; d’autre part, on pose Z = min(X, Y ) et q = 1 − p.
1. Calculer P (X ≥ n).
2. Calculer P (Z ≥ n), puis P (Z = n). En déduire quelle loi suit la variable aléatoire Z.
3. Les variables X et Z sont-elles indépendantes ?
Exercice 7 ♥ Un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi
géométrique (again)
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométrique G (p).
On note Z = max(X, Y ). Déterminer la loi de Z et calculer son espérance.
Exercice 8 ♥ Loi de Poisson et formule du transfert
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0.
1
Calculer l’espérance de Y =
.
1+X
Exercice 9 ♥ Loi de Poisson et couple de variables aléatoires
On suppose que le nombre N d’enfants d’une famille suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. À chaque naissance, on suppose que la probabilité que l’enfant soit une fille est p ∈]0, 1[
et celle que ce soit un garçon est q = 1 − p. On suppose aussi que les sexes des naissances
successives sont indépendants. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de
filles par famille et Y celle du nombre de garçons.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (N, X).
2. Quelle est la loi de X, de Y ?
Exercice 10 ♥ Couple de variables aléatoires suivant des lois de Poisson et séries
génératrices
On considère deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Poisson de
paramètres respectifs λ et µ.
1. Montrer directement que Z = X + Y suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
2. Retrouver le résultat grâce aux séries génératrices.
Exercice 11 Couple de variables aléatoires à valeurs dans N 2
Soit a ∈ ]0, +∞[.
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2 dont la loi est donnée par :
j+k
1
(j + k)
2
∀(j, k) ∈ N2 , P (X = j, Y = k) =
.
e j! k!
1. Déterminer les lois marginales de X et de Y .
Les variables X et Y sont-elles
indépendantes ?
X+Y
2. Prouver que E 2
existe et la calculer.
Exercice 12 ♥ Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
Soit n un entier naturel supérieur ou égal 5 et X une variable aléatoire à valeurs dans N ∗
1
suivant la loi géométrique de paramètre .
4
2
Majorer P (X ≥ n) à l’aide de l’inégalité de Markov, puis à l’aide de l’inégalité de Bienaymé X
5
Tchebychev et, enfin, en appliquant l’inégalité de Markov à la variable aléatoire discrète
.
4
Commenter.
Exercice 13 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (bis)
1
.
Soit n un entier naturel non nul et X une variable aléatoire suivant la loi géomètrique G
n
1
1. Montrer que P (X ≥ n2 ) 6 .
n
1
1
2. Montrer que P (|X − n| ≥ n) 6 1 − . En déduire que P (X ≥ 2n) 6 1 − .
n
n
Exercice 14 Une utilisation des inégalités classiques
Soit X1 , X2 , . . . , X8 , 8 variables aléatoires de Poisson indépendantes de moyenne 2.
1. Utilisez l’inégalité de Markov pour obtenir une borne pour : P (X1 + X2 + · · · + X8 ≥ 32)
2. Qu’obtient-on comme borne en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Exercice 15 ♥ Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Soit une variable aléatoire X ֒→ B(300, 0, 01). Est-il légitime de l’approcher par une loi de
Poisson ? Quel est alors le paramètre de cette loi ? Donner une approximation de P (X ≥ 3).
3