chp4 calcul numérique et puissances correction 2015-2016

Chapitre 4 Calcul numérique et puissances
Objectifs :
• Effectuer des calculs utilisant des nombres relatifs et des nombres en écriture fractionnaire. (socle)
• Effectuer des calculs utilisant des puissances. (socle)
• Résoudre des problèmes sur les fractions, les puissances...
I. Les ensembles de nombres
1) les nombres entiers
On distingue deux ensembles de nombres entiers :
* les nombres entiers naturels :
exemples : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …. ; 52 ; …. ; 149 ; …
* les nombres entiers relatifs, composés des nombres entiers naturels et de leurs opposés :
exemples : … ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …
2) les nombres décimaux
Ces nombres ont une écriture décimale qui a un nombre fini de chiffres après la virgule.
Ils s'écrivent comme le quotient d'un nombre entier relatif par une puissance de 10.
Exemples :
1
10 =0,1
;
−268
100 =−268
102=−2,68
;
3=3,0=3
100
...
Les nombres entiers sont des nombres décimaux particuliers.
3) les nombres rationnels
Ce sont les quotients de deux nombres entiers relatifs.
Exemples :
5
10
;
−2
3
sont des nombres rationnels mais
5
10
est un nombre décimal alors que
−2
3
n'est pas un nombre décimal (son écriture décimale ne se termine pas).
Les nombres décimaux sont des nombres rationnels mais attention les nombres rationnels ne sont
pas tous des nombres décimaux.
4) les nombres irrationnels
Ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels autrement dit : des nombres qui ne peuvent pas
s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers relatifs.
Exemples : pi ; le nombre d'or (voir HDA) ;
√
2
...
II. Calcul numérique : rappels
1) Priorités des opérations (voir vidéo c4v1)
2) Calculs avec des nombres relatifs (voir vidéo c4v2)
3) Calculs avec des nombres en écriture fractionnaire (voir vidéo c4v3)
III. Puissances entières d'un nombre relatif
Définitions :
Soient a un nombre relatif et n un nombre entier naturel (c'est à dire positif).
• pour n ≥ 2 :
an=a×a×...×a
(se lit : « a exposant n » ou « a puissance n »)
n facteurs
•
a1=a
et
a0=1
(si a ≠ 0) : en particulier :
1n=1
et
0n=0
(avec n ≠ 0)
• Lorsque a ≠ 0,
a−n=1
an
(ainsi,
a−n
est l'inverse de an )

Exemples :
(−3)5=(−3)×(−3)×(−3)×(−3)×(−3)=9×9×(−3)=81×(−3)=−243
(−3)−2=1
(−3)2=1
9
Propriétés :
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls ; n et p deux entiers relatifs non nuls.
an×ap=an+p
an
ap=an−p
(an)p=an×p
an×bn=(a×b)n
(
a
b
)
n
=an
bn
Exemples :
32×35=32+5=37
(1,32)3=1,32×3=1,36
(
3
4
)
2
=32
42=9
16
(−4)3
(−4)5=(−4)3−5=(−4)−2
(2a)2=22×a2=4a2
Cas particuliers des puissances de 10
Propriété :
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1.
10n=10...0
10−n=0,0 ...01
n zéros n zéros
Exemples :
un million =
1 000 000=106
un millième =
1
1000 =10−3
un milliard =
1 000 000 000=109
un millionième =
1
1000000 =10−6
Propriétés :
Pour multiplier un nombre en écriture décimale :
• par 10n, on décale la virgule de n chiffres vers la droite
• par 10-n, on décale la virgule de n chiffres vers la gauche
en complétant éventuellement avec des zéros.
Exemples :
3,5×104=35 000
3,5×10−4=0,000 35
Définition :
L'écriture ou la notation scientifique d'un nombre décimal non nul est la seule écriture de la forme
a×10n
où :
• a est un nombre décimal écrit avec un seul chiffre autre que 0 avant la virgule
• n est un nombre entier relatif
Exemples :
L'écriture scientifique de 253,47 est
2,5347×102
A=0,287×10−4=2,87×10−1×10−4=2,87×10−1+(−4)=2,87×10−5