2. Groupe additif et groupe multiplicatif d`un corps fini. - E

§2. Groupe additif et groupe multiplicatif d'un
corps fini.
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 19 (1973)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
25.05.2017
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/un
1.2. Soient maintenant p un nombre premier,
entier >1, et
posons q= /? / . Désignons par Q une clôture algébrique de Fp , et notons k
l'ensemble des racines dans Q du polynôme X q ? X. Ce polynôme ayant
toutes ses racines simples (son dérivé vaut ? 1), on voit que card (k) = q;
de plus, q étant une puissance de la caractéristique, on a, quels que soient a et
b dans k,(a + b) q = a q + bq = a + b; on a évidemment aussi (ab) q =
a q b q = ab, et fc est un sous-corps de Q; en particulier:
Proposition
fini possédant
?
Quels que soient p premier et
éléments.
exactement q =
3.
//
/>
1,
// emte
w«
cor/w
Ce corps est unique à isomorphisme près (prop. 2) ; on le note généra
lement¥q
.
1.3. Mêmes données que dans la section précédente. Soient
deux entiers !> 1, et posons, pour z = 1,2,
f
f
t
et/
2
on a alors évidemment [fc :FJ= t . Si fc x <= & 2 , la multiplicativité du
divise 2 . Inversement, supposons que t divise 2 ;
? mfv donc 2 = qi m si aek t , on a alors 91 =a
(prop. 2), donc a ql = a q2 =a,et par conséquent aek 2 (prop. 2); ainsi,
&! c: k 2 . Au total (et en conservant ces notations):
£
j\
degré montre que
on peut écrire f2f2
Proposition
donc
? L 'inclusion k
q2q
2
ft et/
c£2
équivaut
àla relation^
divise
f
f
2,
1.
q ,,.
2.
et le composé de k ± et
Groupe
Soit
1
est une puissance de q x .
a9la
Soient respectivement/ et/' le p.g.c.d. et le p. p. cm.de
?
Alors l'intersection
Posons q = q f \ q" ? q f \ k' = F^/, k" = F
Corollaire
§2.
f
',
q2q
4.
àla relation
/
kun
k2k
2
sont respectivement
k'
et k".
additif et groupe multiplicatif d 'un corps fini.
corps fini à q
=pf
éléments.
L'extension k/¥p étant de degré /, k est isomorphe, en tant qu'es
pacevectoriel sur Fp , et a fortiori en tant que groupe additif, au produit
direct de exemplaires de ¥p ; en conséquence:
2.1.
/
Proposition
(P, ..>,P)
5.
iffois).
?Le
groupe additif
k+
de
k
est un groupe de type
2.2. Passons au groupe multiplicatif k*; il est commutatif, d'ordre
q ? 1; si N désigne le p.p.c.m. des ordres des éléments de k* on vérifie
sans peine qu'il existe dans k* un élément g d'ordre exactement égal à N
(c'est là une propriété générale des groupes commutatifs d'ordre fini).
9
N
-
1; ce poly
Tout élément de k* est évidemment racine du polynôme
nôme,de degré N, possède donc au moins q ? 1 racines, d'où N > q ? 1 ;
or, par construction même, N divise q ? 1 ; ainsi, N = q ? 1 ; mais alors
g est d'ordre q ? 1, c'est un générateur de k* et on peut énoncer:
XNX
9
Proposition
d'ordre
q
?
6.
1.
? Le groupe multiplicatif k* de k est un groupe cyclique
Pour une autre démonstration de ce résultat, utilisant les propriétés de
l'indicatrice d'Euler, voir [17], pp. 12-13.
2.3. Soit dun entier >I;onse propose d'étudier le groupe des puis
sancesd-ièmes et le groupe des racines d-ièmes de l'unité dans k*, c'est
à-direl'image et le noyau de l'homomorphisme ud : k* -+ k*, défini par
ô
d
ud (x) = x (xek*). Posons Ô = (q?l,d), u ô (x) = x (x e k*) et notons
de
de
Bezout
L'identité
k* (prop. 6).
g un générateur
a(q?l) + bd ? Ô
montre que ud et u ô ont même noyau (noter que xxq ~ 1 = 1 pour tout xe &*) ;
k* étant fini, il en résulte que l'image de ud et celle de uô ont même ordre;
mais la première est évidemment contenue dans la seconde: ud et u ô ont
donc aussi même image. Maintenant, comme ô divise q ? 1, il est clair que
l'image de u ô est le sous-groupe de k* engendré par g 3 , et que le noyau de
ô
u ô est le sous-groupe de k* engendré par g^~^l (pour le voir, identifier
par exemple k* à Z/(q-l) Z, g s'identifiant à la classe de 1 (mod q-l)).
En résumé:
Proposition
fc*, d un entier
7.
? Soient k un corps fini à q éléments, g un générateur de
> 1,
et posons ô
= (q? 1, d). Alors :
(i) Dans k*, les puissances d-ièmes et les puissances ô-ièmes forment un
même sous-groupe, cyclique, engendré par g 3 , et d'ordre égal à
(q-l)/
(ii) De même, les racines d-ièmes et les racines ô-ièmes de l'unité forment un
même sous-groupe, cyclique, engendré par (q 1)/ô , et d'ordre égal à 3.
~1)/~
g(g
Corollaire 1. ?Le groupe quotient k*/k* d est cyclique, d'ordre égal àS.
Corollaire 2. ? Pour qu 'un élément a de k* soit une puissance d-ième, il
faut et il suffit
que
a(a
(q ~
1)/ =1.
Pour k ? Fp9 p impair, et d? ô = 2, le corollaire 2 coïncide avec le
critère d'Euler sur les restes et non-restes quadratiques modulo p.
§3. Extensions algébriques d 'un corps fini.
Soit toujours k un corps fini à q éléments.
Soit K une extension algébrique de k, de degré fini m; il est clair
m
Fqm . Soit alors iun entier >0;
que card(X) == qq 9 et donc que
l
est
comme q
une puissance de la caractéristique de K, l'application a t :
K-»K9 définie par a { (x) = xql (x e K), est un automorphisme de K,
et même, puisque k = ¥ q9 un A>automorphisme de K (prop. 2); si est un
autre entier >o,ona évidemment o- f+J =ato or^; enfin, si (par exemple)
qJ l
/ <y, l'ensemble des xe Autels que G t {x)
=x,
=Gj (x), donc tels que x
est évidemment égal à K n FF g y_;, et ne peut par conséquent être égal à
F qm que si F qm cz F flJ-_,-, donc (prop. 4) si z=y (modm); en par
ticulier,les m fc-automorphismes a t avec 0
< m sont distincts, et on
3.1.
K=
j
-
~l~
K=
<i
peut affirmer:
Proposition
8.
de Galois
? L 'extension K/k est galoisienne ; son groupe
de
Frobenius)
par l 'automorphisme (dit
xq .
Le fait que K/k est galoisienne peut se voir plus directement: en effet, k
étant évidemment parfait, K/k est séparable, et il suffit de prouver que K/k
est normale, ce qui résulte du fait que K est le corps de décomposition, dans
est cyclique, d 'ordre m, engendré
x
!->
une clôture algébrique de k, du polynôme
3.2.
Xq7n
?X (prop. 2).
Mêmes données que ci-dessus. Soit Tr :K->k, l'application trace.
8 montre que, pour tout élément x de K, on a
La proposition
(3.2.1)
En outre:
Proposition
9.
? L 'application
Tr
:K-+ k,
est surjective. Si
xeK,
les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(a)
Tr(x) = 0;
(b)
il
existe
yeK tel que x=yq ?y.
?
Considérons K comme espace vectoriel sur k; Tr
Démonstration.
forme
alors
est
linéaire, et cette forme linéaire n'est pas nulle (si elle
une
de
(3.2.1)
impliquerait que le polynôme X+ X q + ... + Xqm
l'était,
~~
l9l
9