2. Groupe additif et groupe multiplicatif d`un corps fini. - E

§2. Groupe additif et groupe multiplicatif d'un
corps fini.
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 19 (1973)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 25.05.2017
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1.2. Soient maintenant pun nombre premier, /un entier >1, et
posons q= /?/.Désignons par Qune clôture algébrique de Fp,et notons k
l'ensemble des racines dans Qdu polynôme Xq?X. Ce polynôme ayant
toutes ses racines simples (son dérivé vaut ?1), on voit que card (k) =q;
de plus, qétant une puissance de la caractéristique, on a, quels que soient aet
bdans k,(a+b)q=aq+bq=a+b; on aévidemment aussi (ab)q=
aqbq=ab, et fc est un sous-corps de Q; en particulier:
Proposition 3. ?Quels que soient ppremier et/>1, // emte w« cor/w
fini possédant exactement q=// éléments.
Ce corps est unique àisomorphisme près (prop. 2) ;on le note généra
lement¥q.
1.3. Mêmes données que dans la section précédente. Soient ftet/2
deux entiers !> 1, et posons, pour z=1,2,
on aalors évidemment [fc£:FJ= ft.Si fc x<= &2,la multiplicativité du
degré montre que j\ divise /2.Inversement, supposons que ftdivise f2;
on peut écrire f2f2?mfvdonc q2q 2=qim', si aekt,on aalors a9la91 =a
(prop. 2), donc aql =aq2 =a,et par conséquent aek2(prop. 2); ainsi,
&! c: k2.Au total (et en conservant ces notations):
Proposition 4. ?L'inclusion k1c£2 équivaut àla relation^ divisef2,
donc àla relation q2q 2est une puissance de qx.
Corollaire 1. ?Soient respectivement/ et/' le p.g.c.d. et le p.p.cm.de
ft et/2.Posons q=qf\q" ?qf\k' =F^/, k" =Fq,,. Alors l'intersection
et le composé de k±et k2k 2sont respectivement k' et k".
§2. Groupe additif et groupe multiplicatif d'un corpsfini.
Soit kun corps fini àq=pf éléments.
2.1. L'extension k/¥pétant de degré /, kest isomorphe, en tant qu'es
pacevectoriel sur Fp,et afortiori en tant que groupe additif, au produit
direct de /exemplaires de ¥p;en conséquence:
Proposition 5. ?Le groupe additif k+de kest un groupe de type
(P, ..>,P) iffois).

2.2. Passons au groupe multiplicatif k*; il est commutatif, d'ordre
q?1; si Ndésigne le p.p.c.m. des ordres des éléments de k*9on vérifie
sans peine qu'il existe dans k* un élément gd'ordre exactement égal àN
(c'est là une propriété générale des groupes commutatifs d'ordre fini).
Tout élément de k* est évidemment racine du polynôme XNX N-1; ce poly
nôme,de degré N, possède donc au moins q?1racines, d'où N>q?1;
or, par construction même, Ndivise q?1;ainsi, N=q?1;mais alors
gest d'ordre q?1, c'est un générateur de k*9et on peut énoncer:
Proposition 6. ?Le groupe multiplicatifk* de kest un groupe cyclique
d'ordre q?1.
Pour une autre démonstration de ce résultat, utilisant les propriétés de
l'indicatrice d'Euler, voir [17], pp. 12-13.
2.3. Soit dun entier >I;onse propose d'étudier le groupe des puis
sancesd-ièmes et le groupe des racines d-ièmes de l'unité dans k*, c'est
à-direl'image et le noyau de l'homomorphisme ud:k* -+ k*, défini par
ud(x) =xd(xek*). Posons Ô=(q?l,d), uô(x) =xô(x ek*) et notons
gun générateur de k* (prop. 6). L'identité de Bezout a(q?l) +bd ?Ô
montre que udet uôont même noyau (noter que xxq~1=1pour tout xe &*);
k* étant fini, il en résulte que l'image de udet celle de uôont même ordre;
mais la première est évidemment contenue dans la seconde: udet uôont
donc aussi même image. Maintenant, comme ôdivise q?1, il est clair que
l'image de uôest le sous-groupe de k* engendré par g3,et que le noyau de
uôest le sous-groupe de k* engendré par g^~^lô(pour le voir, identifier
par exemple k* àZ/(q-l) Z, gs'identifiant àla classe de 1(mod q-l)).
En résumé:
Proposition 7. ?Soient kun corpsfini àqéléments, gun générateur de
fc*, dun entier >1, et posons ô=(q? 1, d). Alors :
(i) Dans k*, les puissances d-ièmes et les puissances ô-ièmes forment un
même sous-groupe, cyclique, engendré par g3,et d'ordre égal à(q-l)/
(ii) De même, les racines d-ièmes et les racines ô-ièmes de l'unitéforment un
même sous-groupe, cyclique, engendré par g(g(q ~1)/~ 1)/ô,et d'ordre égal à3.
Corollaire 1. ?Legroupe quotient k*/k*dest cyclique, d'ordre égal àS.
Corollaire 2. ?Pour qu 'un élément ade k* soit une puissance d-ième, il
faut et il suffit que a(a (q ~1)/ =1.

Pour k?Fp9 pimpair, et d? ô=2, le corollaire 2coïncide avec le
critère d'Euler sur les restes et non-restes quadratiques modulo p.
§3. Extensions algébriques d'un corps fini.
Soit toujours kun corps fini àqéléments.
3.1. Soit Kune extension algébrique de k, de degré fini m; il est clair
que card(X) == qqm9et donc que K= Fqm .Soit alors iun entier >0;
comme qlest une puissance de la caractéristique de K, l'application at:
K-»K9 définie par a{(x) =xql (x eK), est un automorphisme de K,
et même, puisque k=¥q9 un A>automorphisme de K(prop. 2); si jest un
autre entier >o,ona évidemment o-f+J-=ato or^; enfin, si (par exemple)
/<y, l'ensemble des xe Autels que Gt{x) =Gj (x), donc tels que xqJ ~l~ l=x,
est évidemment égal àKnFFgy_;, et ne peut par conséquent être égal à
K= Fqm que si Fqm cz FflJ-_,-, donc (prop. 4) si z=y (modm); en par
ticulier,les mfc-automorphismes atavec 0<i <msont distincts, et on
peut affirmer:
Proposition 8. ?L'extension K/k est galoisienne ;son groupe de Galois
est cyclique, d'ordre m, engendré par l'automorphisme (dit de Frobenius)
x!-> xq.
Le fait que K/k est galoisienne peut se voir plus directement: en effet, k
étant évidemment parfait, K/k est séparable, et il suffit de prouver que K/k
est normale, ce qui résulte du fait que Kest le corps de décomposition, dans
une clôture algébrique de k, du polynôme Xq7n ?X (prop. 2).
3.2. Mêmes données que ci-dessus. Soit Tr :K->k, l'application trace.
La proposition 8montre que, pour tout élément xde K, on a
(3.2.1)
En outre:
Proposition 9. ?L'application Tr :K-+ k, est surjective. Si xeK,
les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(a) Tr(x) =0;
(b) il existe yeK tel que x=yq ?y.
Démonstration. ?Considérons Kcomme espace vectoriel sur k; Tr
est alors une forme linéaire, et cette forme linéaire n'est pas nulle (si elle
l'était, (3.2.1) impliquerait que le polynôme X+ Xq+... +Xqm ~~ l9l
9de