i. séries rationnelles sur un corps k - E

I. SÉRIES RATIONNELLES SUR UN CORPS K
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 33 (1987)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 25.05.2017
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Fq?la méthode banale consistant àcalculer les valeurs de P(x) pour x
parcourant Fqnécessite en moyenne près de qévaluations, en calculant
l'ordre de la matrice compagnon de Pon peut répondre àla question en
0(Log q) opérations.
Quelques ouvrages contiennent une présentation générale des suites
récurrentes linéaires, d'abord le livre de E. Lucas [33], ainsi que Bachman [3],
Henrici [30] chap. 7et [29], Montel [47], Pisot [52]. Signalons aussi le
livre de Dickson [22] sur l'histoire de la théorie des nombres, le chapitre XVII
est consacré aux suites récurrentes linéaires.
A. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
I. SÉRIES RATIONNELLES SUR UN CORPS K
Soit une série formelle
àcoefficients dans un corps (commutatif) X\ nous allons étudier différents
critères de rationnalité d'une telle série.
1. Supposons Erationnelle, c'est-à-dire qu'il existe deux polynômes Aetß,
àcoefficients dans Jf,tels que
(1)
Soient alors c0i,..., ?j. les racines du polynôme Bdans une extension
algébrique convenable if du corps C/f et soit xfla multiplicité de
La décomposition en éléments simples de la fraction A/B est de la forme
(2:
où Q(X) est un polynôme àcoefficients dans X(c'est le quotient de la
division euclidienne de Apar B) et où les oty appartiennent au corps if.
L'identité formelle, vraie pour tout entier positif;.

jointe à(1) et (2) conduit àla relation
où on aposé ©£=?-(i= 1, ..., /c).
Si ga pour degré nO,n 0,on adonc
(3)
avec
(4)
Remarque. Lorsque la caractéristique du corps JT est nulle, chaque Pt
est un polynôme (à coefficients dans le corps <£?) en nde degré plus petit
que xi? et même égal àxrllorsque la représentation (1) est irréductible.
"On dit alors que l'expression (3) est un polynôme-exponentiel. Ace sujet
voir aussi l'exemple 2) plus loin.
2. Réciproquement, supposons maintenant que les relations (3) et (4) aient
lieu pour n>nO.n 0.
Soit El'opérateur de décalage (en anglais «shift operator »), qui àune
suite %=(^n)n^o associe la suite EL, =(£,n+l)n^o- Nous allons montrer que
la suite
est ultimement nulle, et plus précisément que £=(^n)n^ 0satisfait àYéquation
aux différencesfinies àcoefficients constants
(5)
où
(s')
Du fait que les opérateurs E?coJ commutent entre eux, il suffit, par
linéarité, de vérifier que les suites
sont nulles pour tout triplet d'entiers naturels j, f, j" vérifiant /j1

et /' j.Raisonnons par récurrence sur /. Ce résultat est clair pour
/=1. Supposons/ >1et l'assertion vraie jusqu'à l'ordre/?!. La relation
permet d'appliquer l'hypothèse de récurrence, ce qui prouve le résultat
annoncé.
Si on pose en (5)
(6)
on adonc démontré que la suite (ÇJ vérifie la condition
(7)
c'est donc ?par définition ?une suite récurrente linéaire (en abrégé:
5.r.1.); le polynôme XnoG(X) sera appelé échelle de récurrence *) ou polynôme
caractéristique et l'entier (no+m) ordre de la s.r.l. (£J (il s'agit d'un abus de
langage car ces objets ne sont pas uniques ;voir plus avant).
Supposons enfin que la relation (7) ait lieu. On vérifie alors aisément
que l'expression
est un polynôme en Xde degré au plus n0+m.La série E(X) =£nnXn
est alors une fraction rationnelle de la forme (1), ce qui achève la preuve
de l'équivalence logique des trois objets considérés.
II.
Quelques exemples
Ce paragraphe contient un certain nombre d'exemples variés qui illustrent
les résultats généraux que nous venons de présenter. De plus de nombreux
exemples figurent dans tout bon livre sur le calcul aux différences finies
ou sur la combinatoire (entre autres [21], [26], [29], [30], [46]).
1) L'exemple le plus populaire de s.r.l. et aussi le plus ancien (il date
de 1202) est la suite (Fn)de Fibonacci définie par les conditions
:)C'est la terminologie de E. Lucas [33]