Lois de probabilité à densité

CHAPITRE 17
Lois de probabilité à densité
ILoi de probabilité à densité ou loi continue sur un intervalle I
1. Quand l’univers est un intervalle
Jusqu’à présent, chaque expérience aléatoire conduisait à un univers fini et chaque variable aléatoire
prenait un nombre fini de valeurs. Il s’agissait donc toujours de définir une loi de probabilité psur
un ensemble fini E={x1,x2, ..., xn}, et il suffisait pour cela de se donner ou de déterminer les réels
p(x1), p(x2), ..., p(xn).
Cependant, il arrive aussi que les issues d’une expérience ou les valeurs prises par une variable aléatoire
puissent être n’importe quel nombre d’un intervalle Ide R, par exemple : la durée d’une communica-
tion. Dans ce cas, il n’est plus question de définir une loi p sur I en se donnant la probabilité de chaque
élément de I(elle serait d’ailleurs nulle !) et de plus, les événements intéressants ne sont plus «obtenir
tel ou tel réel », mais plutôt «obtenir un nombre compris entre a et b. ».
La définition d’une loi psur un intervalle Irepose donc sur la notion de probabilité d’un intervalle
quelconque de I.
Préliminaires
•Si I=[a;b] alors Z
I
f(x) dxdésigne Zb
a
f(x) dx
•Si I=[a;+∞[ alors Z
I
f(x) dxdésigne lim
t→+∞ Zt
a
f(x) dx
2. Définitions
Définition : Soit Iun intervalle de R. On appelle densité de probabilité(ou fonction de densité
de probabilité ) sur Itoute fonction fdéfinie sur un intervalle Ivérifiant les trois conditions sui-
vantes :
•fest continue sur I;
•fest positive sur I(pour tout réel xde I,f(x)≥0) ;
•Z
I
f(x) dx=1 (l’aire sous la courbe de la fonction fest égale à une unité d’aire).
Exercice 1 : Montrer que la fonction cos définie sur I=[0; π
2] est une densité de probabilité sur I.
Exercice 2 :Montrer que gla fonction définie sur [0;4] par g(x)=³x
4´3est une densité de probabilité
sur [0;4].
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Définition : Soit Iun intervalle de R.
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans I, suit une loi pde probabilité de densité fsur
I, si pour tout intervalle Jinclus dans I,p(X∈J)=Z
J
f(x) dx
On dit que pest une loi de probabilité à densité sur Iou une loi continue sur I.
3. Propriétés
: Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité fsur I.
•p(X∈I)=1
•Soit c∈I,p(X=c)=0
La probabilité que Xprenne une valeur isolée fixe est nulle d’où p(X≤c)=p(X<c)
•On a p(a≤X≤b)=p(a<X<b)=Zb
a
f(x) dxavec aet béléments de I.
•Puisque (X∈R) est l’événement certain, p(X∈R)=1 et donc Z
R
f(x) dx=1
•On admet pouvoir étendre certaines propriétés sur les lois de probabilités discrètes aux lois
continues en particulier celles des probabiltiés conditionnelles.
Exercice 3 : Si p est la loi continue de densité cos sur I=[0; π
2], on a alors :
p(X∈[0;1])=
p³X∈[π
6;π 4]´=.
Exercice 4 :Calculer des probabilités (1)
On tire au hasard sur une cible de rayon 1 m, sans jamais la manquer.
Xest la variable aléatoire qui donne la distance de l’impact au centre. On admet que Xa pour densité,
la fonction fdéfinie sur [0;1] par :
f(x) = 2x si 0≤x≤1
(a) Calculer p(X≤0,5), p(X>0,5) et p(0,25 ≤X≤0,75).
(b) Vérifier que si 0 ≤a<b<1, alors p(a≤X≤b) est égale au rapport de l’aire de la couronne, définie
par aet b, à celle de la cible.
4. Espérance d’une variable aléatoire
Définition : Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité fsur Ialors
l’espérance mathématiques de Xest le réel défini par E(X)=Z
I
x×f(x) dx
Exercice 5 : Calculer l’espérance de la variable Xdéfinie à l’exercice 4.
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II Loi uniforme
Le choix au hasard (le tirage au sort) d’un élément xde l’intervalle I=[a;b] de Rse modélise par la loi
continue sur Idont la densité est constante. L’aire sous la courbe devant être égale à 1, cette constante est
égale à 1
b−a.
1. Définition
Définition : Soient aet bdeux nombres réels tel que a<b. On appelle loi uniforme sur l’intervalle
I=[a;b], la loi de probabilité continue sur Idont la densité fest la fonction constante égale à
1
b−a
2. Conséquence
Propriété : Pour cette loi, la probabilité d’un intervalle [α;β] inclus dans un intervalle I=[a;b] est
égale au quotient de la longueur de [α;β] par celle de [a;b], ainsi :
p(X∈[α;β]) =Zβ
α
1
b−adx=β−α b−a=longueur de[α;β] longueur de I .
Exercice 6 : Le choix au hasard d’un nombre réel dans l’intervalle [−1;4] se modélise par la loi uniforme
psur [−1;4] de densité constante égale à .
(a) Calculer la probabilité d’obtenir un réel égal à π.
(b) Calculer la probabilité d’obtenir un réel positif
(c) Calculer la probabilité d’obtenir un réel inférieur à π
Exercice 7 :On choisit au hasard un réel compris entre 100 et 150.
(a) Déterminer la probabilité que ce réel soit compris entre 120 et 135.
(b) Déterminer la probabilité que ce réel soit compris entre 122 et 133 sachant qu’il est compris entre
115 et 130.
Exercice 8 :Utiliser la loi uniforme
A partir de 7 heures, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt A. Un usager se présente en A
entre 7 h et 7 h 30. On fait l’hypothèse que la durée de 7 h à l’heure de son arrivée en A est une variable
aléatoire uniformément répartie sur l’intervalle [0;30].
Quelle est la probabilité qu’il attende le prochain bus :
(a) moins de 5 minutes ?
(b) plus de dix minutes ?
3. Espérance
Propriété : Soit Xune variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] alors son
espérance mathématiques est E(X)=a+b
2
Démonstration
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III Loi exponentielle
La durée de vie d’un appareil est une variable aléatoire Xprenant ses valeurs dans R+. Si l’on suppose que
cette durée de vie ne dépend pas du temps pendant lequel l’appareil a déjà fonctionné (on dit que la durée
de vie est sans vieillissement), on démontre que la loi de probabilité de Xadmet une densité fde la forme
f(x)=λe−λxavec λ>0, pour tout réel positif x.
1. Définition
Définition : On appelle loi exponentielle de paramètre λla loi continue admettant pour densité
la fonction fdéfinie sur R+par f(x)=λe−λxoù λest un réel strictement positif fixé.
2. Propriétés
Propriétés : Soit Xune variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ(avec λ∈
R+).
Pour αet βdeux réels positifs, on a :
•p(X≤α)=1−e−λα
•p(X>α)=p(X∈]α;+∞[) =e−λα
•p(α≤X≤β)=e−λα −e−λβ.
Démonstration
Propriétés : Soit Xune variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ(avec λ∈
R+).
alors E(X)=1
λ
Démonstration exigible
Exemple : Pour λ=1,5, calculer p(X∈[0; 1])
Exercice 9 : Utiliser la loi exponentielle
La durée, en minutes, d’une conversation téléphonique est une variable aléatoire exponentielle de para-
mètre λ=0,1. Un individu arrive à une cabine téléphonique et juste à ce moment précis, une personne
passe devant lui. Quelle est la probabilité que cet individu attende :
(a) plus de dix minutes ?
(b) entre dix et vingt minutes ?
3. Variable sans mémoire
Définition : Une variable aléatoire positive Xest sans mémoire (ou sans vieillissement) lorsque :
pour tous réels t≥0, h≥0, pX≥t(X≥t+h)=p(X≥h).
Ainsi, sachant que l’appareil a déjà fonctionné tannées, la probabilité qu’il fonctionne hannées sup-
plémentaires est la même que la probabilité qu’il vive au moins hannées à partir de sa mise en service.
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Exemple : Soit Xla variable aléatoire qui donne la durée de vie en anée d’un composant electronique.X
prend ses valerus dans R+. Si Xest sans mémoire, alors la probabilité que la durée de vie dépasse 10 ans,
sachant que ce composant a déjà fonctionné 7 ans, est :
Le composant fonctionne sans mémoire des sept années passées.
4. Caractérisation des lois exponentielles
Théorème : Une variable aléatoire Xqui suit une loi exponentielle est sans mémoire. Réciproque-
ment, si Xest sans mémoire, alors sa loi est exponentielle.
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