Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs

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Triangles
1) Isométries
Définition : Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs.
Isométries vues au collège : symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation.
2) Triangles isométriques
Définition : Deux triangles sont isométriques lorsque l’un est l’image de l’autre par une
isométrie ou une succession d’isométries (en fait, ils sont superposables).
B
A'
C
A
B'
C'
Conséquence : deux triangles isométriques ont leurs côtés deux à deux de même longueur et
leurs angles sont deux à deux égaux.
B
A'
C
A
B'
C'
3) Comment prouver que deux triangles sont isométriques ?
Méthode 1 : Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur alors ils sont
isométriques.
Méthode 2 : Si deux triangles ont en commun les longueurs des 2 côtés adjacents à un même
angle alors ils sont isométriques.
Méthode 3 : Si deux triangles ont la longueur d’un côté et les deux angles qui sont adjacents à
ce côté en commun alors ils sont isométriques.

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4) Triangles semblables
Définition : Deux triangles sont semblables (ou de même forme) si leurs angles sont deux à
deux égaux.
B
A'
C
A
B'
C'
Conséquence : deux triangles isométriques sont forcément semblables puisque leurs angles
sont deux à deux égaux .
Mais des triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques.
5) Rapport de similitude, aires
Propriété : les longueurs des côtés de deux triangles semblables sont deux à deux
proportionnelles.
si on sait que ABC et A’B’C’ sont semblables avec d A = a A’ , d B = a B’ et d C = a C’ ,
alors les côtés de ABC sont proportionnels aux côtés de A’B’C’ : c'est-à-dire :
A'B'
AB = B'C' BC = A'C' AC = k.
Le rapport k est appelé coefficient d’agrandissement (k > 1) ou de réduction (k < 1), on parle
aussi de rapport de similitude. (lorsque k = 1 : on retrouve deux triangles isométriques)
Propriété : Le rapport de l’aire de MNP et de celle de ABC est :
A
AA
A (MNP)
A
AA
A (ABC) = k
2
.
Cas particulier : on retrouve le théorème de Thalès lorsque, par exemple : A = A’ et (BC) //
(B’C’).
A = A'
B'
B
C'
C

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6) Comment prouver que deux triangles sont semblables ?
Méthode 1 : Si deux triangles ont leurs angles deux à deux égaux alors ils sont semblables.
Méthode 2 : Si deux triangles ont deux angles en commun, alors ils sont semblables. (en effet,
la somme des angles d’un triangle étant toujours égale à 180°, deux angles étant commun, le
troisième le sera aussi)
Méthode 3 : Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles alors ils sont
semblables. (en particulier, dans certains cas d’alignement des points, on retrouve la
réciproque de Thalès)
Méthode 4 : Si deux triangles ont un angle en commun et si les longueurs des côtés adjacents
à cet angle sont proportionnelles alors ils sont semblables.
Méthode 5 : Si deux triangles ont des côtés deux à deux parallèles alors ils sont semblables.
7) Triangles semblables particuliers
Propriété 1 : Tous les triangles équilatéraux sont semblables.
Propriété 2 : Deux triangles rectangles ayant un angle autre que l’angle droit en commun
sont semblables.
Propriété 3 : Tous les triangles rectangles isocèles sont semblables.