Triangles 1) Isométries Définition : Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Isométries vues au collège : symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation. 2) Triangles isométriques Définition : Deux triangles sont isométriques lorsque l’un est l’image de l’autre par une isométrie ou une succession d’isométries (en fait, ils sont superposables). C' A A' B' C B Conséquence : deux triangles isométriques ont leurs côtés deux à deux de même longueur et leurs angles sont deux à deux égaux. C' A A' C B' B 3) Comment prouver que deux triangles sont isométriques ? Méthode 1 : Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur alors ils sont isométriques. Méthode 2 : Si deux triangles ont en commun les longueurs des 2 côtés adjacents à un même angle alors ils sont isométriques. Méthode 3 : Si deux triangles ont la longueur d’un côté et les deux angles qui sont adjacents à ce côté en commun alors ils sont isométriques. 1 4) Triangles semblables Définition : Deux triangles sont semblables (ou de même forme) si leurs angles sont deux à deux égaux. C' A A' C B B' Conséquence : deux triangles isométriques sont forcément semblables puisque leurs angles sont deux à deux égaux . Mais des triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques. 5) Rapport de similitude, aires Propriété : les longueurs des côtés de deux triangles semblables sont deux à deux proportionnelles. si on sait que ABC et A’B’C’ sont semblables avec d A =a A’ , d B =a B’ et d C =a C’ , alors les côtés de ABC sont proportionnels aux côtés de A’B’C’ : c'est-à-dire : A'B' B'C' A'C' = = = k. AB BC AC Le rapport k est appelé coefficient d’agrandissement (k > 1) ou de réduction (k < 1), on parle aussi de rapport de similitude. (lorsque k = 1 : on retrouve deux triangles isométriques) Propriété : Le rapport de l’aire de MNP et de celle de ABC est : A (MNP) 2 A(ABC) = k . Cas particulier : on retrouve le théorème de Thalès lorsque, par exemple : A = A’ et (BC) // (B’C’). A = A' C C' B B' 2 6) Comment prouver que deux triangles sont semblables ? Méthode 1 : Si deux triangles ont leurs angles deux à deux égaux alors ils sont semblables. Méthode 2 : Si deux triangles ont deux angles en commun, alors ils sont semblables. (en effet, la somme des angles d’un triangle étant toujours égale à 180°, deux angles étant commun, le troisième le sera aussi) Méthode 3 : Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles alors ils sont semblables. (en particulier, dans certains cas d’alignement des points, on retrouve la réciproque de Thalès) Méthode 4 : Si deux triangles ont un angle en commun et si les longueurs des côtés adjacents à cet angle sont proportionnelles alors ils sont semblables. Méthode 5 : Si deux triangles ont des côtés deux à deux parallèles alors ils sont semblables. 7) Triangles semblables particuliers Propriété 1 : Tous les triangles équilatéraux sont semblables. Propriété 2 : Deux triangles rectangles ayant un angle autre que l’angle droit en commun sont semblables. Propriété 3 : Tous les triangles rectangles isocèles sont semblables. 3