MATHÉMATIQUES – Épreuve orale

MATHÉMATIQUES – Épreuve orale
DUBOIS Nathalie
Remarques générales
Le niveau des candidats est un peu plus homogène que les années précédentes.
Les connaissances consistent souvent en un vaste amalgame de formules mais comportent de
nombreuses lacunes. Les candidats savent à peu près faire correctement les calculs mécaniques mais
ne savent pas faire de raisonnement surtout en algèbre linéaire et beaucoup ne savent pas énoncer
correctement les définitions et les principaux théorèmes du cours.
Certains candidats ignorent des parties entières du programme comme l'algèbre linéaire ou les séries
entières. Nous soulignons l'importance de la connaissance et de la maîtrise du cours.
On rencontre des erreurs dans les techniques élémentaires de base : oubli de la valeur absolue dans
l’extraction de la racine d’un carré, majorations sans précaution pouvant conduire à trouver un
nombre négatif plus grand qu'un nombre positif, opérations hasardeuses sur les inégalités,
majoration de dénominateur pour majorer une fraction, dérivation en plusieurs étapes pour un
quotient de fonctions...
Nous rappelons que le programme du concours porte sur deux années, les candidats ayant tendance
à ignorer ce qui a été vu en première année, en particulier les nombres complexes, les théorèmes
généraux de l'analyse tels que celui des valeurs intermédiaires et des accroissements finis.
ANALYSE
Analyse réelle
Les candidats ne connaissent pas les développements limités usuels et parfois ne savent pas les
rétablir (un peu mieux cette année cependant). De même on ne connaît pas bien les fonctions
trigonométriques inverses, les expressions exponentielles des fonctions circulaires et hyperboliques,
ou on donne les unes pour les autres.
Suites et séries
un
= 1.
n→+∞
n→+∞ vn
Pour l'étude d'une série numérique, le premier réflexe est d'utiliser le théorème d'Alembert alors que
les théorèmes de comparaison seraient mieux appropriés. Certains étudiants mélangent condition
nécessaire et condition suffisante ; en particulier si un tend vers 0, certains candidats déduisent que
la série converge. La majoration du reste d'une série alternée n'est pas connue.
On rencontre la confusion entre lim un − vn = 0 et lim
La définition de la convergence uniforme d’une série de fonctions n’est souvent pas sue et
beaucoup de candidats ne réalisent pas que c’est une notion relative à un intervalle.
Peu d’étudiants connaissent la définition du rayon de convergence d’une série entière, ainsi que les
propriétés de la somme : conditions de continuité et de dérivabilité. On confond aussi parfois série
entière et développement limité.
Page 1/3
Dans les exercices sur les séries de Fourier, les étudiants ne se posent pas trop de problèmes au sujet
de la convergence de la série obtenue vers la fonction. Les candidats ont tendance à n’utiliser que la
forme exponentielle dans le calcul des coefficients de Fourier ou à oublier que selon la parité de la
fonction, certains coefficients de Fourrier peuvent être nuls
Si la fonction est périodique de période différente de 2 π , les expressions des coefficients ne sont
pas toujours connues.
Intégrales
La méthode de changement de variables dans les calculs d’intégrales est appliquée incomplètement
(on effectue le changement uniquement dans la fonction) et la méthode d’intégration par parties est
utilisée à contretemps.
Dans le cas d’intégrales généralisées, on rencontre (de même que dans le cas non généralisé), une
méconnaissance dommageable des primitives courantes, ainsi que les règles de Bioche.
On raisonne sur une intégrale majorante comme sur l’intégrale d’un équivalent (cette dernière
méthode est d’ailleurs assez systématiquement ignorée). On rencontre aussi fréquemment la
confusion entre le comportement des intégrales de type Riemann en 0 et en +∞ .
Lorsque l'intégrale est fonction de sa borne supérieure, les candidats appliquent les théorèmes
x
comme si les bornes étaient fixes et ne connaissent pas la dérivée de
∫ f (t ) d t .
a
Les candidats ont de grandes difficultés avec les calculs d’intégrales doubles dès que le domaine
n’est pas rectangulaire (ou font comme s’il l’était) et ont du mal à reconnaître l’équation d’un
cercle.
Équations différentielles
La résolution d’équations différentielles à l’aide de séries entières peut surprendre les candidats et
mène à des difficultés diverses.
Pour les équations du premier ordre, les méthodes de base ne sont pas toujours sues et la mise en
évidence de différents intervalles pour les solutions est très rare. Le problème de raccord de
solutions est souvent occulté ou mal compris.
On peut remarquer, à ce sujet, l’omission assez systématique de la valeur absolue pour une
1
primitive de fonction du type .
x
Pour les équations du second ordre à coefficients constants, les candidats utilisent la combinaison
d’exponentielles complexes au lieu des fonctions trigonométriques, ce qui ne simplifie pas la
résolution suivante avec un second membre. Il arrive aussi que l’étape de l’équation homogène ne
soit pas franchie ou qu’on traîne une solution sous forme complexe.
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
Beaucoup de candidats affirment n'avoir jamais fait d'algèbre linéaire.
Les candidats ne connaissent pas les définitions correctes des outils mathématiques utilisés. En
particulier le déterminant est une « boite magique » que l’on calcule comme on peut. Certains
confondent « sous-espaces vectoriels » et « application linéaire ». Enfin, tout exercice faisant
intervenir des espaces de polynômes ou de fonctions est une source de difficultés de toute nature
Page 2/3
pour les candidats (confusion entre les éléments de l'espace et les applications linéaires de l'espace
dans lui-même)
Calcul matriciel et applications linéaires
Les définitions de sous-espace vectoriel, application linéaire ne sont pas sues, et comme signalé
plus haut, les exercices consistant à démontrer qu’une famille finie de fonctions est libre sont
souvent hors de portée des candidats.
L’expression de l’élément courant du produit de deux matrices est soit inconnue, soit d’utilisation
très problématique. A noter également quelques difficultés sur le calcul des matrices inverses. La
démonstration de Tr ( AB ) = Tr ( BA ) est rarement réussie.
Les définitions de matrices symétriques ou orthogonales ne sont pas connues.
Diagonalisation
Si la plupart des candidats interrogés sur les vecteurs propres et les valeurs propres savent faire les
calculs, ils font cela mécaniquement sans en connaître la définition correcte.
Le lien entre la dimension du noyau et le fait que 0 est valeur propre n'est pas perçu.
La lecture des valeurs propres d'une matrice triangulaire n'est pas immédiate.
Une matrice diagonale est diagonalisable, et non le contraire.
Beaucoup ne savent pas qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée.
Systèmes
La résolution des systèmes linéaires, les combinaisons d’équations sont faites de façon anarchique,
la méthode du pivot de Gauss étant rarement employée.
L'utilisation de la méthode du pivot de Gauss pour résoudre les systèmes à paramètres conduit
rarement à un résultat.
La nature géométrique des solutions d'un système est rarement connue.
Beaucoup de difficultés subsistent dans l’interprétation des résultats lorsque le système n’est pas de
Cramer.
Fractions
Certains candidats ne connaissent pas la décomposition en éléments simples, ou ont des difficultés
lorsque la fraction a un pôle double ou un élément de seconde espèce au dénominateur.
Courbes
Les courbes (paramétrées, bien sûr, mais aussi parfois les courbes en cartésiennes) posent de vrais
problèmes aux candidats, à noter pour beaucoup l'oubli de la méthode de recherche d'une
asymptote.
CONCLUSION
Nous encourageons les futurs candidats à apprendre correctement les définitions et les théorèmes de
leur cours, à multiplier les exercices et à lire attentivement le programme du concours afin de ne pas
faire d’impasses sur des chapitres entiers.
_______________
Page 3/3