Fonctions (I)

Fonctions (I)
1 Quelques algorithmes
Rédiger un algorithme consiste à décrire les différentes étapes de calcul pour résoudre un problème numérique,
algébrique, géométrique ou décisionnel. C’est une suite de règles à appliquer qui doit permettre, en un temps
fini, d’obtenir le résultat visé.
Un algorithme est constitué de trois parties :
1. Les entrées : il s’agit dans cette partie de repérer les données qui prennent part au problème que
l’on souhaite résoudre.
2. Le traitement : c’est la suite d’instructions à appliquer aux données pour obtenir le résultat visé.
3. La sortie des résultats : c’est le résultat visé par l’algorithme. Ce résultat peut être affiché sur un
écran, écrit à la main sur une feuille, être conservé dans la mémoire d’un ordinateur, ...
Exercice 1. Voici quelques algorithmes.
1. Appliquer l’algorithme suivant aux objets : 2 ; 31 ; √2; le point A.
Choisir un entier naturel n;
Si nest pair, affecter à pla valeur n
2;
Si nest impair, affecter à pla valeur n+ 1
2;
Afficher p.
2. On considère l’algorithme suivant :
Choisir un nombre réel x;
Affecter à ver la valeur de vérité de la proposition (x2< x + 2) ;
Afficher ver.
Appliquer cet algorithme aux objets suivants : 2 ; 31 ; √2; le point A.
3. Un peu d’algèbre :
Choisir un réel x.
Affecter à ale cube de x;
Affecter à bl’inverse de x;
Affecter à yla somme de aet b;
Afficher y.
Appliquer cette algorithme aux nombres 1,−1,0et √2.
2 Généralités sur les fonctions
Définitions : Soit Aet Bdeux ensembles (non vides). Une fonction fde Avers Best un procédé qui
à tout élément de Apermet d’associer au plus un élément de B.
Soit xun élément quelconque de B. On est dans l’un des deux cas suivants :
1. On peut par fassocier à xun élément yde B: on dit alors que fest définie en xet que l’image de
xpar fest y. On note alors y=f(x)et on lit “yest égal à fde x”.
2. On ne peut par fassocier à xaucun élément de B: on dit alors que fn’est pas définie en xou que
xn’est pas dans l’ensemble de définition de f.
Ainsi, l’ensemble de définition d’une fonction de Avers Best constitué des éléments de Aqui ont une image
par cette fonction.
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Exemples :
1. Soit Al’ensemble des élèves de l’EABJM et Bl’ensemble N. Le procédé fqui à tout élève de l’EABJM
associe son nombre de frères et soeurs est une fonction de Avers B.
2. L’algorithme n˚2 ci-dessus associe à tout réel xla valeur de vérité de la proposition (x2< x + 2) : il
définit une fonction de Rvers l’ensemble B = {Vrai , Faux}.
3. Soit A=R+et B=R+; le procédé qui à tout réel positif cassocie l’aire d’un carré de côté cest la
fonction de R+vers R+qui à cassocie le réel ..........
Notations : Soit la fonction fde Avers Bqui à x∈Aassocie, lorsque cela est possible, l’élément f(x)∈B
(On dit aussi que fest une fonction à valeurs dans B). On note :
f:A→B
x7→ f(x)
et ont lit : “fest la fonction de Avers Bqui à xassocie fde x”.
L’écriture x7→ f(x)se lit aussi : “xa pour image fde x”.
xest une variable. Une variable peut être désignée par n’importe quelle lettre qui n’ait pas déjà été utilisée.
Exercice 2. Pour les fonctions suivantes, indiquer, si possible, l’image des éléments indiqués.
1. Déterminer l’image éventuelle de 0 ; 2;√7;−1
3par la fonction :
f:R→R
x7→ f(x) = x2−x+ 1
2. Déterminer l’image éventuelle de 0 ; 2;√7;−1
3par la fonction :
g:R→R
u7→ g(u) = 1
u−2
3. Déterminer l’image éventuelle de 0 ; 2;3;−1
3par la fonction :
M:N→N
n7→ M(n) = n+ 1 si nest pair,
2nsi nest impair.
Exercice 3. (Exemple de fonctions à deux variables) Déterminer l’expression de la fonction p, qui à tout
couple de réels positifs (x;y)associe le périmètre p(x;y)du rectangle dont les dimensions sont xet y.
Calculer p(2; 4) et p(2,5; 1,5).
Exercice 4. Le procédé qui à tout xpositif associe tout nombre réel dont le carré vaut xest-il une fonction ?
Pourquoi ?
Exercice 5. Déterminer les ensembles de définition des fonctions de Rvers R1suivantes :
1. f:x7→ x2−1
2. x:t7→ √2t−1
3. g:a7→ 1
2a−1
Exercice 6. Soit la fonction hde Rvers Rqui à xassocie le réel (x−1)2.
1. Calculer h(3).
2. Déterminer tous les nombres qui ont pour image 4par h.
3. Déterminer tous les nombres qui ont pour image −2par h.
Définition : Soit fune fonction de Avers Bet y∈B. Les éléments x∈Atels que f(x) = ysont les
antécédents de ypar f.
Remarques
Par une fonction f, un nombre de l’ensemble de départ Apossède au plus une seule image.
En revanche, un nombre de l’ensemble d’arrivée Bpeut avoir 0,1,2et même une infinité d’antécédents par f.
1. Une fonction à valeurs dans Rest appelée fonction “numérique”.
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3 Courbe représentative
Dans cette section, le plan Pest muni d’un repère (O;−→ i , −→ j).
Définition : Soit fune fonction de Rvers R, définie sur l’ensemble D⊂R. L’ensemble des points de
coordonnées (x;f(x)), lorsque xdécrit D, forme dans le plan une courbe, appelée courbe représentative
de fdans le repère (O;−→ i , −→ j).
On dit alors que l’égalité y=f(x)est une équation de la courbe représentative de f, ce qui signifie :
1. Si M(x;y)est sur la courbe de f, alors x∈Det y=f(x).
2. Si x∈Det y=f(x), alors M(x;y)est sur la courbe de f.
Exercice 7. La courbe Cci-dessous représente une fonction g.
1
2
3
4
5
−1
1 2−1−2
Par simple lecture graphique :
1. Déterminer l’ensemble de définition de g(La réponse sera donnée sous la forme d’un intervalle).
2. L’image de −2par g.
3. Le nombre de solutions de l’équation g(x) = 0.
4. Le nombre d’antécédents de −1
2par g.
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