Fonctions (I)

Fonctions (I)
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Quelques algorithmes
Rédiger un algorithme consiste à décrire les différentes étapes de calcul pour résoudre un problème numérique,
algébrique, géométrique ou décisionnel. C’est une suite de règles à appliquer qui doit permettre, en un temps
fini, d’obtenir le résultat visé.
Un algorithme est constitué de trois parties :
1. Les entrées : il s’agit dans cette partie de repérer les données qui prennent part au problème que
l’on souhaite résoudre.
2. Le traitement :
c’est la suite d’instructions à appliquer aux données pour obtenir le résultat visé.
3. La sortie des résultats : c’est le résultat visé par l’algorithme. Ce résultat peut être affiché sur un
écran, écrit à la main sur une feuille, être conservé dans la mémoire d’un ordinateur, ...
Exercice 1.
Voici quelques algorithmes.
1. Appliquer l’algorithme suivant aux objets : 2 ; 31 ;
√
2 ; le point A.
Choisir un entier naturel n ;
n
Si n est pair, affecter à p la valeur ;
2
n+1
Si n est impair, affecter à p la valeur
;
2
Afficher p.
2. On considère l’algorithme suivant :
Choisir un nombre réel x ;
Affecter à ver la valeur de vérité de la proposition (x2 < x + 2) ;
Afficher ver.
Appliquer cet algorithme aux objets suivants : 2 ; 31 ;
√
2 ; le point A.
3. Un peu d’algèbre :
Choisir un réel x.
Affecter à a le cube de x ;
Affecter à b l’inverse de x ;
Affecter à y la somme de a et b ;
Afficher y.
Appliquer cette algorithme aux nombres 1, −1, 0 et
2
√
2.
Généralités sur les fonctions
Définitions : Soit A et B deux ensembles (non vides). Une fonction f de A vers B est un procédé qui
à tout élément de A permet d’associer au plus un élément de B.
Soit x un élément quelconque de B. On est dans l’un des deux cas suivants :
1. On peut par f associer à x un élément y de B : on dit alors que f est définie en x et que l’image de
x par f est y. On note alors y = f (x) et on lit “y est égal à f de x”.
2. On ne peut par f associer à x aucun élément de B : on dit alors que f n’est pas définie en x ou que
x n’est pas dans l’ensemble de définition de f .
Ainsi, l’ensemble de définition d’une fonction de A vers B est constitué des éléments de A qui ont une image
par cette fonction.
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Exemples :
1. Soit A l’ensemble des élèves de l’EABJM et B l’ensemble N. Le procédé f qui à tout élève de l’EABJM
associe son nombre de frères et soeurs est une fonction de A vers B.
2. L’algorithme n˚2 ci-dessus associe à tout réel x la valeur de vérité de la proposition (x2 < x + 2) : il
définit une fonction de R vers l’ensemble B = {Vrai , Faux}.
3. Soit A = R+ et B = R+ ; le procédé qui à tout réel positif c associe l’aire d’un carré de côté c est la
fonction de R+ vers R+ qui à c associe le réel . . . . . . . . ..
Notations : Soit la fonction f de A vers B qui à x ∈ A associe, lorsque cela est possible, l’élément f (x) ∈ B
(On dit aussi que f est une fonction à valeurs dans B). On note :
f : A→B
x 7→ f (x)
et ont lit : “f est la fonction de A vers B qui à x associe f de x”.
L’écriture x 7→ f (x) se lit aussi : “x a pour image f de x”.
x est une variable. Une variable peut être désignée par n’importe quelle lettre qui n’ait pas déjà été utilisée.
Pour les fonctions suivantes, indiquer, si possible, l’image des éléments indiqués.
√
1
1. Déterminer l’image éventuelle de 0 ; 2 ; 7 ; − par la fonction :
3
f : R→R
x 7→ f (x) = x2 − x + 1
√
1
2. Déterminer l’image éventuelle de 0 ; 2 ; 7 ; − par la fonction :
3
g: R→R
1
u 7→ g(u) =
u−2
1
3. Déterminer l’image éventuelle de 0 ; 2 ; 3 ; − par la fonction :
3
M : N→N
n + 1 si n est pair,
n 7→ M (n) =
2n si n est impair.
Exercice 2.
Exercice 3. (Exemple de fonctions à deux variables) Déterminer l’expression de la fonction p, qui à tout
couple de réels positifs (x; y) associe le périmètre p(x; y) du rectangle dont les dimensions sont x et y.
Calculer p(2; 4) et p(2, 5; 1, 5).
Exercice 4. Le procédé qui à tout x positif associe tout nombre réel dont le carré vaut x est-il une fonction ?
Pourquoi ?
Exercice 5.
Déterminer les ensembles de définition des fonctions de R vers R 1 suivantes :
1. f : x 7→ x2 − 1
√
2. x : t 7→ 2t − 1
1
3. g : a 7→
2a − 1
Exercice 6. Soit la fonction h de R vers R qui à x associe le réel (x − 1)2 .
1. Calculer h(3).
2. Déterminer tous les nombres qui ont pour image 4 par h.
3. Déterminer tous les nombres qui ont pour image −2 par h.
Définition : Soit f une fonction de A vers B et y ∈ B. Les éléments x ∈ A tels que f (x) = y sont les
antécédents de y par f .
Remarques
Par une fonction f , un nombre de l’ensemble de départ A possède au plus une seule image.
En revanche, un nombre de l’ensemble d’arrivée B peut avoir 0, 1, 2 et même une infinité d’antécédents par f .
1. Une fonction à valeurs dans R est appelée fonction “numérique”.
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Courbe représentative
−
→ −
→
Dans cette section, le plan P est muni d’un repère (O; i , j ).
Définition : Soit f une fonction de R vers R, définie sur l’ensemble D ⊂ R. L’ensemble des points de
coordonnées (x; f (x)), lorsque x décrit D, forme dans le plan une courbe, appelée courbe représentative
−
→ −
→
de f dans le repère (O; i , j ).
On dit alors que l’égalité y = f (x) est une équation de la courbe représentative de f , ce qui signifie :
1. Si M (x; y) est sur la courbe de f , alors x ∈ D et y = f (x).
2. Si x ∈ D et y = f (x), alors M (x; y) est sur la courbe de f .
Exercice 7.
La courbe C ci-dessous représente une fonction g.
b
5
4
3
2
1
b
−2
1
−1
2
−1
Par simple lecture graphique :
1. Déterminer l’ensemble de définition de g (La réponse sera donnée sous la forme d’un intervalle).
2. L’image de −2 par g.
3. Le nombre de solutions de l’équation g(x) = 0.
1
4. Le nombre d’antécédents de − par g.
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