I- EGALITE II- ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE

Cours n°11 : EQUATIONS
•
Enigme : un panier de fruits pèse 12 kilos. Les fruits seuls pèsent 10 kilos de plus que le panier vide.
Combien pèse le panier vide? •
Solution : on peut trouver la solution par essais, ou bien par une petite mise en équation.
Soit x le poids du panier.
Les fruits pèsent 10 kg de plus c'est à dire (x+10) kg.
Au total, les fruits et le panier pèsent 12 kg.
Le problème se traduit par l'équation: x+(x+10)=12
On la résout:
x+x+10=12
2x=12-10
x=2/2
x=1 La solution de l'équation est 1.
On conclut que le panier vide pèse 1kg. •
Equation : du latin aequatio, égalité. Ce mot n'est apparut qu'en 1740. I-
EGALITE
Définition : une égalité est une expression mathématique qui comporte un signe égal.
Exemples :
et
3
59
61
2
Remarque : une égalité peut être vraie ou fausse. L’égalité 7
II-
8 est fausse !
ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE
Définition : une équation est une égalité dans laquelle un nombre est inconnu. Ce nombre
est souvent désigné par la lettre . Résoudre une équation signifie trouver la (les)
valeur(s) du nombre inconnu (s’il en existe) qui rend(ent) l’égalité vraie. Toute valeur qui
Exemple : 12
9
42 est une équation. 12
9 est le membre de gauche et 42 celui
de droite. Résoudre cette équation signifie trouver la (les) valeur(s) de
pour laquelle (lesquelles) l’égalité est vraie.
(s’il en existe)
Maths – 4ème rend l’égalité vraie s’appelle une solution de l’équation.
1 Cours n°11 : EQUATIONS
Remarque 1 : le signe « = » a un nouveau « sens » dans l’écriture d’une équation. Il pose
en fait une question : « pour quelle(s) valeur(s) de
obtient-on une égalité vraie ? ».
Remarque 2 :
o
Pour l’équation 12
9
42, le plus grand exposant de l’inconnue
est 1 ; cette
équation est de degré 1.
o
Pour l’équation ² 1 8, le plus grand exposant de l’inconnue
est 2 ; cette
équation est de degré 2.
Applications : fiches d’applications n° 1 et 2.
III- RESOLUTION ALGEBRIQUE D’UNE EQUATION
1) Propriétés
Propriété 1 (admise) : une égalité reste vraie si on additionne (ou soustrait) le même
nombre dans chaque membre.
a, b et c sont trois nombres. Si a = b, alors : a + c = b + c et a – c = b - c
Exemples :
o
Si : y = 10, alors : y + 3 = 13.
o
Si : 5b + 100 = 2b + 150, alors : 5b = 2b + 50
Propriété 2 (admise) : une égalité reste vraie si on multiplie (ou divise) chaque membre
par le même nombre non nul.
a, b et c sont trois nombres. Si a = b, alors : a c = b c et
=
.
Exemple :
o
Si : y = 5, alors : 5 x y = 5 x 5 , donc : 5y = 25.
o
Si : 4b = 40, alors b = 10.
Remarque : comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, il n’y a pas besoin de savoir
résoudre une équation pour tester si, oui ou non, un nombre donné est solution, mais
nous allons apprendre des techniques permettant de trouver rapidement toutes les
Maths – 4ème solutions d’une équation.
2 Cours n°11 : EQUATIONS
2) Résolution d’une équation du type : ax + b = c
Objectif : isolé l’inconnue dans un des membres de l’équation. C’est-à-dire, si on appelle
l’inconnue, obtenir : «
= nombre ».
Exemple : prenons l’équation : 2 4 6
Méthode :
→ On élimine les termes numériques dans le membre de gauche en utilisant les
propriétés de l’addition et de la soustraction dans une égalité (voir 1°).
o
o
2 2 4 2
4 6 – 4
→ On obtient la valeur de
en utilisant les propriétés de la multiplication et de la
division dans une égalité (voir 1°).
=
o
o
1
→ On vérifie que la valeur trouvée est bien la solution de l’équation (on teste avec
l’expression du départ : 2
1 4 6).
3) Résolution d’une équation du type : ax + b = cx + d
Objectif : il reste le même que précédemment : isolé l’inconnue dans un des membres de
l’équation.
Exemple : prenons l’équation suivante : 4 1,2 2 3,5
Méthode :
→ On élimine les termes numériques dans le membre de gauche.
o
o
4 4 1,2 – 1,2 2 2,3
2 3,5 – 1,2
→ On élimine de même les « termes en
o 4 2 2 2,3 2
o 2 2,3
» dans le membre de droite.
o
1,15
→ On vérifie :
o
4 x 1,15 + 1,2 = 5,8
Maths – 4ème → On trouve ainsi la valeur de .
,
o
=
3 Cours n°11 : EQUATIONS
o
2 x 1,15 + 3,5 = 5,8
o
Donc 1,15 est bien solution de l’équation.
Applications : exercices 30 ; 32 ; 33 ; 35 ; 37 et 40 p. 97.
IV-
METTRE UN PROBLEME EN EQUATION
1) Méthode
La démarche de la mise en équation d’un problème est toujours du même genre.
1. Choix de l’inconnue (soit …).
2. Mise en équation (traduire la (ou les) phrase(s) de l’énoncé par une (ou des)
équation(s)).
3. Résolution de l’équation.
4. Interprétation du résultat et réponse (faire une phrase).
Maths – 4ème 5. Relire d’un œil critique la réponse : ce résultat est-il vraisemblable ?
4 Cours n°11 : EQUATIONS
2) Un exemple numérique
3) Un exemple géométrique
Problème :
Le rectangle ABCD et le triangle équilatéral EGF ci-dessous (qui ne sont pas représentés à
Maths – 4ème tailles réelles) ont le même périmètre. Sachant que AD = 20cm, déterminer la longueur AB.
5 Cours n°11 : EQUATIONS
Résolution :
→ Choix de l’inconnue : soit y la longueur AB.
→ Mise en équation :
o
Exprimons le périmètre du rectangle : 2x20 + 2y = 40 + 2y.
o
Exprimons ensuite le périmètre du triangle équilatéral : 3y.
o
Les 2 aires étant égales, nous avons l’équation : 40 + 2y = 3y
→ Résolution de l’équation :
o
40 + 2y – 40 = 3y – 40
o
2y = 3y – 40
o
2y – 3y = 3y – 40 – 3y
o
-1y = -40
o
=
o
y = 40
La solution à cette équation est 40.
Vérification : 40 + 2x40 = 120 et 3x40 = 120
→ Interprétation : la longueur AB mesure 40 cm.
Maths – 4ème Applications : exercices 49 et 51 p. 98 ; 56 p. 99 ; 91, 98 et 99 p. 104 ; 101 p. 105.
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