correction du brevet blanc mathématique partie numérique
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Classe de Troisième CORRECTION DU BREVET BLANC MATHÉMATIQUE Année 2012 PARTIE NUMÉRIQUE EXERCICE N°1 : Un nombre entier : - Est compris entre 100 et 150 ; - Est divisible par 3 ; - N’est pas divisible par 5 ; - N’est pas impair ; - Possède la somme des ses chiffres égale à 12. 1. Élaborer une stratégie pour trouver ce nombre. Je cherche un nombre pair, qui ne se termine pas par zéro et dont la somme des deux derniers chiffres est (12-1) donc 11 (il sera obligatoirement divisible par 3 car la somme de ses chiffres est un multiple de 3). Il doit de plus être compris entre 100 et 150. 2. Quel est ce nombre ? Le nombre cherché est donc 138. EXERCICE N°2 : Les quatre questions suivantes sont indépendantes les unes des autres. 3 1 1. Soit A 4 5 . Écrire sous forme de fraction irréductible. 1 3 2 7 2. Soit B 2 112 3 28 5 63 . Écrire sous la forme où est un nombre entier à déterminer. 3. Soit C 2,1 10 5 6,3 102 6 103 2 . Montrer que C est un entier. (Les calculs effectués devront être détaillés sur 5 la copie.) 4. Soit a. Développer et réduire b. Écrire . . sous la forme d’un produit de deux facteurs. EXERCICE N°3 : Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse. 1. 61 est un nombre premier. Vrai : 61 n’est divisible que par 1 et par 61, donc c’est un nombre premier. 2. 92 et 146 sont premiers entre eux. Faux : 2 est un diviseur commun à 92 et 146 donc il ne sont pas premier entre eux. 3. 91 est un multiple de 7. Vrai : donc 91 est un multiple de 7. 4. Le PGCD de 738 et 1 435 est 41. Vrai : avec l’algorithme d’Euclide ou la méthode des soustractions successives, on a PGCD(738 ; 1 435) = 41 114 est irréductible. 665 Faux : avec l’algorithme d’Euclide ou la méthode des soustractions successives, on a PGCD(114 ; 665) = 19 donc je peux simplifier par 19. 5. La fraction A PARTIE GÉOMÉTRIQUE EXERCICE N°1 : Pour chaque question posée, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Noter sur votre copie le numéro de la question et la réponse A, B ou C qui vous parait exacte. Aucune justification n’est demandée. Libellé de la question DUR est un triangle rectangle en D. On donne RU = 6 ; DU = 3,6 et DR = 4,8. Une valeur au degré près de la mesure de l’angle est : La diagonale d’un carré de côté 5 cm mesure : Un triangle ABC est isocèle en A. L’angle mesure 54°. Ses angles et mesurent chacun : Un pentagone est un polygone qui possède : Une pyramide possède une base rectangulaire de longueur 80 cm et de largeur 60 cm. Sa hauteur mesure 50 cm. Son volume V mesure : EXERCICE N°2 : Dans cet exercice, l’unité de longueur choisie est le centimètre. 1. Construction de la figure en vraie grandeur. Tracer un trapèze rectangle ABCD, tel que : - Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ; - Les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires ; - AB = 8 ; AD = 5 et DC = 12. On note I le point d’intersection des deux droites (AD) et (BC). On note J le point d’intersection des deux droites (AC) et (BD). Réponse A Réponse B Réponse C 48° 41° 37° 10 cm cm 7,07 cm 126° 36° 63° 5 côtés 6 côtés 9 côtés 0,08 80 000 80 2. Calculer la valeur exacte des rapports et . Vous expliquerez et justifierez votre calcul. d’où donc d’après la propriété de Thalès on a : d’où . d’où donc d’après la propriété de Thalès on a : d’où . 3. a. Calculer la longueur du segment [IA]. Soit , d’après 2., on a : donc . b. Calculer la longueur du segment [AC]. Dans ADC rectangle en D, d’après la propriété de Pythagore on a : . c. Calculer la longueur du segment [JA]. Soit , d’après 2., on a : 5 donc . PROBLÈME Dans ce problème, les longueurs sont données en centimètres et les aires en cm². La figure ci-avant est composée d’un rectangle ABCD de centre O, noté par la suite , et d’un autre rectangle AMNP, noté par la suite . On donne AB = 10 ; AD = 6 ; AP = 5 et AM = , avec De plus, on note I le milieu du segment [AD]. PREMIÈRE PARTIE Dans cette partie, 1. Calculer : a. L’aire du rectangle ABCD. . b. L’aire du rectangle AMNP. . c. L’aire totale de la figure. . 2. Quel pourcentage de l’aire totale de la figure représente l’aire du rectangle Calcul du taux en % : Le rectangle ? occupe 20% de l’aire totale de la figure. 3. L’objectif de cette question est de comparer les angles a. Dans le triangle APM rectangle en A, calculer l’angle arrondie au degré près. et . . En déduire une valeur approchée de . b. Quelle est la nature du triangle IPO ? Justifier rapidement votre réponse. La droite (IO) est la médiatrice de [AD] donc le triangle IPO est un triangle rectangle en I. . En déduire une valeur approchée de l’angle c. Calculer arrondie au degré près. . d. Comparer alors les angles D’après a. et c., on a : et . . DEUXIÈME PARTIE Dans cette deuxième partie, est un nombre quelconque compris entre 0 et 10 ( 1. Calculer en fonction de : a. L’aire du rectangle AMNP. ). . b. L’aire totale de la figure. . c. L’aire du quadrilatère BMDC. Le quadrilatère BMDC est un trapèze donc on a : 2. On considère les trois fonctions suivantes : ; ; . Sur une feuille de papier millimétré, tracer dans un repère orthogonal (O, I, J) les représentations graphiques respectives , et des fonctions , et . On prendra les unités suivantes : sur l’axe des abscisses, un centimètre représente une unité ; sur l’axe des ordonnées, un centimètre représente 10 unités. est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est la droite qui passe par l’origine et par le point R(3 ; 15). est une fonction affine donc sa représentation graphique est la droite qui passe les points S(0 ; 60) et T(10 ; 110). est une fonction affine donc sa représentation graphique est la droite qui passe les points S(0 ; 60) et V(10 ; 30). 3. Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique obtenu à la question précédente. Vous justifierez rapidement chacune des réponses fournies. a. Combien mesure la distance AM lorsque l’aire du rectangle AMNP est égale à 30 cm² ? En rouge, je lis que l’aire du rectangle AMNP est égale à 30 cm² quand AM est égale à 6 cm car l’aire de AMNP correspond à la fonction . b. Pour quelle valeur de les aires des quadrilatères AMNP et BMDC sont-elles égales ? Lire la valeur commune des ces deux aires. En bleu, je lis que les aires des quadrilatères AMNP et BMDC sont égales à 37,5 cm² pour x égal à 7,5 cm. Ces réponses sont les coordonnées du point d’intersection de (D1) et (D3) qui représentent les aires respectives de AMNP et BMDC. c. Pour quelle valeur de l’aire totale de la figure mesure-t-elle 40 cm² de plus que l’aire du quadrilatère BMCD ? Vérifier votre résultat par un calcul approprié. Je trace le segment [S’V’] parallèle à [SV] tel que SS’ = VV’ = 40 (voir graphique) et je lis en vert que pour x égal à 5 cm, l’aire totale de la figure sera supérieurs de 40 cm² à l’aire du quadrilatère BMCD. Par le calcul, je résous donc .
