Algorithme de Bellman

et l’algorithme détectera la présence éventuelle d’un cycle strictement négatif accessible
depuis l’origine.
Nous avons donc un graphe orienté valué G = (S, A, w) avec w : A ! R.
Idée de l’algorithme. Comme pour Dijkstra, on met à jour progressivement une surestimation d[v] de la distance d’un PCC entre l’origine s et le sommet v. On appelle
cette technique la méthode du ”relâchement” : étant donnés deux sommets u et v et les
surapproximations d[u] et d[v] ainsi qu’un arc (u, v) 2 A, on peut mettre à jour d[v] si
d[v] > d[u] + w(u, v) car l’arc (u, v) permet d’améliorer l’estimation d[v]. . .
Procédure PCC-Bellman-Ford(G, s)
//G = (S, A, w) : un graphe orienté, valué avec w : A ! R.
//s 2 S : un sommet origine.
begin
pour chaque u 2 S faire
⇧[u] := (
nil
0 si u = s
d[u] :=
1 sinon
pour i = 1 à |S| 1 faire
pour chaque (u, v) 2 A faire
si d[v] > d[u] + w(u, v) alors
d[v] := d[u] + w(u, v)
⇧[v] := u
pour chaque (u, v) 2 A faire
si d[v] > d[u] + w(u, v) alors
return (?, , )
return (>, d, ⇧)
end
Algorithme 7 : Algorithme de Bellman-Ford
La complexité est directe : l’algorithme est en O(|S| · |A|).
La première propriété est que d[v] est bien un majorant de (s, v) :
Propriété 16 Soit G = (S, A, w) un graphe orienté valué. Soit s 2 S. A tout moment de
l’algorithme on a d[v]
(s, v).
Preuve : C’est vrai au début de l’algorithme avec l’initialisation avec 1 pour tout
v 6= s et à 0 pour s. Ensuite, la seule manière de changer d[v] est par ”relâchement” avec
un arc (u, v) : on remplace l’ancienne valeur de d[v] par d[u] + w(u, v), or cette nouvelle
valeur est aussi un majorant de (s, v) (car (s, v)  (s, u) + w(u, v)).
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