Optique de Fourier Examen – durée : 2h Problème 1

Optique(de(Fourier(–(Examen(13(novembre(2014(( (
1
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Optique!de!Fourier!
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Examen!–!durée!:!2h!
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Documents!interdits!
Calculatrice!non!autorisée!
Ordinateur!non!autorisé!
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Une!fiche!résumé!du!cours!et!des!formules!mathématiques!sont!fournies!en!annexe.!
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Problème!1!
(NOTA:'de'nombreuses'questions'sont'indépendantes'entre-elles)'
Figure 1
On considère le dispositif experimental représenté sur la Figure 1. L'objet, mince, a une
transmittance complexe 𝑡(𝑥)=𝑒𝑥𝑝(−𝑗2𝜋𝑥/Λ). Cet objet est éclairé par une onde plane
monochromatique en incidence normale. L'image de cet objet est formée au moyen d'un
objectif de microscope d'ouverture numérique dans l'espace objet 𝑂𝑁 =𝑠𝑖𝑛𝜃!"#.
1.1 Monter que cet objet transforme l'onde plane incidente en une onde plane déviée d'un
angle θ par rapport à la direction incidente. En utilisant la relation entre les fréquences
spatiales d'une onde plane et sa direction de propagation, exprimer θ en fonction de Λ (période
de t(x)) et de la longueur d'onde λ .
𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝜆𝜈! avec 𝜈!=1/Λ
1.2 Montrer que l'image de l'objet ne pourra pas être formée si Λ<!
!" .
Une plane est transmisse par l'objectif à condition que son inclinaison
𝜃 soit inférieure à 𝜃!"#. Cela implique Λ>𝜆/𝑂𝑁. Si Λ<𝜆/𝑂𝑁 l'onde n'est pas transmise.
Objet
(transmittance t(x))
z
x
Objectif (ON)
Pupille (largeur D)
Onde plane
monochromatique
d0

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1.3 En déduire la fréquence de coupure 𝜈! (en éclairage cohérent) du système d'imagerie.
𝜈!=1/Λ=𝑂𝑁/𝜆
1.4 Si l'onde plane incidence éclaire l'objet avec un angle d'incidence 𝜃!, quelle est alors la
direction de propagation de l'onde transmise par l'objet ?
sin𝜃+𝑠𝑖𝑛𝜃!=!
!
1.5 Montrer que si l'objet est éclairé par un faisceau lumineux présentant une distribution
d'angles d'incidence autour de l'axe optique z comprise entre -𝜃!! et +𝜃!!, il est possible
d'augmenter la fréquence de coupure du système d'imagerie jusqu'à une valeur 𝜈!,!"# que l'on
explicitera en fonction de ON, λ , 𝜃!!.
𝜈!,!"# =
𝑂𝑁 +𝑠𝑖𝑛𝜃!𝑴
𝜆
1.6 Commenter l'influence de la cohérence spatiale de l'éclairage sur la résolution spatiale du
système optique.
En diminuant la cohérence spatiale, on voit qu'on peut augmenter la fréquence de coupure,
c'est à dire améliorer la résolution.
***
L'objectif est assimilé à une lentille mince convergente de focale f ne présentant aucune
aberration. On considère que la pupille de l'objectif est une fente de largeur D, ce qui revient à
traiter le problème à une seule direction transverse x. L'objet est situé à une distance d0 de
l'objectif. L'objet est éclairé par une onde plane monochromatique en incidence normale.
2.1 A quelle condition pourra-t-on observer une image réelle située à une distance d derrière
l'objectif ?
Optique géométrique : il faut que d0 > f
2.2 Calculer et tracer la réponse percussionnelle en amplitude h(x) de l'objectif. Préciser la (½)
largeur Δx de h(x), définie comme l'abscisse du premier zéro de cette fonction.
ℎ(𝑥)=𝑝
𝑥
𝜆𝑑 =𝑠𝑖𝑛𝑐
𝜋𝐷𝑥
𝜆𝑑
Δ𝑥=
𝜆𝑑
𝐷
2.3 Calculer la fonction de transfert cohérente 𝐻(𝜈!) et la tracer.
𝐻(𝜈!)=𝑅𝑒𝑐 !"
!
𝜈!. Distribution rectangle de largeur totale !
!".

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2.4 Quelle est la fréquence de coupure du système optique dans le plan image ?
La fréquence de coupure au niveau de l'image est !
!!".
2.5 En déduire la fréquence de coupure dans le plan de l'objet (on supposera pour faire le
calcul que 𝜃!"# ≪1radian) ? Comparer avec le résultat de la question 1.3.
Pour se ramener dans le plan objet on multiplie la fréquence de coupure au niveau de l'image
par le grandissement, égal à !
!!
. En supposant 𝑠𝑖𝑛𝜃!"# =𝜃!"#, on obtient 𝜈!=𝑂𝑁/𝜆 (idem
question 1.3).
L'objet est désormais éclairé au moyen d'une source de lumière incohérente spatialement.
2.6 Donner l'expression de la fonction de transfert incohérente 𝐻!"# (𝜈!). Tracer cette fonction.
𝐻!"# (𝜈!) est une distribution "triangle" de largeur totale !!
!".
2.7 Quelle est la fréquence de coupure dans le plan image ? Comparer avec le résultat de la
question 2.4.
La fréquence de coupure au niveau de l'image est !
!", soit le double de celle obtenue en
éclairage cohérent.
2.8 Commenter l'influence de la cohérence spatiale de l'éclairage sur la résolution du système
d'imagerie. Est-ce en accord avec les résultats de la question 1.5 ?
On peut théoriquement doubler la fréquence de coupure en passant d'un éclairage cohérent à
un éclairage incohérent. Mais plus la fréquence augmente plus elle est atténuée en incohérent
(FTM décroissante) alors que la transmission est constante en cohérent (FTM plate). Résultats
en accord avec les considérations "géométriques" du 1.5.
En éclairage incohérent, la résolution d'un système optique peut être définie à partir de la
largeur de la réponse percussionnelle (incohérente). Selon le critère de Rayleigh, la limite de
résolution correspond à la distance entre la position du maximum de la réponse
percussionnelle (incohérente) et celle de son premier zéro.
2.9 En vous aidant de la figure 2, commenter la pertinence de cette définition de la résolution.
2.10 Calculer la résolution dans l'espace image du système d'imagerie précédent selon le
critère de Rayleigh. Comparer au résultat de la question 2.7
ℎ!"# (𝑥)=ℎ(𝑥)!. D'après la question 2.2, on a Δ𝑥=!"
!. C'est le double de l'inverse de la
fréquence de coupure (en éclairage incohérent).
***

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L'objet est maintenant un réseau de diffraction dont la transmittance en amplitude s’écrit
𝑡𝑥=!
!
1+𝛾𝑐𝑜𝑠 2𝜋!
!!
avec 0 < γ < 1. L'objet est éclairé par une onde plane en incidence
normale.
3.1 Montrer que ce réseau transforme l'onde plane incidente en 3 ondes planes se propageant
dans des directions différentes que l'on calculera (on pourra pour cela écrire la fonction
"cosinus" à partir de fonctions "exponentielles complexes").
𝑡𝑥=
1
21+𝛾 2𝑒𝑥𝑝 𝑗2𝜋
𝑥
𝑝!
+𝑒𝑥𝑝 −𝑗2𝜋
𝑥
𝑝!
On a 3 ondes planes de fréquences spatiales 𝜈!=0,−1/𝑝!,+1/𝑝!, c'est à dire se propageant
selon 𝑠𝑖𝑛𝜃 =0,−𝜆/𝑝!,+𝜆/𝑝!.
3.2 A quelle condition sur la période 𝑝! du réseau, l'objet pourra-t-il être résolu par le système
d'imagerie (en éclairage cohérent, i.e avec une onde plane d'illumination normale à z) ?
Il faut que 𝑠𝑖𝑛𝜃 <𝑂𝑁 soit 𝑝!>𝜆/𝑂𝑁
3.3 Donner l'expression de la répartition d'amplitude complexe dans le plan image dans ce cas.
Quel est le contraste de cette image (en amplitude complexe) ?
𝑈𝑥=!
!
1+𝛾𝑐𝑜𝑠 2𝜋!
! où 𝑝=𝑝!×|𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡|
Le contraste de l'image est le même que celui de l'objet, égal à γ .
***
Si la source de lumière utilisée présente une densité spectrale de puissance suffisamment
étroite, il est possible d'observer des interférences résultant de réflexions sur les différents
dioptres à l'intérieur de l'objectif de microscope (système optique multi-éléments).
4.1 En supposant que la distance minimale entre deux dioptres correspond à une épaisseur
optique e dans l'air, expliciter une condition sur la largeur minimale Δ ν de la densité spectrale
de la source afin de ne pas être géné par ces interférences parasites. Ré-écrire cette condition
en fonction de la finesse spectrale de la source 𝑁=𝜆!/Δ𝜆, où λ
0 est la longueur d'onde
moyenne et Δ λ la largeur spectrale.
Il faut que la longueur de cohérence (temporelle) 𝑙! soit inférieure à 2e. Comme Δ𝜈=𝑐/𝑙!, on
a Δ𝜈>𝑐/2𝑒, soit Δ𝜆>𝜆!
!/2𝑒, ou encore 𝑁<2𝑒/𝜆!
***

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Figure 2 : Définition de la résolution selon le critère de Rayleigh.
Problème 2
1. Calculer la figure de diffraction de Fraunhofer donnée par 2 fentes (géométrie indiquée sur
la Figure 3), éclairée en incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur
d'onde λ .
𝐼𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑐!𝜋𝑎𝑥
𝜆𝑓 𝑐𝑜𝑠!𝜋𝑏𝑥 𝜆𝑓
Figure 3
2. Tracer la répartition transverse d'intensité 𝐼𝑥 de cette figure de diffraction lorsque b = 2a.
z
x
a
b
a
b