TS 3 DEVOIR : PROBABILITES CONDITIONNELLES Octobre 2 009

TS 3 DEVOIR : PROBABILITES CONDITIONNELLES Octobre 2 009
EXERCICE 1:

EXERCICE 2:
Un professeur d'une classe de terminale donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et
propose deux réponses par question: l'une juste et l'autre fausse.
On désigne par J une réponse juste et par F une réponse fausse.
On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse.
A chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses
données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la
troisième, on lui associera le résultat (J,F,F).
I Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles?
II On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendantes pour chacune
d'elles.
Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobabilité des résultats.
1. Soient les évènements: A: "Le résultat contient exactement une réponse juste."
B: "Le résultat contient au moins une réponse juste."
Calculer les probabilités de ces deux évènements.
2. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante: il donne 1 point pour une
réponse juste et 0 point pour une réponse fausse.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
a) Quelles sont les valeurs prises par X?
b) Donner la loi de probabilité de X sous forme de tableau.
c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.
3. Dans cette question le professeur change sa façon de noter les copies, il procède comme ceci:
il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,5 point pour une réponse fausse.
On appelle Y la nouvelle variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
a) Donner la loi de probabilité de Y sous forme de tableau.
b) Calculer l'espérance mathématique E(Y) de Y. Comparer et interpréter avec le résultat obtenu pour X.

CORRECTION DE L'EXERCICE 1
PARTIE A
0,5
F 2. a. D'après les données
pM=1– p I– pO
pM=1–0,08 –0,82=0,1
b.
p M∩F =0,25×0,1=0,025
I c. I,Oet M forment une partition de l'ensemble des
0,5
F
employés , d'après la formule des probabilités
0,08
totales:
0,6
F
p F =p F∩I p F∩O p F∩M
0,82
O =
0,08×0,50,82×0,60,025
0,4
F
0,1
=0,557
0,25
F
M
0,75
F
PARTIE B: ATTENTION à ce qui est donné
●La probabilité qu'il n'y ait pas de panne
et
que l'alarme se déclanche est égale à 0,002:
ceci se traduit par
p B∩A =0,002
C'est une intersection car il y a
et
.
●La probabilité qu'une panne survienne
et
que l'alarme ne se déclanche pas est égale à 0,003:
ceci se traduit
p B∩A =0,003
C'est une intersection car il y a
et
.
●La probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04:
ceci se traduit
p B =0,04
1. I l est demandé de calculer la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclanche, il faut donc
calculer:
p B∩A
:
1ére méthode : pour cela je peux utiliser l'égalité avec
p B ×pB A
, je connais
P B
, je ne connais pas
pB A
mais je peux le calculer .Car
pB A pB A =1
et
PB A =p
B∩A
p B
=0,003
0,04 =0,075
Donc
pB A =1−0,075=0,925
Ce qui donne
p B∩A =p B ×pB A =0,04×0,925=0,037
Il n'y avait pas d'erreur dans le texte!
2 nd méthode (encore plus simple)
A et
A
forment une partition de l'univers donc
p B =p B∩A p B∩A
p B∩A =p B −p B∩A =0,04−0,003=0,037
2. La probabilité que l'alarme se déclanche
p A =p B∩A p B∩A =0,0370,002=0,039
Car B et
B
forment une partition de l'univers et j'ai utilisé la formule des probabilités totales.
3.
pA B =p
A∩B
p A
=0,037
0,039≈0,949

CORRECTION EXERCICE 2:
I 1ère question 2nd question 3ème question Triplet X Y
J (J;J;J) 3 3
J
F (J;J;F) 2 1,5
J
J (J;F;J) 2 1,5
F
F (J;F;F) 1 0
J (F;J;J) 2 1,5
J
F (F;J;F) 1 0
F
J (F;F;J) 1 0
F
F (F;F;F) 0 0
Il y a 8 résultats possibles.
II 1°)
p A =nombre de triplet avec un seul J
8=3 8
p B =nombre de triplet avec au moins un J
8=7 8
2°) a) Les valeurs prises par X sont: 0;1;2;3.
b)
xi
0 1 2 3
p X=xi
1
8
3
8
3
8
1
8
c)
E X =0×1
81×3 82×3 83×1 8=3 86 83 8=12 8=3 2=1,5
3°) a)
yi
0 1,5 3
p Y=yi
4
8
3
8
1
8
b)
E Y =0×4
81,5×3 83×1 8=7,5 8
≈0,94
Si l'élève répond au hasard aux questions, il a plus de chance d'avoir des points avec la première notation qu'avec
la deuxième.