TS 3 EXERCICE 1: DEVOIR : PROBABILITES CONDITIONNELLES Octobre 2 009 EXERCICE 2: Un professeur d'une classe de terminale donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question: l'une juste et l'autre fausse. On désigne par J une réponse juste et par F une réponse fausse. On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. A chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J,F,F). I Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles? II On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendantes pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobabilité des résultats. 1. Soient les évènements: A: "Le résultat contient exactement une réponse juste." B: "Le résultat contient au moins une réponse juste." Calculer les probabilités de ces deux évènements. 2. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante: il donne 1 point pour une réponse juste et 0 point pour une réponse fausse. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. a) Quelles sont les valeurs prises par X? b) Donner la loi de probabilité de X sous forme de tableau. c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X. 3. Dans cette question le professeur change sa façon de noter les copies, il procède comme ceci: il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,5 point pour une réponse fausse. On appelle Y la nouvelle variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. a) Donner la loi de probabilité de Y sous forme de tableau. b) Calculer l'espérance mathématique E(Y) de Y. Comparer et interpréter avec le résultat obtenu pour X. CORRECTION DE L'EXERCICE 1 PARTIE A 0,5 2. a. D'après les données p M =1 – p I – pO p M =1 – 0,08 – 0,82=0,1 F b. p M ∩F =0,25×0,1=0,025 c. I,Oet M forment une partition de l'ensemble des employés , d'après la formule des probabilités totales: I 0,5 F 0,08 0,6 0,82 p F = p F ∩I p F ∩O p F ∩M = 0,08×0,50,82×0,60,025 F O 0,4 F 0,1 =0,557 0,25 F M 0,75 F PARTIE B: ATTENTION à ce qui est donné ● La probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclanche est égale à 0,002: ceci se traduit par p B∩A =0,002 C'est une intersection car il y a et . ● La probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclanche pas est égale à 0,003: ceci se traduit p B∩A =0,003 C'est une intersection car il y a et . ● La probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04: ceci se traduit p B =0,04 1. I l est demandé de calculer la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclanche, il faut donc calculer: p B∩A : 1ére méthode:pour cela je peux utiliser l'égalité avec p B × p B A , je connais P B , je ne connais pas p B∩ A 0,003 p B A mais je peux le calculer .Car p B A p B A =1 = =0,075 et P B A = p B 0,04 Donc p B A =1−0,075=0,925 Ce qui donne p B∩A = p B × p B A =0,04×0,925=0,037 Il n'y avait pas d'erreur dans le texte! 2nd méthode (encore plus simple) A et A forment une partition de l'univers donc p B = p B∩A p B∩A p B∩A = p B − p B∩ A =0,04−0,003=0,037 2. La probabilité que l'alarme se déclanche p A = p B∩ A p B∩ A =0,0370,002=0,039 Car B et B forment une partition de l'univers et j'ai utilisé la formule des probabilités totales. 3. pA B = p A∩B 0,037 = ≈0,949 p A 0,039 CORRECTION EXERCICE 2: I 2nd question 1ère question 3ème question Triplet X Y J (J;J;J) 3 3 F (J;J;F) 2 1,5 J (J;F;J) 2 1,5 F (J;F;F) 1 0 J (F;J;J) 2 1,5 F (F;J;F) 1 0 J (F;F;J) 1 0 F (F;F;F) 0 0 J J F J F F Il y a 8 résultats possibles. nombre de triplet avec un seul J 3 = 8 8 nombre de triplet avec au moins un J 7 p B= = 8 8 2°) a) Les valeurs prises par X sont: 0;1;2;3. b) xi 0 1 II 1°) p A = 2 3 3 3 8 8 1 3 3 1 3 6 3 12 3 c) E X =0× 1× 2× 3× = = = =1,5 8 8 8 8 8 8 8 8 2 3°) a) yi 0 1,5 1 8 p X =x i p Y = yi 1 8 4 8 3 8 3 1 8 4 3 1 7,5 ≈0,94 b) E Y =0× 1,5× 3× = 8 8 8 8 Si l'élève répond au hasard aux questions, il a plus de chance d'avoir des points avec la première notation qu'avec la deuxième.