TES. probabilites. exos serie 2

PROBABILITE – VARIABLE ALEATOIRE
EXERCICE 1
Pour prévenir deux défauts A et B des pièces fabriquées par une usine, on décide de soumettre
l’ensemble des pièces à des tests. Les études statistiques menées sur un effectif assez grand ont
montré que:
8% des pièces présentent le défaut A;
parmi les pièces présentant le défaut A, 15% ont le défaut B;
parmi les pièces ne présentant pas le défaut A, 5% ont le défaut B.
On prend au hasard une pièce produite et on considère les événements suivants A « la pièce
présente le défaut A » et B « la pièce présente le défaut B ».
1. Calculer la probabilité pour qu’une pièce prise au hasard présente les deux défauts A et B.
2. Calculer la probabilité pour qu’une pièce prise au hasard présente le défaut B et ne présente pas
le défaut A.
3. Déduire que la probabilité de B est égale à 0,058
4. Calculer la probabilité d’obtenir une pièce bonne c’est à dire ne présentant ni le défaut A ni le
défaut B.
5. La pièce tirée au hasard présente le défaut B, quelle est la probabilité pour qu’elle présente aussi
le défaut A?
6. La pièce tirée au hasard ne présente pas le défaut B, quelle est la probabilité pour qu’elle
présente le défaut A?
EXERCICE 2
Une entreprise fabrique un produit A destiné à l’exportation.
1. Sur le marché extérieur la demande (en milliers d’unités) est une variable aléatoire X de loi:
xi
p(X = xi)
1
6a
2
4a
3
2a
4
2a
5
a
a) Calculer a
b) Calculer la variance et l’écart type de X
c) Si l’entreprise dispose d’un stock de 3000 unités du produit A, quelle est la probabilité qu’il y
ait rupture de stock ?
2. Cette entreprise fabrique également pour la consommation intérieure un produit B. Sur le marché
intérieur la demande ( en milliers d’unités ) de ce produit est une variable aléatoire Y de loi:
yi
p(Y = yi)
1
1
2
1
3
1
...
1
n
1
n
n
n
n
n
où n ≥ 5
Avec un stock de 5000 unités du produit B, l’entreprise est en rupture de stock moins de 5% du
temps. Quelle est la demande moyenne sur le marché intérieur ?
EXERCICE 3
Dans un pays X , les conseillers financiers sont classés en deux catégories: ceux qui sont bien
informés et ceux qui ne le sont pas. Lorsqu'un conseiller financier bien informé recommande un
titre, le cours de celui-ci monte dans 70 % des cas; dans le cas d'un conseiller financier mal informé,
le cours ne monte pas dans 60 % des cas. On considère que 20% des conseillers financiers sont bien
informés. Un client choisit au hasard un conseiller financier qui lui recommande une valeur:
1. Quelle est la probabilité que le cours de la valeur achetée monte?
2. Sachant que le cours de la valeur est monté, quelle est la probabilité que le conseiller choisi soit
mal informé?
EXERCICE 1
Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses
proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question. L'absence de réponse à une question ne
rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1. Une loi de probabilité d’espérance µ, de variance V et d’écart type σ µ = 1, 25
est définie par le tableau ci-dessous.
xi
pi
−1
0,3
0
0,2
2
0,1
V = 4,85
4
0,4
σ=
On a alors :
5
4
p( A ∩ B) =
2. Soient A et B deux évènements indépendants.
1
1
On donne p ( A ) = et p ( B ) = .
4
3
On a alors :
pA ( B ) =
7
12
1
12
p( A ∪ B) =
1
2
ex + e y = ex+ y
ex × e y = 1 ⇔ x = − y
3. x et y sont deux réels :
ex x
=
ey y
1
e
a pour solution x = −e
a pour solution x =
4. L’équation ln x = −1 :
n’a pas de solution
a pour solution x = −1
a pour solution x = −e
5. L’équation eln x = −1 :
n’a pas de solution
EXERCICE 2 (D’après
sujet Bac ES Amérique du Sud Novembre 2005)
Un magasin vend des salons de jardin. Une enquête statistique a montré que :
– 10% des personnes qui entrent dans le magasin achètent une table ;
– parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent un lot de chaises ;
– parmi les personnes qui n’achètent pas de table, 10% achètent un lot de chaises.
Une personne entre dans le magasin.
On note T l’évènement : « La personne achète une table »
On note C l’évènement : « La personne achète un lot de chaises »
1. Traduire à l’aide d’un arbre pondéré ou d’un tableau la situation décrite ci-dessus.
2. Montrer que la probabilité que la personne achète un lot de chaises est égale à 0,17.
3. Quelle est la probabilité que la personne n’achète pas de table sachant qu’elle a acheté un lot de chaises ?
4. On choisit au hasard cinq clients et on suppose qu'ils ont fait leurs choix dans les mêmes conditions et de
façon indépendante. Calculer la probabilité que l'un d'eux, au moins, ait acheté un lot de chaises.
5. À la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu’il a réalisé en moyenne un bénéfice de 11,80 €
par personne entrant dans le magasin.
On sait que le directeur a fait un bénéfice de 50 € par table vendue.
On appelle x le bénéfice exprimé en euros qu’il a réalisé par lot de chaises vendues. On se propose de
calculer x.
a. Reproduire et compléter le tableau suivant définissant la loi de probabilité « montant du bénéfice
réalisé par personne entrant dans le magasin».
Montant du bénéfice
Probabilité
0
50
x
50 + x
b. Montrer que l’espérance mathématique de cette loi est égale à 5 + 0,17x
c. Conclure.
Exercice 1: Un jeu consiste à lancer une première fois un dé à six faces :
- si le joueur obtient un « six », il gagne 10 euros ;
- s’il obtient un « un », un « deux », ou un « trois », il ne gagne rien et le jeu s’arrête ;
- s’il obtient un « quatre », ou un « cinq », le joueur lance le dé une deuxième fois ;
- s’il obtient un « six », il gagne alors 5 euros, sinon il ne gagne rien et le jeu s’arrête.
Pour participer à ce jeu, chaque joueur mise 2 euros.
Le « gain » d’un joueur est la différence entre ce qu’il reçoit à l’issue de la partie et sa mise ;
un « gain » peut donc être négatif.
Soit G la variable aléatoire qui, à chaque partie effectuée par un joueur donné, associe son gain.
1. Quelles sont les valeurs prises par G ?
2. Premier cas : le joueur joue avec un dé bien équilibré.
1
. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
a) Montrer que p(G = 3) =
18
b) Déterminer la loi de probabilité de G, puis l’espérance mathématique de G.
Ce jeu est-il à l’avantage du joueur ?
3. Deuxième cas : le joueur joue avec un dé pipé.
On note pi la probabilité d’obtenir la face marquée « i » pour 1 ≤ i ≤ 6.
On sait que p6 est le double de p1 et que p1 = p2 = p3 = p4 = p5.
a) Déterminer les valeurs de pi pour 1 ≤ i ≤ 6.
4
b) Montrer alors que p(G = 3) =
.
49
c) Déterminer la loi de probabilité de G.
Exercice 2 : Au cours d'une kermesse, l'animateur d'un stand dispose, dans un enclos,
de douze cages peintes : sept sont blanches, deux noires et les trois autres vertes.
L'animateur place alors une souris dans l'enclos.
On suppose qu'à chaque jeu, la souris choisit d'entrer au hasard dans une cage
et que tous les choix sont équiprobables. Un joueur participe au jeu. Le règlement du jeu est le
suivant:
- Si la souris entre dans une cage blanche, le joueur perd;
- Si la souris entre dans une cage noire, le joueur gagne,
- Si la souris entre dans une cage verte, l'animateur remet la souris dans l'enclos;
si la souris entre alors dans une cage noire, le joueur gagne sinon il perd.
On suppose que le choix de la deuxième cage est indépendant du choix de la première.
5
1. Montrez que la probabilité de l'événement " le joueur gagne " est
.
24
2. Un joueur ne possède que 5 euros qu'il verse pour participer à une partie.
S'il gagne, il reçoit k euros; sinon, il ne reçoit rien.
Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur la somme que possède le joueur après la partie.
a. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b. Calculez, en fonction de k , l'espérance mathématique E[X] de la variable aléatoire X.
c. Quelle valeur faut-il donner à k pour que le jeu soit équitable?
(c'est à dire pour que ce joueur puisse espérer posséder 5 euros à la fin de la partie)
EXERCICE 3 (D’après
sujet Bac ES Nouvelle- Calédonie Novembre 2006)