L3 Mécanique Quantique TD1 septembre 2014 L`atome de Bohr

L3 Mécanique Quantique
TD1 septembre 2014
L’atome de Bohr
Ernest Rutherford a proposé un modèle d’atome avec un noyau massif autour duquel tournent
les électrons (modèle planétaire-1911). Ce modèle classique d’atome pose le problème épineux
de stabilité de la matière. En effet, une particule chargée accélérée doit rayonner et perdre
de l’énergie. Les électrons devraient tomber très rapidement sur le noyau. De plus, les expériences de spectroscopie optique montrent que les atomes émettent un spectre de raies et
non un spectre continu. Ainsi les raies d’émission de l’atome d’hydrogène obéissent aux règles
suivantes :
1
1
λnp = RH 2 − 2
(1)
n
p
où λnp sont les longueurs d’ondes émises et n et p deux entiers strictement positifs.
Niels Bohr a proposé un modèle phénoménologique pour expliquer les données expérimentales.
Il suppose que :
i) l’électron ne rayonne aucune énergie lorsqu’il se trouve sur une orbite stable (ou orbite
stationnaire). Ces orbites stables sont quantifiées. Ce sont les seules orbites sur lesquelles
l’électron peut tourner.
ii) l’électron ne rayonne ou n’absorbe de l’énergie que lors d’un changement d’orbite.
Nous allons considérer l’atome d’hydrogène (un proton et un électron) et supposer des trajectoires circulaires.
1) Calculer le rayon de la trajectoire pour une énergie totale de l’électron E.
2) Pour obtenir des orbites stationnaires, on quantifie le moment cinétique de l’électron en
supposant qu’il ne peut être qu’un multiple de la constante de Planck réduite(L = n~ où
n = 1, 2, 3...). Trouver les valeurs possibles de l’énergie et des rayons des orbites.
3) Trouver la valeur de la constante de Rydberg RH .
4) Montrer que l’hypothèse d’une onde stationnaire (longueur d’onde λ) sur une orbite permet
de retrouver la quantification du moment cinétique.
La théorie de Bohr a été généralisée par Sommerfeld (1916) aux trajectoires elliptiques. Il a
également introduit les corrections relativistes. Toutefois, cette première mécanique des quantas qui s’appuyait fortement sur la mécanique classique (trajectoire bien définie des électrons)
restait très insuffisante (incapable d’expliquer les atomes à plus d’un électron). Elle a été
abandonnée à la naissance de la mécanique quantique (de Broglie 1923, Schrödinger (1926)
et Heisenberg (1926)).