Chapitre 7 – Les nombres complexes – Algèbre et géométrie

Chapitre 7
Les nombres complexes - Algèbre et
géométrie
7.1 Forme algébrique
7.1.1 L'ensemble C des nombres complexes
Notons i le nombre complexe tel que : i2 = −1. Alors l'ensemble des nombres complexes,
noté C, est l'ensemble de tous les nombres z de la forme z = a + ib, où a et b sont deux nombres
réels.
On appelle partie réelle de z et on note Re(z) le nombre a.
On appelle partie imaginaire de z et on note Im(z) le nombre b.
Ainsi, on peut écrire, pour tout nombre complexe z : z = Re(z) + i Im(z).
Remarque. Si l'on observe l'ensemble des nombres complexes z tel que Im(z) = 0, alors ils sont
de la forme suivante : z = Re(z), et ce sont alors des nombres réels. En fait, tous les nombres
réels sont des nombres complexes, de partie imaginaire nulle. On a donc : R ⊂ C.
Dénition. On appelle nombre imaginaire pur tout nombre complexe
Un tel nombre vérie alors : z = i Im(z).
Exemple.
• 2 + i, 0.5 − 32 i et −π +
• 3i, −871i et
21i
4
√
2i sont des nombres complexes ;
sont des nombres imaginaires purs.
1
z tel que Re(z) = 0.
2
CHAPITRE 7.
LES NOMBRES COMPLEXES - ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
Remarque. Les nombres complexes sont employés en Sciences Physiques (notamment dans le
domaine de l'électricité). La lettre i étant réservée à l'intensité, on emploiera la lettre j dans ce
domaine. On notera alors z = a + bj.
7.1.2 Opérations simples dans C
De la même manière qu'on additionne ou soustrait deux nombres réels, on peut additionner
ou soustraire deux nombres complexes, en regroupant parties réelles et imaginaires.
Exemple. Si z1 = 4 − i et z2 = −3 − 5i, alors :
• z1 + z2 = (4 − i) + (−3 − 5i) = 4 − 3 + (−1 − 5)i = 1 − 6i
• z1 − z2 = (4 − i) − (−3 − 5i) = 4 + 3 + (−1 + 5)i = 7 + 4i
Pour la multiplication, on doit utiliser la règle de la double distributivité, et ne pas oublier
que i2 = 1 !
Exemple. Si z1 = 4 − i et z2 = −3 − 5i, alors :
z1 × z2 = (4 − i) × (−3 − 5i)
= 4 × (−3) + 4 × (−5i) − i × (−3) − i × (−5i)
= −12 − 20i + 3i + 5(i)2
= −12 − 20i + 3i − 5
= −17 − 17i
7.2.
3
CONJUGUÉ D'UN NOMBRE COMPLEXE
7.2 Conjugué d'un nombre complexe
7.2.1 Dénition et propriétés
Dénition. Le nombre conjugué d'un nombre complexe
z = a + ib est le nombre complexe
z = a − ib.
Exemple. Le nombre conjugué de z = 14 − 78i est : z = 14 + 78i.
Propriétés.
z = a + ib, z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 sont trois nombres complexes.
1. z = z
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 × z2 = z1 × z2
4.
z1
z2
=
z1
z2
5. z × z = a2 + b2
Démonstration.
1. z = a + ib = a − ib = a + ib
2. z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 + i(b1 + b2 ) = a1 +a2 −i(b1 +b2 ) = a1 −ib1 +a2 −ib2
3. z1 × z2 = (a1 + ib1 ) × (a2 + ib2 ) = a1 a2 − b1 b2 + i(a1 b2 + a2 b1 )
= a1 a2 − b1 b2 − i(a1 b2 + a2 b1 )
z1 × z2 = a1 + ib1 × a2 + ib2 = (a1 − ib1 ) × (a2 − ib2 ) = a1 a2 − b1 b2 − i(a1 b2 + a2 b1 )
Donc z1 × z2 = z1 × z2 .
4.
z1
z2
z1
z2
=
Donc
=
a1 +ib1
a2 +ib2
a1 +ib1
a2 +ib2
z1
z2
=
=
a1 −ib1
a2 −ib2
=
z1
z2 .
(a1 +ib1 )(a2 −ib2 )
a22 +b22
=
=
(a1 −ib1 )(a2 +ib2 )
(a2 −ib2 )(a2 +ib2 )
=
a1 a2 +b1 b2
a22 +b22
+
a2 b1 −a1 b2
i
a22 +b22
a1 a2 +b1 b2
a22 +b22
+
a1 b2 −a2 b1
i
a22 +b22
=
a1 a2 +b1 b2
a22 +b22
−
a2 b1 −a1 b2
i
a22 +b22
5. z × z = (a − ib)(a + ib) = a2 + abi − abi − b(i)2 = a2 + b2
Exemple. Soit z = 3 + 2i. Alors : z × z = (3 + 2i) × (3 − 2i) = 32 + 22 = 9 + 4 = 13, en appliquant
la propriété vue auparavant.
Remarque. Pour tout nombre complexe z , le produit z × z est un nombre réel.
4
CHAPITRE 7.
LES NOMBRES COMPLEXES - ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
7.2.2 Quotient de deux nombres complexes
Pour calculer le quotient de deux nombres complexes z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 , on va
devoir appliquer la notion de conjugué.
Exemple. Soient z1 = 5 − 4i et z2 = −2 − 3i. Alors :
z1
5 − 4i
=
z2
−2 − 3i
(5 − 4i)(−2 + 3i)
=
(−2 − 3i)(−2 + 3i)
−10 + 15i + 8i − 12i2
=
(−2)2 + 32
−10 + 23i + 12
=
4+9
2 + 23i
=
13
2
23
=
+ i
13 13
En fait, lorsque l'on calculera un quotient de deux nombres complexes, on multipliera systématiquement le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (an de ne
plus avoir qu'un nombre réel au dénominateur).
7.3.
5
REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE CARTÉSIENNE
7.3 Représentation géométrique cartésienne
7.3.1 Généralités
On munit le plan d'un repère orthonormé (O; ~u; ~v ).
À tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M de coordonnées (a; b). Ainsi, la
partie réelle a de z correspond à l'abscisse du point, et sa partie imaginaire b à son ordonnée.
Réciproquement, à tout point M (x; y), on associe le nombre complexe z = x + iy .
On dit que M est l'image de z , et que z est l'axe du point M , voire l'axe du vecteur
−−→
OM .
Propriété. La longueur OM , où M est l'image de z = a + ib, vaut : OM
=
√
a2 + b2 =
√
z × z.
Cette longueur est appelée module de z , et on la note |z|.
−−→
C'est aussi la norme du vecteur OM .
Démonstration. Le segment [OM ] correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés a
et b. D'après le théorème de Pythagore appliqué dans ce triangle : OM 2 = a2 + b2 . Ainsi, comme
OM est une longueur (et donc un nombre positif), on a : OM =
√
que a2 + b2 = z × z , on a bien : OM = z × z .
√
a2 + b2 . Et comme on sait
Propriétés. Si z = a + ib est un nombre complexe (avec a ∈ R et b ∈ R),
alors : |z| = |z| = | − z| = | − z|.
6
CHAPITRE 7.
LES NOMBRES COMPLEXES - ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
7.3.2 Axe d'un vecteur quelconque
−−→
Si A (d'axe zA ) et B (d'axe zB ) sont deux points du plan, alors l'axe du vecteur AB
est la suivante : zB − zA soit axe de la pointe moins axe de l'origine . De plus, la norme
−−→
−−→
de AB est : kABk = |zB − zA |.
Exemple. Considérons toujours les points A d'axe zA = 2 + 3i et B d'axe zB = 4 + i.
−−→
−
→ = zB − zA = (4 + i) − (2 + 3i) = 4 + i − 2 − 3i = 2 − 2i.
Le vecteur AB a alors pour axe : z−
AB
−−→
On peut alors calculer sa norme : kABk = |zB − zA | = |2 − 2i| =
p
22 + (−2)2 =
√
√
8 = 2 2.
7.3.3 Opérations sur les vecteurs
On munit toujours le plan d'un repère orthonormé (O; ~u; ~v ).
−−−→
−−→
Si OM (d'axe z ) et OM 0 (d'axe z 0 ) sont deux
vecteurs dans le plan complexe, alors le point P
−−→
−−→
−−−→
du plan tel que OP = OM + OM 0 a pour axe
z + z0.
Exemple. Si A a pour axe zA = 2 + 3i et B a pour axe zB
−−→
−→
= 4 + i, alors le vecteur OA a
pour axe zA et le vecteur OB a pour axe zB .
−→
−−→
−−→
−−→
De plus, si l'on note C le point tel que OA + OB = OC , alors OC a pour axe :
−
→ = zA + zB = (2 + 3i) + (4 + i) = 6 + 4i, qui est aussi l'axe du point C .
z−
OC
7.3.
7
REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE CARTÉSIENNE
De même, si k est un nombre réel, no−−→
tons N le point du plan tel que ON =
−−→
k × OM . Il a alors pour axe k × z .
7.3.4 Axe du milieu d'un segment
Si A (d'axe zA ) et B (d'axe zB ) sont deux points du plan, alors l'axe du milieu I du
segment [AB] est la suivante : zI =
zA + zB
.
2
Exemple. En reprenant une nouvelle fois les points A d'axe zA = 2+3i et B d'axe zB = 4+i,
l'axe du milieu I de [AB] est alors : zI =
zA +zB
2
=
2+3i+4+i
2
=
6+4i
2
= 3 + 2i.
8
CHAPITRE 7.
LES NOMBRES COMPLEXES - ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
7.4 Équations du deuxième degré à coecients réels
Ce théorème est une version adulte du théorème déjà vu en Première.
Théorème. Soient a, b, c trois nombres réels avec a 6= 0. On considère l'équation az 2 +bz+c = 0.
• Si ∆ = b2 − 4 × a × c > 0, l'équation admet deux solutions réelles qui sont : z1 =
et z2 =
√
−b+ ∆
2a
√
−b− ∆
2a
;
• Si ∆ = b2 − 4 × a × c = 0, l'équation admet une unique solutions réelle qui est : z0 =
−b
2a
;
• Si ∆ = b − 4 × a × c < 0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :
2
z1 =
√
−b−i −∆
2a
et z2 =
√
−b+i −∆
2a
.
Démonstration.
"
#
2
∆
b
az 2 + bz + c = 0 ⇐⇒ a z +
− 2 =0
2a
4a
2
∆
b
= 2
⇐⇒ z +
2a
4a
b
• Si ∆ > 0, alors on a : z + 2a
=
√
b
ou z + 2a
=−
∆
2a
√
∆
2a ,
ce qui correspond aux solutions déjà
déterminées en Première.
= 0, d'où : z = −b
.
2a
√ 2
2
2
−∆
b
• Si ∆ < 0, alors on a : z + 2a
= i ×(−∆)
= i 2a
d'où :
4a2
• Si ∆ = 0, alors on a : z +
z+
b
2a
=
√
i −∆
2a
conjuguées.
ou z +
b
2a
b
2a
√
= −i
−∆
2a
: on retrouve bien les deux solutions complexes