Fonctions Usuelles - e

Fonctions Usuelles
Cours de 1ère année CPI

Fonctions Usuelles Mai 2013 (version du 26/05/2013)
Groupe TICE Maths pas à pas Page 2 sur 41
Sommaire
1 Plan général de l'étude d'une fonction ................................................................. 4
2 Les fonctions puissances ..................................................................................... 6
2.1 Introduction et propriétés ............................................................................... 6
2.2 Etude et graphe ............................................................................................. 7
3 Fonctions Logarithmes ....................................................................................... 13
3.1 Définition ..................................................................................................... 13
3.2 Etude de la fonction Ln ................................................................................ 13
3.3 Théorèmes et Propriétés ............................................................................. 15
3.4 Limites et Croissances comparées .............................................................. 16
3.5 Application aux fonctions  ............................................................. 16
3.6 Logarithmes de base a ................................................................................ 17
4 Fonctions Exponentielles ................................................................................... 18
4.1 Définition ..................................................................................................... 18
4.2 Etude de la fonction ..................................................................................... 19
4.3 Propriétés .................................................................................................... 20
4.4 Limites et croissance comparée .................................................................. 21
4.5 Exponentielles de base a ............................................................................ 21
5 Fonctions Usuelles ............................................................................................. 22
5.1 Cercle Trigonométrique ............................................................................... 22
5.1.1 Introduction ........................................................................................... 22
5.1.2 Fonctions cosinus et sinus .................................................................... 23
5.2 Liens entre le cercle et les fonctions sinus et cosinus ................................. 23
5.3 Etude de la fonction cosinus ........................................................................ 24
5.4 Etude de la fonction sinus ........................................................................... 26
5.5 Propriété des fonctions sinus et cosinus ..................................................... 27
5.5.1 Valeurs remarquables ........................................................................... 27
5.5.2 Relations d'identité trigonométrique ...................................................... 28
5.6 Introduction de la fonction tangente............................................................. 31
5.6.1 Généralités ............................................................................................ 31
5.6.2 Etude de la fonction .............................................................................. 31
5.6.3 Propriétés.............................................................................................. 33

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6 La fonction valeur absolue ................................................................................. 36
6.1 Définition ..................................................................................................... 36
6.2 Propriétés .................................................................................................... 36
6.3 Etude de la fonction ..................................................................................... 37
7 La fonction partie entière .................................................................................... 39
7.1 Définition ..................................................................................................... 39
7.2 Propriétés .................................................................................................... 39
7.3 Etude de la fonction ..................................................................................... 40

Fonctions Usuelles Mai 2013 (version du 26/05/2013)
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1 Plan général de l'étude d'une fonction
1-Domaine de définition
On commence par déterminer le domaine de définition  de 
2-Restriction de l'intervalle
  est périodique de période a si et seulement si
On étudie alors la fonction sur un intervalle de longueur a.
  est paire si et seulement si le domaine de définition D est symétrique par
rapport à 0 et si
F est impaire si et seulement si le domaine de définition D est symétrique par
rapport à 0 et si
On étudie alors la fonction pour  (ou.
  est symétrique par rapport à la droite d’équation  si
Pour tout  tel que  et .
On étudie alors la fonction f pour x>a (ou x<a)
 Le point de coordonnées  est centre de symétrie pour la courbe
représentative de  si :
Pour tout  tel que  et .
On étudie alors la fonction f pour x>a (ou x<a)

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3- Limites aux bornes
On étudie les limites éventuelles aux bornes du domaine de définition et on essaie
d’obtenir des prolongements par continuité de f aux points extrémités du domaine de
définition (si les prolongements existent).
4- Variations de 
On calcule de la dérivée et on étudie son signe. On en déduit les variations de f sur
l’intervalle d’étude.
5- Tableau de variation
On regroupe les résultats sur le signe de la dérivée, les variations de f et les limites
dans un tableau de variation.
6- Points particuliers
On peut également faire l’étude locale aux points particuliers :
 Points où la fonction a été prolongée par continuité
 Points où la dérivée s’annule
 Extremums
7-Branches infinies et asymptotes
 Si , on dit que la droite d'équation  est une asymptote
verticale à la courbe.
 Si , on dit que la droite d'équation  est une asymptote
horizontale à la courbe.
8-Représentation de la fonction
On trace la fonction sur l’intervalle d’étude en commençant par les points particuliers.
On prolonge éventuellement le graphe.