Une année de colle en MP

Une ann´ee de colle en M P ∗
J., Nicolas
January 1, 2007
Contents
1 SEMAINE 1 -ALGEBRE GENERALE 2
1.1 EXERCICE 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 EXERCICE 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 EXERCICE 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 EXERCICE 4 : Un th´eor`eme de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 EXERCICE 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 EXERCICE 6 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 SEMAINE 2 : ALG` EBRE LIN´ EAIRE (Programme de MPSI) 11
2.1 EXERCICE 1 : Id´eaux `a droite de L(E)en dimension finie ........... 11
2.2 EXERCICE 2 : Id´eaux `a gauche de L(E)en dimension finie .......... 13
2.3 EXERCICE 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 EXERCICE 4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 EXERCICE 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 EXERCICE 6 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 SEMAINE 3 : R´ EDUCTION DES ENDOMORPHISMES (PREMI` ERE PAR-
TIE) 24
3.1 EXERCICE 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 EXERCICE 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 EXERCICE 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 EXERCICE 4 : D´ecomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 EXERCICE 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 EXERCICE 6 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 R´ EDUCTION DES ENDOMORPHISMES (DEUXI` EME PARTIE) 32
4.1 EXERCICE 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 EXERCICE 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 EXERCICE 3 : .................................... 36
4.4 EXERCICE 4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 EXERCICE 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 SEMAINE 5 : SUITES R´ EELLES - TOPOLOGIE DE IR 41
5.1 EXERCICE 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 EXERCICE 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 EXERCICE 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 EXERCICE 4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 EXERCICE 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.6 EXERCICE 6 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1

6 SEMAINE 6 : TOPOLOGIE DES ESPACES M´ ETRIQUES 50
6.1 EXERCICE 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 EXERCICE 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 EXERCICE 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4 EXERCICE 4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 EXERCICE 5 : Rel`evements et hom´eomorphismes du cercle . . . . . . . . . . . . 57
6.6 EXERCICE 6 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1 SEMAINE 1 -ALGEBRE GENERALE
1.1 EXERCICE 1 :
1. Soit Gun groupe fini, soient xet ydeux ´el´ements de Gqui commutent. On note m=ω(x),
n=ω(y) les ordres respectifs des ´el´ements xet y.
a. On suppose met npremiers entre eux. Montrer que ω(xy) = mn.
b. On ne suppose plus met npremiers entre eux. A-t-on ω(mn) = m∨n?
2. Soit Gun groupe commutatif fini. Montrer qu’il existe un ´el´ement zde Gdont l’ordre est l’exposant
du groupe G(c’est-`a-dire le p.p.c.m. des ordres des ´el´ements de G).
3. Soit Kun corps (commutatif), soit Gun sous-groupe fini du groupe multiplicatif K∗. Montrer que
Gest cyclique.
Sources : nombreuses (c’est archi-classique), parmi lesquelles Michel DEMAZURE, Cours d’Alg`ebre,
´
Editions Cassini, ISBN 2-84225-000-1.
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1.a. Posons z=xy. On a zmn = (xy)mn = (xm)n(yn)m=e, donc ω(z)|mn.
D’autre part, comme m∧n= 1, il existe deux entiers relatifs uet vtels que um +vn = 1
(relation de B´ezout). Alors
zum =xumyum =xumy1−vn = (xm)uy(yn)−v=eye =y
et, de mˆeme, zvn =x. Donc xet yappartiennent au sous-groupe <z> engendr´e par z, mais ce
sous-groupe est cyclique d’ordre ω(z). On en d´eduit que les ordres de xet de ydivisent l’ordre
de z, donc leur p.p.c.m. divise aussi l’ordre de z, soit mn |ω(z).
Finalement, ω(z) = mn.
b. Si m∧n6= 1, on n’a plus ω(xy) = m∨nen g´en´eral. En effet, dans le groupe U3={1, j, j2}, on
aω(j) = ω(j2) = 3, mais ω(j j2) = ω(1) = 1.
2. Soit nl’exposant du groupe G. D´ecomposons nen produit de facteurs premiers : n=
k
Y
i=1
pαi
i.
Alors, pour tout i, il existe dans Gun ´el´ement xid’ordre pαi
i: en effet, il existe au moins un ´el´ement
yide Gtel que la pi-valuation de ω(yi) soit αi, c’est-`a-dire ω(yi) = pαi
imiavec mi∧pi= 1. Alors
2

(ymi
i)pαi
i=e. L’ordre de l’´el´ement ymi
idivise pαi
i, donc est de la forme pβ iavec β≤αi; si on
avait β < αi, alors on aurait (ymi
i)pβ
i=ypβ
imi
i=e, ce qui contredit ω(yi) = pαi
imi. On a donc
bien ω(ymi
i) = pαi
i.
En utilisant la question 1.a., par une r´ecurrence imm´ediate sur k, on d´eduit que l’´el´ement y=
k
Y
i=1
ymi
i
est d’ordre n.
3. Soit Nl’ordre du groupe G, soit nson exposant (cf. ci-dessus), soit zun ´el´ement de Gd’ordre n.
Par le th´eor`eme de Lagrange, on a n|N.
Par ailleurs, le polynˆome P=Xn−1 de K[X] admet au plus nracines dans Ket, tout ´el´ement de
G´etant racine de P, on a N≤n.
En conclusion, n=N, donc Gest cyclique (Gest engendr´e par z).
1.2 EXERCICE 2 :
Soit pun nombre premier, p≥3.
1. Combien y a-t-il de carr´es dans le corps K=Z.
pZ?
2. Montrer qu’un ´el´ement xde Z.
pZ∗est un carr´e si et seulement si x
p−1
2=1.
3. Quels sont les nombres premiers ppour lesquels −1 est un carr´e dans Z.
pZ?
4. En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4k+ 1, k∈IN.
Source : Daniel PERRIN, Cours d’Alg`ebre, ´ Editions Ellipses, ISBN 2-7298-5552-1.
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1. Soit G=Z.
pZ∗le groupe multiplicatif des ´el´ements non nuls du corps K=Z.pZ.
L’application q:x7→ x2est un endomorphisme de ce groupe Get Ker q={−1,1}: en ef-
fet, {−1,1} ⊂ Ker q,−16= 1 car p > 2 et le polynˆome X2−1, `a coefficients dans le corps K,
admet au plus deux racines dans ce corps.
On a donc |Ker q|= 2, d’o`u |Im q|=|G|
|Ker q|=p−1 2. En rajoutant l’´el´ement 0 qui est son propre
carr´e, on d´enombre p+ 1
2carr´es dans Z.
pZ.
2. Si x=y2avec y∈G=Z.
pZ∗, alors x
p−1
2=yp−1=1 car |G|=p−1 (th´eor`eme de Lagrange).
Les carr´es de G(qui sont au nombre de p−1
2d’apr`es la question 1.) sont racines de l’´equation (E) :
3

x
p−1
2−1 = 0 ; mais cette ´equation admet au plus p−1
2racines dans le corps K. L’´equation (E)
admet donc exactement p−1
2racines dans Kqui sont les carr´es de Z.
pZ∗.
3. ´ Etant donn´e que p > 2 (donc −16= 1 dans Z.
pZ), on a les ´equivalences
−1 carr´e ⇐⇒ (−1)
p−1
2=1⇐⇒ (−1)
p−1
2= 1 ⇐⇒ p−1
2pair ⇐⇒ p≡1 modulo 4 .
4. Soit n∈IN∗, montrons qu’il existe des nombres premiers congrus `a 1 modulo 4 qui sont plus grands
que n.
Pour cela, posons A= (n!)2+ 1.
Tout diviseur premier pde Av´erifie p > n (les nombres premiers ptels que p≤ndivisent
(n!)2=A−1). Soit pun tel diviseur (il en existe au moins un) ; on a (n!)2≡ −1 modulo
p, donc −1 est un carr´e dans Z.
pZ, donc p≡1 modulo 4. CQFD
1.3 EXERCICE 3 :
1. Soit Aun anneau principal, soit Kson corps des fractions. Pour tout polynˆome Pnon nul de
A[X], on note c(P) -contenu de P- le pgcd des coefficients du polynˆome P(c’est un ´el´ement
de Ad´efini “`a association pr`es”, c’est-`a-dire `a multiplication pr`es par un ´el´ement inversible de
l’anneau A). Le polynˆome Pde A[X] est dit primitif si c(P) = 1 (ses coefficients sont premiers
entre eux dans leur ensemble).
a. Montrer que le produit de deux polynˆomes primitifs de A[X] est primitif. Que vaut c(P Q) si P
et Qsont deux polynˆomes non nuls de A[X] ?
b. Soient Pet Qdeux polynˆomes de A[X], premiers entre eux dans A[X] (leurs seuls diviseurs
communs sont les ´el´ements inversibles de l’anneau A[X], c’est-`a-dire...?). Montrer qu’ils sont
premiers entre eux dans l’anneau K[X].
2. Soient Pet Qdeux polynˆomes de C[X, Y ] = C[X][Y], premiers entre eux dans C[X, Y ].
a. D´emontrer l’existence d’un polynˆome D non nul de C[X] et de deux polynˆomes Aet Bde C[X, Y ]
tels que
D(X) = A(X, Y )P(X, Y ) + B(X, Y )Q(X, Y ).
b. Montrer que le syst`eme (S) :(P(x, y) = 0
Q(x, y) = 0 a un nombre fini de solutions dans C2.
Sources :
•Daniel PERRIN, Cours d’Alg`ebre, ´ Editions Ellipses, ISBN 2-7298-5552-1 ;
•FRANCINOU et GIANELLA, Exercices de Math´ematiques pour l’Agr´egation, Alg`ebre 1, ´ Editions
Masson, ISBN 2-225-84366-X.
•ENS Lyon/Cachan, ´epreuve du concours MP*, session 2000.
4

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1.a. Posons P=
m
X
i=0
aiXiet Q=
n
X
j=0
bjXj, supposons-les tous les deux primitifs. Si le produit
P Q n’´etait pas primitif, il existerait un ´el´ement irr´eductible (ou “premier”) pde l’anneau A
divisant tous les coefficients de P Q, `a savoir tous les ck=X
i+j=k
aibj. Comme pne divise pas tous
les coefficients de A, soit i0le plus petit indice ipour lequel pne divise pas ai, soit de mˆeme
j0= min{j∈[[1, n]] ; bj6∈ pA}. On a alors
ci0+j0=X
i+j=i0+j0
aibj=ai0bj0+X
i<i0
aibi0+j0−i+X
j<j0
ai0+j0−jbj.
L’´el´ement irr´eductible pdivise les deux derni`eres sommes et divise ci0+j0, il divise donc aussi le
produit ai0bj0, donc il divise l’un des facteurs, ce qui est absurde.
On a utilis´e ici le lemme d’Euclide, valable dans tout anneau principal (ou, plus g´en´eralement,
factoriel) : si pest irr´eductible et p|ab, alors p|aou p|b.
Il est clair que, si a∈Aet P∈A[X], alors c(aP ) = a c(P).
Si Pet Qsont deux polynˆomes quelconques, on peut ´ecrire P=c(P)·P0et Q=c(Q)·Q0, o`u
P0et Q0sont primitifs ; alors P0Q0est primitif et
c(P Q) = cc(P)c(Q)·P0Q0=c(P)c(Q)c(P0Q0) = c(P)c(Q).
b. Soient Pet Qdeux polynˆomes de A[X], premiers entre eux dans A[X] (leurs seuls diviseurs
communs dans A[X] sont les ´el´ements inversibles de l’anneau A). Il s’agit de montrer qu’ils sont
premiers entre eux dans K[X], c’est-`a-dire que leurs seuls diviseurs communs dans K[X] sont les
constantes (´el´ements de K). ´ Ecrivons P=c(P)·P0et Q=c(Q)·Q0avec P0et Q0primitifs. Soit
Dun diviseur commun `a Pet Qdans K[X] : il existe Ret Sdans K[X] tels que (P=DR
Q=DS (*).
On peut ´ecrire D=d1
d2
D0avec d1∈A,d2∈Apremiers entre eux, et D0∈A[X] primitif : pour
cela, on r´eduit au mˆeme d´enominateur les coefficients de D, ce qui donne D=∆
bavec ∆ ∈A[X]
et b∈A\ {0}, puis D=c(∆)
bD0avec D0primitif, et on simplifie ´eventuellement la fraction
c(∆)
b:
Par exemple, avec A=Zet K= Q, on a 6
7+3 8X+15 4X2=3 56(16+ 7X+70X2)et le polynˆome
entre parenth`eses est primitif dans Z[X].
De mˆeme, R=r1
r2
R0et S=s1
s2
S0avec R0et S0dans A[X], primitifs. Le systˆeme (*) se r´e´ecrit
alors sous la forme d’´egalit´es dans A[X] :
5