Centrale-Mines

MP1&2 2016 - 2017 DS n°6bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme
DEVOIR SURVEILLÉ n°6bis (Centrale - Mines)
Samedi 21 janvier 2017 - Durée : 4 heures
1 Résolution de problème - Dangerosité du WiFi
Quelle la puissance maximale que peut atteindre une antenne WiFi afin qu’elle vérifie les
normes en vigueur ?
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2 Réflexion d’une OPPH sur une plaque métallique
On considère une plaque métallique conductrice, de grandes dimensions
considérées comme infinies suivant Ox et Oz, de conductivité γ, de perméa-
bilité µ0et de permittivité ϵ0, occupant tout le demi-espace y < 0, comme le
montre la figure ci-contre.
On envoie une OPPH (onde plane progressive harmonique) incidente, de po-
larisation rectiligne, notée (−→ Ei,−→ Bi) sur cette plaque métallique, le vecteur
d’onde de l’onde incidente étant −→ ki=−k ⃗uy(k > 0).
Le champ électrique associé à l’onde incidente a pour expression :
−→
Ei=E0cos(ωt +ky)⃗ux
Le trièdre trirectangle Oxyz est direct, l’axe Oy est orienté vers la gauche.
On rappelle qu’en présence de charges et de courants surfaciques au niveau d’une interface
quelconque entre deux milieux, les champs électrique et magnétique sont discontinus. Sachant
que −→ n12 est un vecteur unitaire normal à l’interface dirigé du milieu 1 vers le milieu 2, ces
discontinuités sont données par :
−→
E2−−→ E1=σ
ϵ0−→
n12
−→
B2−−→ B1=µ0−→ js∧−→ n12
Données numériques :ϵ0= 8,85.10−12 F.m−1;µ0= 4π.10−7H.m−1;c= 3,00.108m.s−1.
2.1 Réflexion sur un plan conducteur parfait
Dans toute cette partie, la conductivité γest supposée infinie ; le métal est alors considéré
comme un conducteur parfait.
1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide, en l’absence de charges et en l’absence
de courants.
2. Établir l’équation de propagation du champ électrique dans le vide. Comment s’appelle ce
type d’équation ? Quelle relation existe entre la vitesse de propagation cet les constantes
ϵ0et µ0?
3. Traduire le fait que le champ satisfait à cette équation aux dérivées partielles : quelle
relation lie ω,ket c?
4. Quelle est l’expression du champ magnétique incident −→ Bi? Préciser son amplitude B0.
Quelle équation de propagation vérifie le champ −→ Bi?
On cherche une onde réfléchie sous la forme d’une OPPH, de polarisation rectiligne, notée
(−→ Er,−→ Br) et de vecteur d’onde −→ kr.
En surface du métal (y= 0) règnent une densité surfacique de charges σet un courant
surfacique −→ js, uniformes et non permanents.
5. Quelles sont les unités de σet de js? Que valent les champs électrique et magnétique
dans le métal ? Quelles sont les deux relations de passage en y= 0 ? Quelle composante
du champ électrique est toujours continue à la traversée d’une surface ?
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6. Pourquoi les ondes incidentes et réfléchies ont-elles la même fréquence ? Quelle relation
lie ici −→ krà−→ ki? Détailler le raisonnement.
7. Établir l’expression du champ −→ Eren tout point du plan y= 0+, puis en déduire celles
de −→ Eret −→ Bren tout point du demi-espace y > 0.
8. Que vaut le champ électromagnétique total (−→ Etot,−→ Btot) résultant de la superposition de
l’onde incidente et de l’onde réfléchie ? Quelle est sa particularité ?
9. Quelle propriété particulière possède le plan y= 0 vis-à-vis du champ électromagnétique
total ? En déduire les expressions de σet −→ js.
Donner une interprétation qualitative des résultats obtenus.
10. Quelle est l’énergie volumique associée à l’onde incidente ? Même question pour l’onde
réfléchie. Comparer les résultats.
11. Quelle puissance instantanée Piapportée par l’onde incidente traverse une surface S
orthogonale à la direction de propagation ? Même question pour l’onde réfléchie (PR).
Comparer ces résultats à ceux obtenus à la question 10. Commenter.
12. Comparer les moyennes temporelles de Piet de PR; commenter physiquement.
2.2 Réflexion de l’onde avec prise en compte de la conductivité du métal
En réalité le métal de la plaque de la figure précédente a une conductivité qui n’est pas
infinie, ce qui permet au champ électromagnétique de pénétrer dans le métal ; il sera noté (−→ Et,
−→
Bt).
Les résultats suivants seront admis :
en posant δ=√2
µ0γω , il vient, lorsque kδ ≪1avec k=ω c
−→
Et=√2kδ E0ey/δ cos (ωt +y
δ+π 4)⃗uxet −→
Bt=2E0
cey/δ cos (ωt +y δ)⃗uz
Le courant surfacique est alors nul ; dans le métal règnent une densité de courant −→ jet une
densité de charge ρ= 0.
Donnée numérique : γ= 107S.m−1.
1. Quelle est la dimension de δ? Que représente cette grandeur ? Application numérique :
représenter la courbe log(δ)en fonction de log(ω)pour 1 rad/s < ω<106rad/s.
2. Rappeler l’expression - en fonction de −→ jet de −→ E- de la puissance volumique cédée par
le champ électromagnétique à la matière et, en appliquant la loi d’Ohm locale dans le
métal, évaluer sa moyenne temporelle .
En déduire la puissance moyenne totale < PJ>dissipée dans la portion de cylindre d’axe
Oy, de section Set délimitée par les plans y= 0 et y=−L, avec L >> δ.
3. Déterminer la puissance moyenne < Pt>rayonnée par l’onde transmise à la travers
la section droite d’abscisse y= 0−; comparer au dernier résultat de la question 2. ;
commenter en détails.
Que remarquerait-on si, la pulsation étant fixée, on faisait tendre la conductivité vers
l’infini ? Commenter.
4. Écrire la relation de passage en y= 0 pour le champ électrique, et en déduire, pour tout
y > 0, le champ −→ Erde l’onde électromagnétique réfléchie, puis le champ −→ Br.
5. Quelle est la puissance moyenne < PR>rayonnée par l’onde réfléchie à travers une
surface Sorthogonale à la direction de propagation ?
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6. En limitant l’analyse aux termes de degré inférieur ou égal à 1 en kδ (ne pas oublier
que kδ ≪1), quelle relation simple obtient-on entre les puissances moyennes rayonnées
< Pi>(voir question B.1.12), < PR>(voir question B.2.5), et < Pt>(voir question
B.2.3). Commenter.
3 Propagation guidée
On raisonne dans un référentiel galiléen Rauquel est at-
taché un repère cartésien (O, x, y, z)direct. On considère
un guide d’onde rectangulaire constitué d’un matériau mé-
tallique dans lequel on a réalisé une cavité dont les parois
forment un cylindre creux de section rectangulaire d’équa-
tions mathématiques x= 0,x=a,y= 0,y=b.
Dans tout le problème, on considère que le métal est parfait.
3.1 Onde guidée
Un émetteur disposé dans la cavité (vide de charge et de courant) génère une onde électro-
magnétique dont le champ électromagnétique est choisi sous la forme
−→
E(x, y, z, t) = E0f(x, y, z) cos(ωt −kz)−→ uy
où f(x, y, z)est une fonction à valeurs réelles sans dimension physique, E0est une constante
homogène à un champ électrique et enfin ωet kdeux constantes réelles positives.
1. Quelles sont les unités des constantes introduites E0,ket ω?
2. Montrer que cette écriture du champ électrique introduit un terme de propagation. Pré-
cisez la vitesse correspondante, la direction et le sens de propagation.
3. Peut-on dire que cette onde est :
– polarisée ?
– plane ?
Justifier vos réponses.
4. Utilisant une équation de Maxwell, montrer que la fonction f(x, y, z)ne peut en aucun
cas dépendre de y.
On admet pour la suite que, du fait de l’absence de pertes au cours de la propagation, f
n’est fonction que de la variable x, notée f(x).
5. Utilisant les équations de Maxwell, établir l’équation de propagation du champ électrique
et en déduire une équation du 2ème ordre à laquelle satisfait f(x). On posera c=1
√E0µ0
,
E0permittivité diélectrique du vide et µ0perméabilité magnétique du vide.
6. Préciser les conditions aux limites que doit vérifier le champ électrique et en déduire les
conditions vérifiées par f(x).
7. Résoudre l’équation de la question 5 à l’aide de ces conditions et montrer que :
– les conditions aux limites imposent une relation entre les constantes ket ω. Donner
cette relation et préciser son nom.
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– le champ électrique peut être choisi sous la forme :
−→
E(x, t) = E0sin (πx
a)cos(ωt −kz)−→
uy
Comment se nomme un tel champ (préciser le nom du mode) ?
Dans la suite de cette partie, on utilisera le champ donné à la question 7.
8. Déterminer le champ magnétique −→ B(x, y, z, t)associé.
9. Exprimer le vecteur de Poynting dans la section droite du guide z=constante et en
déduire la puissance moyenne P(z)traversant ce guide (de section ab). Vérifier alors la
conservation de la puissance transportée par l’onde électromagnétique ?
10. Exprimer les différents courants surfaciques −→ jS(x= 0),−→ jS(x=a),−→ jS(y= 0),−→ jS(y=b)
circulant sur les quatre parois du guide.
3.2 Réflexion
Le guide est fermé en z=Lpar une plaque qui réfléchit partiellement l’onde incidente avec
un coefficient de réflexion complexe
r=(Er
Ei)z=L
=|r|ejφ =rejφ
avec ret φles module et argument de r,Ei=E0sin (πx
a)ej(ωt−kz)grandeur complexe
de l’onde incidente (Ei= Partie réelle de Ei) et Ergrandeur complexe du champ électrique
attaché à l’onde réfléchie.
1. Écrire la forme de la grandeur complexe Er(x, z, t)de l’onde réfléchie en z < L.
2. Écrire l’expression du coefficient de réflexion en z=Let en déduire que :
Er=E0sin (πx
a)|r|ej(φ−2kL+ωt+kz)
3. En déduire la grandeur complexe Et(x, z, t)associée au champ électrique global régnant
dans le guide d’onde en amont de la la plaque soit z < L.
4. Lorsque qu’on promène un détecteur le long du guide (déplacement à xet yfixés), on
constate que l’amplitude du champ électrique passe par des maxima Emax et des minima
Emin. On mesure ainsi un « taux d’onde stationnaire » défini par T OS = 20 log (Emax
Emin ).
Montrer que T OS = 20 log 1 + r
|1−r|.
5. On constate également que les positions des minima (de champ électrique) sont régu-
lièrement espacées de det que le minimum le plus proche de l’obstacle (en z=L) est
positionné en zmin =L−∆zavec 0<∆z < d. Relier φà∆z. On prendra φ∈[−π, π].
6. Application numérique T OS = 5 ; d= 3 cm , ∆z= 1 cm : calculer ret φ.
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