Centrale-Mines

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MP1&2 2016 - 2017
DS n°6bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme
DEVOIR SURVEILLÉ n°6bis (Centrale - Mines)
Samedi 21 janvier 2017 - Durée : 4 heures
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Résolution de problème - Dangerosité du WiFi
Quelle la puissance maximale que peut atteindre une antenne WiFi afin qu’elle vérifie les
normes en vigueur ?
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DS n°6bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme
Réflexion d’une OPPH sur une plaque métallique
On considère une plaque métallique conductrice, de grandes dimensions
considérées comme infinies suivant Ox et Oz, de conductivité γ, de perméabilité µ0 et de permittivité ϵ0 , occupant tout le demi-espace y < 0, comme le
montre la figure ci-contre.
On envoie une OPPH (onde plane progressive harmonique) incidente, de po→
− −
→
larisation rectiligne, notée ( E i , B i ) sur cette plaque métallique, le vecteur
−
→
d’onde de l’onde incidente étant ki = −k ⃗uy (k > 0).
Le champ électrique associé à l’onde incidente a pour expression :
−
→
E i = E0 cos(ωt + ky) ⃗ux
Le trièdre trirectangle Oxyz est direct, l’axe Oy est orienté vers la gauche.
On rappelle qu’en présence de charges et de courants surfaciques au niveau d’une interface
quelconque entre deux milieux, les champs électrique et magnétique sont discontinus. Sachant
→
que −
n 12 est un vecteur unitaire normal à l’interface dirigé du milieu 1 vers le milieu 2, ces
discontinuités sont données par :
σ→
−
→
−
→
E2 − E1 = −
n 12
ϵ0
→
−
−
→
−
→
→
B 2 − B 1 = µ0 j s ∧ −
n 12
Données numériques : ϵ0 = 8, 85.10−12 F.m−1 ; µ0 = 4π.10−7 H.m−1 ; c = 3, 00.108 m.s−1 .
2.1
Réflexion sur un plan conducteur parfait
Dans toute cette partie, la conductivité γ est supposée infinie ; le métal est alors considéré
comme un conducteur parfait.
1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide, en l’absence de charges et en l’absence
de courants.
2. Établir l’équation de propagation du champ électrique dans le vide. Comment s’appelle ce
type d’équation ? Quelle relation existe entre la vitesse de propagation c et les constantes
ϵ0 et µ0 ?
3. Traduire le fait que le champ satisfait à cette équation aux dérivées partielles : quelle
relation lie ω, k et c ?
−
→
4. Quelle est l’expression du champ magnétique incident B i ? Préciser son amplitude B0 .
−
→
Quelle équation de propagation vérifie le champ B i ?
On cherche une onde réfléchie sous la forme d’une OPPH, de polarisation rectiligne, notée
→
−
→
− →
−
( E r , B r ) et de vecteur d’onde kr .
En surface du métal (y = 0) règnent une densité surfacique de charges σ et un courant
−
→
surfacique js , uniformes et non permanents.
5. Quelles sont les unités de σ et de js ? Que valent les champs électrique et magnétique
dans le métal ? Quelles sont les deux relations de passage en y = 0 ? Quelle composante
du champ électrique est toujours continue à la traversée d’une surface ?
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6. Pourquoi les ondes incidentes et réfléchies ont-elles la même fréquence ? Quelle relation
−
→ −
→
lie ici kr à ki ? Détailler le raisonnement.
−
→
7. Établir l’expression du champ E r en tout point du plan y = 0+ , puis en déduire celles
−
→
→
−
de E r et B r en tout point du demi-espace y > 0.
−
→
−
→
8. Que vaut le champ électromagnétique total ( E tot , B tot ) résultant de la superposition de
l’onde incidente et de l’onde réfléchie ? Quelle est sa particularité ?
9. Quelle propriété particulière possède le plan y = 0 vis-à-vis du champ électromagnétique
−
→
total ? En déduire les expressions de σ et js .
Donner une interprétation qualitative des résultats obtenus.
10. Quelle est l’énergie volumique associée à l’onde incidente ? Même question pour l’onde
réfléchie. Comparer les résultats.
11. Quelle puissance instantanée Pi apportée par l’onde incidente traverse une surface S
orthogonale à la direction de propagation ? Même question pour l’onde réfléchie (PR ).
Comparer ces résultats à ceux obtenus à la question 10. Commenter.
12. Comparer les moyennes temporelles de Pi et de PR ; commenter physiquement.
2.2
Réflexion de l’onde avec prise en compte de la conductivité du métal
En réalité le métal de la plaque de la figure précédente a une conductivité qui n’est pas
−
→
infinie, ce qui permet au champ électromagnétique de pénétrer dans le métal ; il sera noté ( E t ,
−
→
B t ).
Les résultats suivants
√ seront admis :
2
ω
, il vient, lorsque kδ ≪ 1 avec k =
en posant δ =
µ0 γω
c
(
√
y π
−
→
E t = 2 kδ E0 ey/δ cos ωt + +
δ 4
)
(
⃗ux
et
2E0 y/δ
y
→
−
Bt =
e
cos ωt +
c
δ
)
⃗uz
−
→
Le courant surfacique est alors nul ; dans le métal règnent une densité de courant j et une
densité de charge ρ = 0.
Donnée numérique : γ = 107 S.m−1 .
1. Quelle est la dimension de δ ? Que représente cette grandeur ? Application numérique :
représenter la courbe log(δ) en fonction de log(ω) pour 1 rad/s < ω < 106 rad/s.
−
→
→
−
2. Rappeler l’expression - en fonction de j et de E - de la puissance volumique cédée par
le champ électromagnétique à la matière et, en appliquant la loi d’Ohm locale dans le
métal, évaluer sa moyenne temporelle .
En déduire la puissance moyenne totale < PJ > dissipée dans la portion de cylindre d’axe
Oy, de section S et délimitée par les plans y = 0 et y = −L, avec L >> δ.
3. Déterminer la puissance moyenne < Pt > rayonnée par l’onde transmise à la travers
la section droite d’abscisse y = 0− ; comparer au dernier résultat de la question 2. ;
commenter en détails.
Que remarquerait-on si, la pulsation étant fixée, on faisait tendre la conductivité vers
l’infini ? Commenter.
4. Écrire la relation de passage en y = 0 pour le champ électrique, et en déduire, pour tout
−
→
→
−
y > 0, le champ E r de l’onde électromagnétique réfléchie, puis le champ B r .
5. Quelle est la puissance moyenne < PR > rayonnée par l’onde réfléchie à travers une
surface S orthogonale à la direction de propagation ?
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6. En limitant l’analyse aux termes de degré inférieur ou égal à 1 en kδ (ne pas oublier
que kδ ≪ 1), quelle relation simple obtient-on entre les puissances moyennes rayonnées
< Pi > (voir question B.1.12), < PR > (voir question B.2.5), et < Pt > (voir question
B.2.3). Commenter.
3
Propagation guidée
On raisonne dans un référentiel galiléen R auquel est attaché un repère cartésien (O, x, y, z) direct. On considère
un guide d’onde rectangulaire constitué d’un matériau métallique dans lequel on a réalisé une cavité dont les parois
forment un cylindre creux de section rectangulaire d’équations mathématiques x = 0, x = a, y = 0, y = b.
Dans tout le problème, on considère que le métal est parfait.
3.1
Onde guidée
Un émetteur disposé dans la cavité (vide de charge et de courant) génère une onde électromagnétique dont le champ électromagnétique est choisi sous la forme
−
→
→
E (x, y, z, t) = E0 f (x, y, z) cos(ωt − kz) −
uy
où f (x, y, z) est une fonction à valeurs réelles sans dimension physique, E0 est une constante
homogène à un champ électrique et enfin ω et k deux constantes réelles positives.
1. Quelles sont les unités des constantes introduites E0 , k et ω ?
2. Montrer que cette écriture du champ électrique introduit un terme de propagation. Précisez la vitesse correspondante, la direction et le sens de propagation.
3. Peut-on dire que cette onde est :
– polarisée ?
– plane ?
Justifier vos réponses.
4. Utilisant une équation de Maxwell, montrer que la fonction f (x, y, z) ne peut en aucun
cas dépendre de y.
On admet pour la suite que, du fait de l’absence de pertes au cours de la propagation, f
n’est fonction que de la variable x, notée f (x).
5. Utilisant les équations de Maxwell, établir l’équation de propagation du champ électrique
1
et en déduire une équation du 2ème ordre à laquelle satisfait f (x). On posera c = √
,
E0 µ 0
E0 permittivité diélectrique du vide et µ0 perméabilité magnétique du vide.
6. Préciser les conditions aux limites que doit vérifier le champ électrique et en déduire les
conditions vérifiées par f (x).
7. Résoudre l’équation de la question 5 à l’aide de ces conditions et montrer que :
– les conditions aux limites imposent une relation entre les constantes k et ω. Donner
cette relation et préciser son nom.
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DS n°6bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme
– le champ électrique peut être choisi sous la forme :
−
→
E (x, t) = E0 sin
(
πx
a
)
→
cos(ωt − kz) −
uy
Comment se nomme un tel champ (préciser le nom du mode) ?
Dans la suite de cette partie, on utilisera le champ donné à la question 7.
→
−
8. Déterminer le champ magnétique B (x, y, z, t) associé.
9. Exprimer le vecteur de Poynting dans la section droite du guide z = constante et en
déduire la puissance moyenne P(z) traversant ce guide (de section ab). Vérifier alors la
conservation de la puissance transportée par l’onde électromagnétique ?
−
→
→
−
−
→
→
−
10. Exprimer les différents courants surfaciques jS (x = 0), jS (x = a), jS (y = 0), jS (y = b)
circulant sur les quatre parois du guide.
3.2
Réflexion
Le guide est fermé en z = L par une plaque qui réfléchit partiellement l’onde incidente avec
un coefficient de réflexion complexe
(
r=
Er
Ei
)
= |r| ejφ = r ejφ
z=L
(
)
πx
avec r et φ les module et argument de r, Ei = E0 sin
ej(ωt−kz) grandeur complexe
a
de l’onde incidente (Ei = Partie réelle de Ei ) et Er grandeur complexe du champ électrique
attaché à l’onde réfléchie.
1. Écrire la forme de la grandeur complexe Er (x, z, t) de l’onde réfléchie en z < L.
2. Écrire l’expression du coefficient de réflexion en z = L et en déduire que :
(
Er = E0 sin
)
πx
|r| ej(φ−2kL+ωt+kz)
a
3. En déduire la grandeur complexe Et (x, z, t) associée au champ électrique global régnant
dans le guide d’onde en amont de la la plaque soit z < L.
4. Lorsque qu’on promène un détecteur le long du guide (déplacement à x et y fixés), on
constate que l’amplitude du champ électrique passe par des maxima Emax et des
( minima
)
Emax
Emin . On mesure ainsi un « taux d’onde stationnaire » défini par T OS = 20 log
.
Emin
1+r
Montrer que T OS = 20 log
.
|1 − r|
5. On constate également que les positions des minima (de champ électrique) sont régulièrement espacées de d et que le minimum le plus proche de l’obstacle (en z = L) est
positionné en zmin = L − ∆z avec 0 < ∆z < d. Relier φ à ∆z. On prendra φ ∈ [−π, π].
6. Application numérique T OS = 5 ; d = 3 cm , ∆z = 1 cm : calculer r et φ.
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