Logique du premier ordre avec quantificateur cardinalisé

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
DANIEL L ACOMBE
Logique du premier ordre avec quantificateur cardinalisé
Séminaire N. Bourbaki, 1966-1968, exp. no 328, p. 237-260
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Séminaire BOURBAKI
19e
année, 1966/67, n° 32i
Juin
1967
CARDINALISÉ
LOGIQUE DU PREMIER ORDRE AVEC QUANTIFICATEUR
par Daniel LACOMBE
00 Introduction
qui se passe"
lorsqu’on introduit dans le calcul des prédicats ( du premier ordre ) un symbole signifiant "il existe au moins
éléments tels que..." 0 On est
a
en
conduit
particulier à discuter suivant les valeurs de l’ordinal ao
Soit a
Ce
a
un
cardinal. infini donné, On peut
problème, posé
demander "ce
par MOSTOWSKI et résolu par. lui dans le
été étudié par de nombreux auteurs
VAUGHT,
se
0,
(CRAIG, FUHRKEN, KEISLER, SCOTT, SILVER,
~l~
cas
a *
1963 (avec une
bibliographie) ; les articles ~2,~ et [’3J apportent quelques résultats supplémentaires. Le lemme fondamental, utilisé (avec ou sans généralisation) dans
On trouvera dans
tous ces
travaux, est tiré
de
l’état de la
question
en
a
principaux résultats
classiques concernant le calcul des prédicats ordinaires (avec uniquement le
quantificateur "il existe’s ~ d’où aussi le quantificateur "quel que soit" -,
mais sans aucun quantificateur cardinalisé).
titre de
Dans
le §
comparaison4
3
nous
nombre de résultats
Le $ 4
y sont
à
est
nous
rappelons
donnons les définitions
nécessaires,
généraux (dont quelques-uns
consacré à 1‘étude des
cas
assez délicates et les résultats
a a
assez
les
le §1
dans
non
0
avec un
certain
triviaux).
et
a
=
surprenantso
la Les démonstrations
En
effet, contrairement
1 est (à plusieurs
qu’un esprit non prévenu pourrait supposer, le cas a "
points de vue ) beaucoup plus simple que le cas a D 0. Par contre, la preuve
de la simplicité du cas a ~ 1 est beaucoup moins simple que la preuve de la
ce
237
non-
D. LACOMBE
simplicité
du
cas
0. D’autre
=
a
part,
on
démontre que
deux
ces
cas
extrémités opposées de la famille des
quelque
possibles (munie d’une certaine relation d’inclusion).
trouvent
sorte
en
[0.3} Bien entendu,
aux
se
cas
exposé (qui consiste à étudier "sémantiquement"
une certaine classe de systèmes formels) se déroule dans la théorie des
ensembles usuelle’ (formalisée ou non), avec axiome de choixo Quelques définitions et propositions ensemblistes utiles seront données dans le § 20
1-
Rappels
1.1- Soit
lP
cet
sur
le calcul
des prédicats du premier
ensemble fini
dénombrable,
ordre
et soit
Ar
avec
égalité
application
(ensemble des entiers ~ 0). Les éléments de d’ seront
appelés symboles de prédicats (ou "prédicats formels"~ ou encore "constantes
de prédicats"). Pour chaque P c P, Ar(P)
est
l’arité ( ou "nombre
de P
de
places"
la fonction
Q
où fP
cas
est infini
(dénombrable). nous
numérotation Num (bi j ection de
Ar
o
,premier
ordre
avec
supposerons de
sur P)
1N
plus
telle que
soit récursive.
Num
On sait définir l’ensemble
du
une
P)o
de
est muni d’une
P
ou
(N
dans
Dans le
que
un
~ ~ (~’’ Ar)
égalité construites
[ou,
sur
abrégé,
en
(~~ Ar)
~c’est
des
un
formules
certain
sous-
ensemble de l’ensemble de toutes les suites finies à valeurs dans
(Pde u ~ ~ ~ ~ , ~ de~ ~ , 1% ~ ,
où
( supposé
dénombrable )
sont des symboles appelés
"symboles
variables",t et
respectivement "égalité". "négation", "conjonction" et "quantificateur
t
existentiel"
V
est
également définir le sous-ensemble
closes (ou "sans variables libres" ).
formules
~
et
~~
récursive de Q~
1p
ensemble
infini)o
récursif
o
ou
inf ini
"formels"] .
On sait
est
un
sont
près
f de ?
constitué p ar les
dénombrableso On définit canoniquement (à une permutation
(dépendant de Num lorsque
) une certaine numérotation
de ~
Relativement à cette numérotation
récursivement énumérable
etc...
on
peut parler
de sous-ensemble
DU PREMIER ORDRE
LOGIQUE
REMARQUE - Beaucoup d’entre
au cas où le cardinal de P
Soit
.
E
guments" ) sur
(on peut - si
un
ensemble
E
est une
quelconque.
~~~ ~
et
Un
nombres
ou aux
peut évidemment
0
de
CP
dans
Nous
est
Soit d’autre part
F)
longueur
de
F
(E,o).
dans
~J
conjonction
sa
appelé
des
une
cas
(p)E,
(1)
et que
et
.
o
une
(E,o).
de
(v.,...,v )
qui
application
chaque _P.e P.
pour
qui possèdent
p =
0,
dans
chaque P
une
P
c
formule close
(E,a)
F
~
de
d.es
est
base.
sa
énumération
une
occurences
(par
appelé
complète
libres dans
récurrence
sur
F.
la
la réalisation de
ou
F
EN ,
désigne l’ensemble
traduit par le
est
une
prédicats
vérifiée
par
a(P).
(E,a)
"vrai".
est
une
"condition
du
premier ordre"
que les seules
telle condition sont des variables décri-
figurent
des variables
etc...).
des
dite
premier ordre" signifie
dans
exclut les conditions où
ou EE ,
est
est la constante
(E,o).
(quantifiées) figurant
~3(X)
et soit
La locution "du
(ce qui
par
"traduits" respectivement par l’égalité, la négation, la
quantificateur existentiel "ordinaires" (respectivement représentés
sur
E
non-vide,
structure, On sait définir
La traduction d’un élément
vant
03B2(p)E
(1~,
désigné
sera
à
a(P) e
base (ou l’"univers")
éléments de V
(E,a )
et,3)
réalisation
portant
variables
ensemble
~’ ~ ,
ar-
Bien entendu, cette définition est telle que les symboles
et le
=, non,
Dans le
si
un
certain élément de
un
sont
par
est
la
élément de
un
répétition
sans
E
E
appellerons cardinal d’une structure le cardinal de
F
généralisent
1~.
telle que
E
Soit
et
où
t
L’ensemble
place.
nous ne nous
ou, pour abréger, structure]
Ar)-structure
(E,e )9
couple
faute de
et
prédicats p-aires sur
canoniquement identifier
et
1.3 Nous appellerons
tout
se
les éléments "faux" et "vrai"
L’ensemble de tous les
On
exposé
prédicat p-aire (ou "relation à p
Ep dans l’ensemble {faux, vrai}
application de
assimiler respectivement
veut -
on
est
dans cet
*
ensembles 0
aux
indiqués
quelconque, Mais,
cette question.
occuperons pas de
J1.2.J-
les résultats
parties
de X
o
décrivant
D. LACOMBE
exemplep si
Par
désigne
R
J§ E~
élément de
un
chacune des conditions
suivantes est du premier ordre : " R est une relation d’équivalence", " R est
Q’
une relation d’ordre",
R est un ordre total dense" (c’est-à-dire tel que la
contienne
moins ~ éléments, et qu?entre deux éléments distincts
Mais la
quelconques de E il en existe toujours un troisième)p etcooo
condition " R est un bon-ordre" nWest pas du premier ordre (et on démontre
qu°elle n°est équivalente à aucune condition du premier ordre)o
base
E
au
o
si
même g
De
ordre
(et
désigne
"cardinal
tel que la condition
premier
P
dispose
de deux
écrirons
REMARQUE
espèces
"~x
"
égalité,
ne
et
de
"
pour
"
cardinal de
chaque
est clairement
pour " 3x
E
E
",
k
aucun
a
soit exprimable dans le
de variables décrivant
E
Et il n’existe
et
a
P~~
finip
dans
respectivement
indiquée
" dac °’
" ). Par
un système où
a
dans le
"
pour
entier
E
est manifestement
EE.
et
contexte,
Vx
finis l’expression "il existe au moins
définissable dans le premier ordre
nécessite par conséquent aucun symbole spécialo
B» Pour
tels que...
"
exprimable,
REMARQUE A- Lorsque la base
nous
sous-ensemble de
de même pour la condition
contre cette condition est
on
un
E
e
k
"
o
éléments
avec
REMARQUE C- Nous n’avons pas introduit dans notre langage formel de symboles
fonctionnels (ou "constantes de fonctions")o En effet£ on peut toujours rempla-
chaque symbole fonctionnel à p places par un symbole de prédicat à p+1
placesg avec une convention formelle de remplacement qui est évidente lorsqu°on
interprète le prédicat comme le graphe de la fonctiono
cer
1.5-
Une formule close
(élément
de ’fi’)
est dite
valide
si elle est vérifiée
par toutes les structureso
Le ensemble de toutes les formules valides
DL étant
un
modèle
de
~L
un
sous-ensemble
(fini
ou
sera
désigné
infini) de ?B
si elle vérifie tous les éléments de
par
une
structure est
appelée
DU PREMIER ORDRE
LOGIQUE
Ol
(ou "non-contradictoire")> s’il
est dit consistant
admet
moins
au
un
modèle.
faut et il suffit que
valide, il
soit
F
Pour que
( b F}
soit non-
consistant.
1.6-
Les
principaux résultats classiques
~
(
)
THEOREME 1.I - Si
(
)
THEOREME 1. Il - Si
(
)
admet
sont les suivants :
modèle,
un
il admet
un
modèle fini
ou
dénombrable.
et
admet
un
modèle
infini,
il admet
modèle de
un
n’importe quel cardinal infini’
et possède
COROLLAIRE. Si
non-isomorphes
un
infini,
possède
il
des modèles
entre eux.
’ THEOREME 1.111 - Pour
que ~
)
ensemble fini de
le
(
THEOREME 1,IV -
(
PROPOSITION 1,A ooo Si
Ar
ne
.
)
PROPOSITION 1,B - Si
Ar
prend
pas
modèle
6L
tr
est
soit
consistant,
il suffit que tout
sous-
soit,
récursivement énumérable.
au
moins
une
fois
?i
2,
prend que des valeurs
une
est
récursif.
valeur ~ 2, if
n’est
récursif.
signifie que, sauf dans des cas triviaux (cf.
Remarque ci-dessous)t une théorie du premier ordre n’est jamais "catégorique".
Nous verrons que la situation peut changer lorsqu’on introduit un quantificateur
Le Corollaire du Th,
cardinalisé.
Comme
façons)
un
conséquence
système
d’
on peut déterminer (de multiples
théorème 1.IV,
"axiomes" et de "règles" tel que tT soit identique à
du
l’ensemble des formules obtenables à partir des axiomes par
règles. C’ est
ce
qu’ on appelle
sition à la définition
une
’’sémantique"
definition
"syntaxique"
utilisée ici).
application
de
1 (par
des
oppo-
D. LACOMBE
consistants qui ne possèdent
REMARQUE. Il existe évidemment des ensembles
aucun modèle fini, par exemple l’ensemble constitué par l’unique formule
qui formalise la condition " R est une relation d’ordre dense ". Il existe
aussi des
et
l’ensemble
constitué
consistants qui
l’unique
par
~y(x
traduction est :
Du Th. 1.III
ne
que des modèles
possèdent
formule
y)] .
=
déduit aisément que, si
on
fini arbitrairement grand, alors
admet
par
[dont
v12v
2
1
finis,
exemple
la
admet des modèles de cardinal
modèle infini.
un
2. Considérations ensemblistes
2.1- Le cardinal d’un
ensemble
E
désigné
sera
par
Card(E)o
l’expression "il existe au moins $~ ..." sera notée par le
signe 3 . Autrement dit, si x représente une variable décrivant un ensemble
donné E, l’expression " 3 x(A) " signifie : Card ( ( x j(
Convenons que
~A) ~ ) ~
Nous utiliserons le
pour moins de
ka
naa
(A).
ax
Pour
"pour
a
tous sauf
2.2 Soit
a
sur
E
R
3
0,
=
un
(dans
un
(II)
pour tout
R
(III)
linear
Card
une
infinité" t
da
et
signifie
ordering)
R
est
un
ordre de genre
si :
E ;
sur
E, l’ensemble
des
prédécesseurs
de
x
relativement
c’est-à-dire
est de cardinal
~x
signifiant "pour tous, sauf
équivaut par définition à :
Nous dirons que
ordre total
x s
Va
fini".
nombre
un
dual
signifie "il existe
[1) : 03B1-like
R
à
a
élément de
(I)
est
quantificateur
". Autrement dit,
s
non
R(y, x)
;
(E) ~~ .
voit aisément que de
La base d’un ordre de genre
.
(I)
a
et
(II)
on
déduit :
Card
( E ) ~ ~’.,r a
est donc exactement de cardinal
~.,~ a
’
a
DU PREMIER ORDRE
LOGIQUE
Parmi les ordre de genre
premier ordinal ayant
Il y
de
type
si
nous
(III)
isomorphe
dans le
soit
a
a
R
(élément
E
par n o (E.R)
cas
REMARQUE - Soit
et
=
un
0,
de
ordre de genre 0 est
à l’ordre naturel
conjonction
ordinal tel que
ordre de genre
un
a
03B1
des conditions
sur
soit
et
(P)
Card
dit,
on a
Q
au
nécessairement
sur
Autrement
dit,
(I), (II)
et
(E,R) :
régulier (cf. 2.5 ci-dessous,
E. Pour
un
sous-ensemble
P
équivaut
au
fait d’être de cardinal
P
(0)
la
un
isomorphes
sont pas les seuls.
ce ne
voit que, pour tout
on
d’être non-borné. Autrement
!~3~ Soit
0 :
a .
pour
w
désignons
les bons-ordres
a
pour cardinal. Mais
exception
a
il y
a,
de
fait
alors :
Considérons la condition (0) suivante :
~~
et
Q
induit
P
sur
relation d’ordre
une
total dense.
Cette condition n’est
chaque
si
on
a
>
0,
Card E
veut,
Soit
2.2,
et
un
(E,P,Q) qui
0. Par
a -
pour
la satisfasse
contre,
(avec
pour
en
,
R
la
conjonction
où R~ E’ désigne
e~~E ,
.~~E. Désignons
défini
S
[où 03A9
de
la restriction de
à
R
est
E’]
et de la
par
comme
condition
suivante :
On voit
aisément que
satisfaite que si
pour
un
certain
plus,
a~ ) .
E’
QI (E.E’.R.S)
en
jamais satisfaite
peut trouver
on
Card
cette
E ~
(E,E’ ,R,S )
2
condition 03A91
°,
tel que
et
peut
en
Card E "
(E,E’,R,S)
ne
peut être
fait être satisfaite
2 L~
°
.
D. LACOMBE
On définirait de
même
être satisfaite que si
de
l’égalité.
Card
2 A 5- Le cardinal
est dit
.~ a
peut
~3 /?B E,
e
(Vi
I ) (Card
e
Et
peut
être satisfaite dans le
cas
E. 03B1)
régulier quel
est
que soit l’ordinal
S .
considérons la condition (1) suivante :i
(l)
~03B1
il faut et il suffit que
x
Q
(xsY)
~03B1 y jx
ou
(1) soit satisfaite quels que soient E
soit régulier (ce n’est rien de plus
Pour que cette condition
~-~ a
et
Q,
que
définition ).
2.6- Soit
R
un
application ~
ordre tot al
de
dans
E
Eo Pour
sur
un
E, considérons
(a)
~
est constante
sur
M
(a’)
~
est constante
sur
M
à
sous-ensemble
les
partir
(b)
par AR(M.)
Désignons
[(a’)
la condition
Pour
condition
E
dans
ou
Vt
sur
la condition
E
et
une
dOun cert ain rang, c’est-à-dire :
M9 c’est-à-dire :
[(a)
ou
(b)J .
(b)j
,
et par
,
application 03C8
une
de
.
augmente indéfiniment
03C6
M
conditions suivantes :
v
de
ne
pour toute famille
régulier si,
et
régulier.
est
la
et
,
S) qui
E, S,
la condition
Card I
Pour Q
2
E
E°, R,
Etc...
o
d’ensembles,
condition n2(E,
une
de
où "’t
E
dans
E, désignons par
désigne Inapplication
x ~
R M.’
la
;(t,x)
E.
On démontre
sans
difficulté
construction par récurrence)
s
(pour
la
Proposition
2oA.O
on
utilise
une
LOGIQUE DU PREMIER
PROPOSITION 2.A.1- Si
régulier et si R est de genre a, alors,
sous-ensemble L non-borné (c’est-à-dire de cardinal
03B1)
toute application f de E dans E, il existe un sous-ensemble
pour tout
de
E
et
non-borné
M
de
alors,
est
~ a
satisfaisant à
L
PROPOSITION 2oA.O- Si
R
isomorphe à
est
pour tout sous-ensemble
application ~
et toute
borné
M
De
ORDRE
de
satisfaisant à
L
Propositions
ces
E2
de
dans
(cas
IN
sur
il existe
E,
un
sous-ensemble
a -
0),
E
non-
AR
déduit
on
l’ordre naturel
non-borné (c’est-à-dire infini) de
L
respectivement
et
aisément,
au
moyen d’une
construction par récurrenceo
PROPOSITION 2oBol- Soient
’
un
a
errsemble dénombrable
M
dénombrable
bornés de
E
E
et
par 03C8
un
dans la
2oA.I. Soit
Proposition
de E dans E. Il existe
un
ensemble
non-
qu’on ait
tel
Soient ~
Il existe
comme
d’applications
.) (3M E.~’~)
2.BoO- Comme la
plaçant 03A6
R
totalement ordonné par inclusion de sous-ensembles
(d ~
PROPOSITION
et
~?
et
AR
~~)
AR
Proposition 2.B,l.,
par
comme
dans la
ultra-filtre incluant
en
faisant
a =
et
0,
en rem-
.
Proposition
~
et
2.B.1
resp. :
incluant l’ensemble
2.B,0
.
des
complémentaires
parties bornéeso Si "presque partout? signifie "sur un
ensemble appartenant à cet ultra-filtre", on voit que, pour toute fonction
de
respectivement :
E, : bien ~ est
~
E ~
t
E
t
ou
constante, ~
propriété qui
§~
est presque
sera
pour toute
fonction ~ ,
,
presque partout
avec ~
constante ;
partout supérieure
ou
e
bien,
V
et
pour
chaque
à cette constante. C’est cette
utilisée dans la démonstration des Lemmes fondamentaux du
A
REMARQUE - Dans le
~t
est
cas
dénombrable.
2.B.1. Mais
ce ne
futures, il
y
aura
comme "~t ~ E"
On
de la
Proposition 2oBoO, l’ensemble de
pourrait donc se contenter d’utiliser
serait pas suffisanto
toutes les
la
Proposition
démonstrations
effet, pour
beaucoup de différence entres d’une part une quantification
qui sera "formalisable" dans la théorie (du premier ordre)
En
nos
D. LACOMBE
et d’autre
considérée,
"
part
quantification
une
d~
"
comme
e ~ "
ou
Y "
qui ne sera pas formalisable dans ladite théorie (et restera
par conséquent du domaine de la "méta-théorie"). En particulier, une propriété exprimable avec seulement des quantificateurs (ordinaires) sur E
peut rester vraie, non seulement pour les structures (E, o, R) où (E, R)
est isomorphe à
(d, w ), mais aussi pour toutes les (E, o, R) qui satisfont
à certains axiomes du premier ordre : ce sera le cas de la Proposition 2.B.O.
L et © donnés, et M donné (ou tout au moins explicitement défini
avec
à partir des données).
3. Définitions essentielles - Résultats
h.lt-
Soient
(P, Ar,
Ajoutons à
En
logiques"
procédant
l’ensemble
cateur
CL
B/~
sur
des formules du
et
B~/
comme
!3.2t-
Soit
En
(E,a)
a-vérifier
sur V ).
égalité
et
avec
règle
définit
quantifi-
définit dans
Nous
comme
désignerons
dans
par
J
(en
l’ensemble
canoniquement muni d’une certaine numérotation
Q’ est infini ), Relativement à cette numérotation,
et
un
a
de
,
ordinal donné.
((P, Ar)-structure,
de cardinal
~ a
B~ par 3 a
le
particulier (dans
de
avec
on
on définit sans aucune difficulté
symbole
dans
a-réalisation d’un élément de
(E~.c~), et en
"traduisant"
la notion de
une
ordre
d’une
adjonction
avec
(P, Ar ) .
"liants"),
sous-ensemble récursif
Soit maintenant
9,
V
~ est dedénombrable,
(dépendant Num lorsque
un
se
ranger dans
, V ),
premier
sur
(à
C~ ~
des formules closes de
J’est
V
symbole
(semblable à celle portant
La notion de variable libre
V
un nouveau
avec ~, , ,-,
supplémentaire construites
considérant
au §1.
pour la définition de
comme
portant
comme
langage formel
notre
les "constantes
de formation
~~ , ~’
généraux.
un
le
cas
élément
des formules
de
.
closes)
Q propriété
la
pour
(E, o)
LOGIQUE
Procédant
suivantes
comme
en
lo5$
(où
G
et
(~
G
est
e
(E. cr)
BD
est
a-consistant
est
On
évidemment,t quel
expressions
intervenir
!~ ;
a
V03B1 l’ensemble
par
des éléments
que soit
de savoir comment
Les
V03B1
fait
correspondant
aux
même ensemble
dénombrable ~ .
dépend
V- a
CL .
de
a
(au moins à
différents
Le
problème
a
fondamen-
o
imposée
de se trouver trivialisé
risque
pas
quantificateur 1 a
(de même que, dans le calcul des prédicats ordinaire, on impose la conditon
E ~ ~ pour ne pas trivialiser le quantificateur 3 ))o On peut, si on veut,
introduire la notion suivante : G est a-super-valide si, lorsqu’on traduit
B/~ par -) a, la condition qui correspond à G est satisfaite dans toute
(E, c) avec E ~ 0. Mais cette notion se ramène à celles de validité et de
a-validité :i G est a-super-valide si et seulement si G est a-valide et
G’ valide, en désignant par G’ l’élément de ~ (formule sans quantificateur
cardinalisé) obtenue en remplaçant (de proche en proche) dans G chaque
sous-formule de la forme V v X par une formule indentiquement fausse de ?
exemple
v,t qui se traduit pars 3x(x
REMARQUE. Dans
ces
définitions,
a-valides de
o
la définition de
a.0
sont des sous-ensembles du
est
des
~.C~ ) :
Contrairement à celle
tal
sens
i
a-modèle de
un
désignerons
première vue)
définissons le
a-valide ;
Nous
a
nous
DU PREMIER ORDRE
pour que le
par
)3.3~ Nous
la condition
Card
E>
est
ne
déjà vu que le quantificateur ’3 a ne peut pas se "définir"
opérations logiques du premier ordre (opérations booléennes et
quantificateur 3 )
avons
à l’aide des
o
Inversement, le quantificateur ordinaire 3 ne peut pas se définir à
Autrement dit, l’introduction du
partir des opérations booléennes et
symbole V ne permet pas de supprimer le symbole ~%o C’est une conséquence
(à peu près immédiate) du résultats (facile ) suivants
D. LACOMBE
~
PROPOSITION 3. A- Soit
V .
Soient
(E,a)
ques pour chaque
P
G
élément
où
de
$§
deux structures
un
et
a-vérifiée par
est
(oua
de
plus
"il existe
exactement
si et seulement
=
o
par
quantificateur "il existe strictement
au même, le quantificateur
peut pas se définir à partir de
,
a
que le
")
~
ne
"!
.
.
élément de
qu’il existe une condition r(E,P) formalisée par
telle qu’on ait,
(où V est interprété
de cardinal ~
et quel que soit P C E ;1
03B1
effet
en
(2E
que soit
Card P
D’après
> ,~.,=.a -~
ci-dessous, puisque
le Th. 3.1
satisfaite par
par
Q’ (P) ^
si elle l’est
impose Q~(P)
on
telles
et .
o
Supposons
quel
E
o(P)
entre
revient manifestement
-
.f-t.a
0~
symbole
opérations booléennes
et des
un
qui
ce
Il
pas le
de même base
symétrique
Ar(P)
(EQo)
3e ~ Remarquons d’autre part
figure
ne
la différence
~8
e
~a F lorsque
soit de cardinal
Alors
G
(EpP)
un
avec
Card
avec
~a~ivement
~ démonstration
énumérable
La
Card E
E’ = 03B1
du Th.
~ 03B1, elle
est
est aussi
satisfaite
DU où contradiction.
o
s°étend pas :
ne
quel que soit
s
la condition
ni est pas récur-
ac
contre, la démonstration de la Propo 1.A ("élimination des quantificateurs" dans le calcul des prédicats unaires) s’étend aans difficultés
Par
si
Ar
sers,
ne
prend que
dé sonnai s
De
quel lorsque
supposé
le fait
même0
que F
9
plus 9 si
on
1,
est
un
on
généralisation
récursifo Ce
cas
g
dehors du
cas
pas récursif
alors
V03B1
en
n’est pas
trivial
non
entraîne
trivial
plus récursif.
o
considère la méthode classique qui permet de "réduire"
à
une
prédicat
prédicats (d’arites quelconques)
peut rappliquer à n’importe quelle
calcul des prédicats~ et en particulier au cas des quan-
constate que cette méthode
du
est
sous-ensemble récursif de
infinité dénombrable de
d’arité 2,
ru-a
excluo
if n’est
qu’on vient
De
des
tificateurs cardinaliséso
un
seul
LOGIQUE DU PREMIER
Pour
raisons,
ces
nous
supposerons
contient tous les symboles de
3.6-).
Soit G 0
(0) énoncée
en
~PROPOSITION
Soit
en
l’élément
de
évidemment :
3.Bol.-
pectivement à :
a
s
Gl
au
de la
condition
(l) énoncée
la condition
est
régulier°
moins trois
0,t
=
a
différents,1 correspondant
régulier non-nul, a non-régulier.
l’hypothèse
du continu
de prouver
en mesure
différents,J correspondant
aux cas
res-
généralisée
n’existe que
qu’il
(sur
suivants
le dernier
[3] ) :
1°
a = 0 ;
2°
a
3°
a
limite et
~
a
limite et
Sans
négation
°
qui formalise
V03B1 ~ 03B1
semble actuellement
quatre
cas, cf.e
pourrons avoir besoin.
nous
~2014~ a = 0
Si l’on s’autorise à employer
(H CG) ,
dont
ce
i
a
Va
Il existe donc
on
dans
t
a
PROPOSITION
2.3. On
qui suit, que P
toujours,
formalise la
de qui
évidemment :
3.B.C.-
G1
205. On
l’élément
prédicats
ORDRE
(c’est-à-dire de la forme S + 1) ;
~a régulier (donc inaccessible, avec HCG) ;
~..,~a non-réguliero
successeur
H C G,
0
la situation semble nettement
plus compliquée (il n’est
même pas évident qu’on puisse trouver, pour le cardinal de l’ensemble
des différents
2
, un meilleur majorant que le trivial
~° ) .
De toute
façon (même
sans
H C G)
s
n’est pas monotone
pondance
les
a,t et à l’inclusion sur les
a ~
Prop. 3, B~ 1 montre que la corres{relativement à l’ordre ordinal sur
la
~T ) .
Dans
nous nous
Il semble d’ailleurs que les
les mêmes dans tous les cas,
&
bornerons à étudier les
cas
a
m
0
et
a
méthodes utilisées soient essentiellement
m
1.
D. LACOMBE
Le Théorème
1.I, c’est-à-dire
Löwenheim-Skolem-Tarski,
quel que soit
de
cardinal
B
Si
~a
"partie descendante"
reste valable mutatis
a en
effet,
possède
un
a-modèle
o
qu°une formule close (élément
il suffit qu’elle soit a-vérifiée par
soit a-valide, il
detoute
~. ) structure
de cardinal
COROLLAIRE- Pour
faut et
théorème de
a :t
a-consistant, alors 13
est
du
mutandiso On
quel que soit l’ordinal
et
(THÉORÈME 3.I-
la
°
a
PREUVE- On
opère
Pour éliminer le
"de Skolem")o
Ep+
= 03B1
,
dans
E
Soit EO
et
démonstration classique du Tho lsI,
on introduit des fonctions
(dites
dans la
quantificateur 3 ,
on
telle
le
comme
gros
Pour 3
o
Card U
1
en
i
,
on
prend
associe à tout
(p+1)E
P
qu’on ait, B/xx1,...,xp
,...,xp
plus petit
sous-ensemble de
stable vis-à-vis de toutes les
successivement pour
f. l
sous-ensemble fixe
un
P
03C6i
et
la réalisation
03C8j
de
e
une
qu’une
E
tel que
application 03C8
de
E
E
:
E
qui inclut
U
ainsi introduites
chaque
formule
et
qui
est
(en prenant
)o On
g*
formule de
de Q qui est a-vérifiéeo
est aussi a-vérifiée par (E’ ,o’ ) 9 en désignant par ai
et
à Ei (structure induite)o Mais puisque les
o
dénombrab1e on a manifestement Card EO = ~a
voit aisément
de
U
par
(E.a)
la restriction de
sont
en
infinité
o
3.8 Par
contre, le Th, 1.II
(partie "montante"
du
théorème de Lôvenheim-Skolem-
Tarski ) ne se généralise pass Si un sous-ensemble B de g
sistant, il ne possède pas nécessairement pour autant un modèle
pour tout y = > a .
On démontre toutefois :
est
a-con-
de cardinal
LOGIQUE
PROPOSITION 3~C~ Pour
>
>
où Mod
chaque
(a,
Mod
,03B3) signifie :
DU PREMIER ORDRE
a, il existe
S
un
~’Y) ~ ~
"il existe
tel que :t
S)
Mod
de B
a-modèle
un
~Y)
(a~ ~D
ayant pour cardinal
03B3" .
h(a) le plus petit d’entre ces 03B2 (h est la
"fonction de HANF"),t on a en général h(a) > a .On prouve en particulier,
grâce à l’ast uce (due à ROBINSON) indiquée en 2a~ ~1
si
Mais,
PROPOSITION
désigne
on
par
h(0) ~w
3.D-
Nous dirons que l’ordinal
c’est-à-dire s i
on
est
a
com actifiant
si le Tho loIII
s’étend,
aô
,
La démonstration du Th, 1.III
procéder
comme
conditions
"prénexes"
/.~
reste pas valable,
prédicats ordinaires,
Certes,p
et
se
on
peut
ramener
a
1
J
J
N/ a
quantificateurs, Mais la présence des quantificateurs
recourir à l’argument classique de compacité,
sans
-
empêche
de
On doit donc examiner
L’étape essentielle,
permettant d’ "éliminer"
problèmes
Soit
1P’
~’
séparément
le
a
o
consiste à trouver
quantificateur 3
a
afin de
se
ramener
R
uR;
un
Et
pour
>
symbole de prédicat n’appartenant pas à P, Posons
20 Soit
posant Ar’ (R)
formules closes du premier ordre ordinaire (sans quanti-
ficateur additionnel) construites
sur
a
procédé
à des
).
C5~
et
a
un
prédicats ordinaires, Nous utiliserons
(cf. 2,2 ci-dessusJ sur une autre méthode,
en
.~’r
chaque
dans l’étude des
Ar
=
le cas de
concernant le calcul des
cela les ordres de genre
C1]
à des
de la forme
d X~l e..
...
avec
pour le Calcul des
ne.
prolongeons
l’ensemble des
Ar’
~
en
(~’, Ar’ ).
=
D. LACOMBE
(P’, Ar’)-structure peut être assimilée
(E,o) est une ((P, Ar)-structure, et
Une
où
(E,a,R)
Une structure
a
(2)E
si
a
chaque élément
G
de
R
G+
associons l’élément
(3
2.2. On voit immédiatement que cette correspondance
Posons,
résultat
chaque
pour
Du Th. 3.1
immédiatement,
tire
on
un
4 Etude des
cas
e
"beaucoup
JO
=
a
0
et
u~2,
en
(et contrairement à
ce
E
Q
quelconque,’
de n0
G
G
de
~’
B~/
en
grâce au
(IV) de
formule
est
c
obtenu
récursive.
.
où
~ CI est régulier, le
général à condition de compliquer
cas
cas
a-modèle,
un
il faut et il suffit que
o
1,
30,
2, S ~ autrement dit au fait qu’on peut,
qui se passe pour le calcul des prédicats
1.11),
définir à
un
isomorphisme près
l’ordre
on
A
e
(3)E,
’
construit de
M
E
’
X
façon évidente
e
°
une
condition analogue
telle que :
n~ (E,A,M)
en
ordre de genre
lN.
A partir
n~
un
c’est-à-dire la possibilité d’exprimer
est due essentiellement à l’existence
,
indiquée
sur
Soit
a
a =
de
ordinaire : cf, Cor. du Th.
naturel
possède
de choses" à l’aide de
condition
avec
que B
modèle de genre
complication
La
de la
est
(cf. 5.5 ci-dessous) :
3.E- Pour
possède
dans le
reste valable dans le
suivant, qui
~+
(PROPOSITION
~ - ~G+ ;’
’
peu la définition
4~1~.
~
a
éliminant dans G (de proche en proche ) le quantificateur
procédé qui est représenté (sous forme sémantique) par la
un
(E,Q,R),
~
triplet
un
E.
sur
A
dite de genre
sera
à
désignant
usuelles
A
sur
~==-~
par
+
( E, A, M)
et
x
un
correspond à
graphes
i somorphe à
(N,
+,
x)]
de l’addition et de la
multiplication
~10
chaque condition
pondant à
les
e st
élément
un
F
premier ordre (ordinaire) tF ( E, A, M, X) corresde
, associons la condition suivante, qui
du
certain élément
GF de ~
s
LOGIQUE
DU PREMIER ORDRE
n~ ( E, A, M ) _~
Di re que
est 0-val i de
GF
équivaut à di re
ques
+, x, X),
Or l’ensemble des
"
définition)
qui possèdent
F
03A011-complet
cette
propriété
est
(quasiment
par
"
(c’est-à-dire que, non seulement il n’est pas
récursivement énumérable, mais qu’on ne peut l’exprimer qu’avec au moins
quantification universelle portant sur une variable décrivant
D’où (relativement à la numérotation canonique de
) :
une
~.
Vo
est
03A011-complet.
ni
C’est d’ailleurs exactement à l’échelon
que
se
situe
~ 0 dans
la
classification de KLEENE :
PROPOSITION 4.AEn
effet,
â),
ordinaires
[ par
G
,
du Tho 30 I il résulte que toute formule G de
0-modèle,
conséquent de
un
ni
possède
en
le
un
de base
Or,
quantificateur 30
(IV)
la formule
de
sur
o
On
en
qui possède
(et par
quantificateurs
~
muni de + et
ramène à des
se
20 2 ~
~1
x
déduit que la 0-validité de
équivaut à :
(Vo
où ~
est
une
(QV,
de base
condition du
~t.3- Considérons
Q~ +~
premier
les éléments de
premier) qui formalisent
représente un élément de
sauf le
P
!No
x)
dépendant très simplement
ordre
de
G.
(en fait, ils appartiennent tous
respectivement les conditions suivantes, où
û,
~5(E) :
non
30x
P(x) ,
Card P >
Cet ensemble de formules
sous-ensembles finis
THEOREME
en
0
ne
possède
n’est pas
1,...,§
possède
uno
Card P > n,...°
aucun
D’où :t
compactifianto
0-modèle,
mais chacun de
ses
D. LACOMBE
même, en utilisant encore S~0 ou
hyperarithmétique non arithmétique de Q~
équivalentes (l’une de type
, l’autre
De
i~~ ,
et
n
en
en
prenant
un
sous-ensemble
considérant les deux formules
L)
qui définissent ce sousensemble, on montre que ~"0 ne satisfait pas au "lemme d’interpolation" (même
dans le cas très particulier où les deux formules extrêmes
sont équivalentes).
4.4- Contrairement à
ce
résultats suivants pour
THEOREME
~+.I.1-
THEOREME
4oII.2-
~1 est
1 est
défini
en
~a7
Du Th.
par
~+.I.1
le Th.
4~5-
marqué
se
correspondance
règles
et
G f-~
d’axiomes ;
de 0 et de 1
3010),
peut être défini
système
est
indiqué
dans
~2a .
vis-à-vis des autres ordinaux est
o
Va
tel que
03B1
soit
régulier,
.
( i 0,1) est une conséquence immédiate de la Propo 3.E
la Prop.
suivante, où (~ désigne un sous-ensemble quelconque
9~’ (cf. 3.10) :
Le Th.
4.III.i
=
PROPOSITION ~+.8.0- Si
genre
en
comme
tel
un
C1
définie
par les résultats suivants :
THEOREME 4.III.1de
G+
tout
que
THEOREME 4 o TII. 0=
et de
les
compactifiant .
comportement opposé
Le
on a
déduisent immédiatement de la Propo ~+.E ci-dessous
utilise en plus la récursivité de l’ensemble
et de la
de
0 ,
récursivement énumérableo
~+.I.1 il résulte
système
un
on
=
a
1 :
Ces deux théorèmes
(pour
type
de voir pour
nous venons
que
de
a
pour tout ordinal
(PROPOSITION
alors ~X.
~
4oB.1- Si
admet
un
~--~a
admet
a
est
un
modèle de genre 0, il admet
un
modèle de
o
régulier
modèle de genre lo
et si
et
admet
un
modèle de genre
a,
LOGIQUE
Tout
ramène donc maintenant à démontrer les Prop. 4.B.O et
se
énoncer et démontrer la
Partant de
a =
ce
du
0
1)
ou
DU PREMIER ORDRE
une
et à
Prop. 4.E.
3.10)s
~’’ (cf.
(de façon différente suivant que
prédicats supplémentaires,
introduit
on
infinité dénombrable de symboles de
Soit ,~‘.’
et
(i = Ogl) 1°ensemble des formules
qui donne
premier ordre (sans quantificateur supplémentaire) construites sur Pi
On définit
Et
démontre9
on
PROPOSITION
G.
certain sous-ensemble récursif
un
pour tout
de
A ~ F’ :
v
~ possède
h. C.0- Si
0
un
modèle de genre O. alors
est
consistante
0
PROPOSITION
a~
4.C.l- Si
alors
~’ 1
est
est
un
modèle de genre
a
0
est
consistantp
possède
alors
un
modèle
0 .
a >
a
~ possède
et si
consistant.
PROPOSITION 4.D.O- Si
de genre pour tout
~PROPOSITION 4.D.l- Si
( de genre 1.
régulier
~’11
est
consistant:,
alors
6~ possède
modèle
un
(1
La
Prop. 4.B.i
est
une
conséquence immédiate
des
4.D.l
on
Propo 4oCoi
et
4.D.io
D’autre part:, de s Propo
6C 9
(cf.
PROPOSITION 4.E.
’63
pour tout
t~o7des Ci
Pour achever les
aussi
est
et
3.E, 4.C.1
immédiatement,
ci-dessous) :
~=y ~ +~’
1-consistant
démonstrations
p
et la preuve des
tire
il
Prop, 4.C.1
reste
et
Ci
est
consistanto
à fournir la définition exacte
Nous
ne
pourrons
en
donner
qu’un schéma,
La méthode repose
sur
la formalisation des résultats
fonctions ~ ou © de o6 sont toutes
superposition à partir des fonctions de
celles
Skolem
qui
(relatives
indiqués
en
20Les
peuvent s°obtenir par
aux
formules de
J~’
0
D. LACOMBE
Les
prédicats supplémentaires (introduits pour
> correspondent aux éléments de v~(, Les formules de
symboles
de
o
A R (P~, ~ )
formalisent les conditions
La preuve des
Prop, 4,C.i
resp. tIR
aisée.
est
essentiel est constitué par le Lemme
i
obtenir ~~
et
C [resp. C~ ~
.
Pour la
le
Prop.
point
suivant :
(E’,a’,R’) deux structures telles que R (resp. R’)
soit un ordre total sur
(resp. E’ ), Nous dirons que (E’ ,Q’ ,R’ )
est un allongement équipotent de
(E,Q9R) si on a :
(E,a,R)
Soient
et
E
E C E’
E ~ E’
;
(a,~R)
est la restriction de
tout élément de E’-E
élément de
est
est
(o’,R’)
est
~~
uG0
Ci
modèle de
encore un
La preuve de
possède
un
E’
considéré
ou
tilt
modulo
en
2.6)
l’égalité
allongement équipotent qui
possède
un
une
technique
comme
d’
"ultra-puissance
(avec Q’ et. R’) comme le
partout (relativement à l’ultra-filtre
est obtenu
presque
constitué par toutes les fonctions
indiqué ci-dessus.
de l’ensemble
introduites
allongement équipotent
(/ - .
Lemmes s’obtient par
restreinte ", L’ensemble
quotient,
à tout
u
modèle de
ces
E ;
supérieur (relativement à R’)
LEMME 1- Tout modèle dénombrable de
qui
à
;
E,
LEMME 0- Tout modèle de
encore un
Card E = Card E’
;
.))
i, en partant d’un modèle
dénombrable (qui existe toujours d’après le Th, 1,I) et en répétant
transfiniment l’opération d’allongement équipotento
La
Prop. 4.D.i
se
50 Remarques finales (â
5.1- Pour P
tire aisément du Lemme
lire
(dénombrable)
de
et
préférence
Ar
de
N2
n
Card
début )v
quelconques (cf.
général aucune bijection Num de tN
Pour qu’il existe une telle Num. il
{(n,p) j1
au
sur
P
1.1),
telle que
il n’existe
en
AroNum soit récursive.
faut et il suffit que le sous-ensemble
(Ar-1 ~ p ~ ) }
soit récursivement énumérable.
DU PREMIER ORDRE
LOGIQUE
Dire
et
du
(avec
donné) n’est pas "définissable" à partir de ~
des opérations booléennes’ cela signifie qu’il n’existe aucune condition
premier ordre 0 (E,P) telle qu’on ait,
que ~03B1
(E’P) ~
o
Par
contre,
a
P(x) .
~03B1x
pour certains
il peut
une
telle
ED ~
parfois exister
qu’on ait,
condition du
00
C’est le
naturel
cas
par
munis d’une structure
E~
3a"
~-=.~
exemple pour
sur
QV ;; la condition
plus
des
a
=
0,
premier
o.. particulière,
4~ (E.., 00’ P)
P( x ~ .
BO = N, 00 =
est alors
Op
ordre
la structure d’ordre
donnée par la formule
(IV)
de 2.2.
En
quantificateurs ordinaires
des
quantificateurs cardi-
nalisésp e.t des suites finies de tels quantificateurs g on peut définir
des "quantificateurs généralisés" d’espèces très variées
(cfo C6]~ )o
Un
exemple
qui signifiera
"
et
un
quels
amusant
que soient
Autrement
est fourni par
l’abréviation
par définition ~i
dépendant
v
(cf. [.7] )
dit,
x
et yQ il existe
seulement de
un
u
y,t tels que ...
si les variables
x, y, u,
v
dépendant
~~) ~
seulement de
" .
décrivent
Eg l’expression
xu
R
(x,y.u.v) équivaut
par définition à :
a
L
Cette
expressions
qui
sont
expression doit
donc être
soigneusement distinguée d’autres
telles que
respectivement équivalentes à
x,
D. LACOMBE
E ~E2) ) dx Vy
~ ~ ~,V~
s
~~~E
E~)
R
E (E2 )
Vy
R
’°° °‘°
°‘°l’°’°
ne peut pas se définir
Malgré son apparence anodine, ce signe
.â partir des quantificateurs ordinaires (par contre, les quantificateurs
ordinaires se définissent aisément à partir de
en utilisant
des conditions où ne figure qu’une des quatre variables x,y,u,v). En effet,
opérations booléennes.
~o peut se définir à partir de
Pour le voir, il suffit de remarquer que la condition
°’°,®°° et des
~
,
,
équivaut à l’existence
strict de
P, c’est-à-dire à
réciproque
La
d’une
application injective
~0
x
de
P
dans
un
sous-ensemble
.
n’est pas vraie : le
signe
peut pas
et des opérations booléennes. En effet,
être défini à partir de
ne
du fait que la condition
équi vaut
à
3 ~ Vx Vy
R
[x,y,~(x), t(y)~
,
manipulations classiques (permettant de ramener à
cas
intervient de façon "arithmétique"), que,
dans
peut remplacer un quantificateur fonc+, x ), le signe
tionnel
que ne permet pas
+, k ), ~0 est
30 puisque, dans
le
dans
exprimable
premier
à quelques
la forme ci-dessus tous les
on
déduit, grâce
>
ce
Il existe de
premier
ordre tout
ordre] .
multiples façons
en
conservant
un
d’
"élargir"
point
de
vue
le calcul des
"classique".
0
pré dicats
du
Citons :
(a) l’introduction de nouvelles espèces de variables (par exemple fonctions, fonctions de fonctions, etcooo), ce qui donne un calcul "d’ordre
supérieur" ;
LOGIQUE
DU PREMIER ORDRE
(b)
l’introduction de
(c)
l’introduction de formules "infiniment
quantificateurst
nouveaux
modalités qui peuvent différer suivant les
(d)
a
Comme
nous venons
que
(IV)
régulier.
Soit R
application
de
2.2, qui permet
Dans le
un
cas
injective 03C6P
a sur
de P dans E de
telle
(b)
et
de
KREISEL, et,...).
(a),
ainsi
n’est valable que lorsque
utilise le fait suivant :
E, On peut associer à tout Pd E
façon à avoir
P(x) ~~
(1)
est
.p(P)
=
satisfaite,
on a
E .
méthode consiste donc : à introduire de proche en proche (
fonctions de Skolem ) des fonctions
( avec paramètres
La
supplémentaires 03C6P
3Q
en
de genre
utilisant
a
l’ensemble
(2),
une
(VPCE) :
borné relativement à R .
Si cette condition
3ax
on
ou
les modèles
au sens
d’éliminer ~03B1,
général,
ordre de genre
~P(P) = E ou +p(P)
(2)
w-modèles
les
l’avons vu, il existe des rapports entre
et (d). Il en existe aussi entre (b) et (c).
5.5. La formule
(1)
d’étudier,
nous
qu’entre (b)
est
modèles A telle
jugée spécialement intéressante (par exemple ;
sous-classe
des
systèmes) ;
la restriction de la classe de tous les
de genre
~~
longues" (suivant
et à
ajouter (1)
comme
de l’ensemble
( sous-ensemble
initial (sous-ensemble de
CL ),
axiomes
de ~ )
et
supplémentaires.
ainsi obtenu fournira
inversement.
comme
),
pour les
à éliminer
Tout modèle
un
a-modèle de
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