sur les nouveaux generateurs de l`algebre de hecke h(g, u, i)

IC/97/139
United Nations Educational Scientific and Cultural Organization
and
International Atomic Energy Agency
INTERNATIONAL CENTRE FOR THEORETICAL PHYSICS
SUR LES NOUVEAUX GENERATEURS
DE L'ALGEBRE DE HECKE H(G, U, I)
Jesus Juyumaya
Universidad de Valparaiso, Valparaiso, Chile
and
International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy.
MIRAMARE - TRIESTE
September 1997

Dans [10], nous definissons des operateurs de type Fourier-Grassmann pour
Falgebre de Hecke "%(G, U, I), du groupe general lineaire G (sur le corps fini
¥q), relative a son sous-groupe unipotent maximal superieur U. En plus, nous
annoncons que ces operateurs representent le groupe de tresses et donnent
une presentation de l'algebre H. Dans [11], a l'aide de ces operateurs, nous
construisons un (G, Ar)-module S qui donne une correspondance entre les
representations de Steinberg generalisees et certaines representations du nor-
malisateur N du sous-groupe des matrices diagonales T de Q. Remarquons
que dans ce cas TV s'identifle au produit semi-direct W v, T, ou W est le
groupe de Weyl de G. Dans [10] et [11] nous avons utilise fortement Faction
de G sur l'ensemble des drapeaux de vecteurs sur ¥q.
L'objectif de ce travail est de definir les operateurs de type Fourier-
Grassmann pour un groupe de Chevalley simple G, puis d'etudier les resultats
de [10] et [11] dans ce contexte. Ainsi, on a obtenu notamment:
• (Theoreme 2.15) Ces operateurs representent le groupe de tresses as-
socie au groupe de Weyl de G. En outre, avec les operateurs d'homotheties,
ils definissent une presentation de l'algebre de Hecke "H(G, f/, 1), ou U
est le radical unipotent d'un sous-groupe de Borel B de G.
(Nous remarquons que les relations de commutation de la presentation
que nous doimons sont analogues, sauf la relation quadratique, a celles
donnees par T. Yokonuma dans [14], et a celles donnees par N. Iwahori
dans le cas de l'algebre de Hecke de G relative a B, voir [8]).
Dans le cas ou la matrice de Cartan de G est symetrique, on a
• (Theoreme 4.7) La construction d'un G-module S qui est module de
representation du groupe de Weyl W de G.
• (Theoreme 5.9) On a une correspondance, dans 5, entre les representations
de Steinberg generalisees de G et certaines representations du produit
semi-direct W x T, ou T est un tore maximal de B.

Table des matieres
§1. Preliminaires 2
§2. Les nouveaux generateurs 3
§3. Demonstration du theoreme 2.12 . 10
§4. Le (G, A^)-bimodule S 13
§5. Decomposition de S 17
§6. Remarques 20
§1. Preliminaires
Soit G un groupe de Chevalley fini (simple) sur le corps a q elements A".
Nous regardons G comme le sous-groupe des points fixes (par rendomorphisme
de Frobenius) d'un groupe algebrique lineaire reductif. Soit T un tore max-
imal de G, et B un sous-groupe de Borel de G tel que T C B. On a,
B ~TU = f/T, ou U est le radical unipotent de B.
Soit <D un systeme de racines de G par rapport a T, et $+ le systeme
de racines positives de G par rapport a B. On notera A l'ensemble des
racines simples positives. Nous rappelons que pour chaque a £ <&+, il y a un
homomorphisme correspondant tpa de SL(2,K) dans G. Posons
( i- itr*\
r t A 1,
-v , '" \ u r~* I •
et
On notera Ta le sous-groupe a 1-parametre de T, Ta = {ha{r); r 6 Ky}.
On sait que (Ua (ce £ $+) appartient au normalisateur N de T dans G,
et il lui correvspond alors un element wa dans le groupe de Weyl W := AT/T
de G. Nous designerons par ( 1a projection canoniquc de A'" sur W. Posons
S = {wa-,a € A}, aJors (IF, S) est un systeme de Coxeter; done W est un
groupe de Coxeter avee la presentation suivante
w2a =
ou ma0 est l'ordre de wowp.
On notera ^ la fonction longueur sur W relativement a S.

Soit (Aa^a.pinA la matrice de Cartan de G. On sail que Aai@ := (a, fi) =
2(Q, ,3)/(,3, /3), oil (, ) est le produit scalaire de l'espace euclidien ou se realise
le systeme de racines $.
Le groupe de Weyl <lc G agit sur T par (w,t) ^""t = ujfu;"1, ouu6 A*
est tel que C(w) = w-
Lemme 1.1. Soient r G A'x et a, ,5 G A, on a alors u}ahp{r)ijj~l =
h0(r)ha(r-la'®). En particulier
Lemme 1.2. 5'i |A| > 2, Wore Vhomomorphisme r\ : t i->- W^/CJ"1^1 de T
(fans Tc, esf surjectif.
Demonstration. Soit /ta(r) dans T"a. Nous choisissons /? 6 A tel qiie
{a,fi} = —1. En prenant / = hxQ(r3)ha(r), on obtient r/(i) = hn(r). I
Notations. Si TT est un caractere d'un sous-groupe i/ de G, on notera 7r^ la
representation induite a G de la representation de // associee a IT. NOUS
designerons par e^H) l'idempotent |ff|~J J2heH n{h~1)h, de l'algebre de
groupe C[G] de G. Nous realisons 7r^ comme l'ideal a gauche C[G]e^(H) de
C[G]. On notera 'H(G, if, TT) l'algebre des endomorphismes (nous l'appellerons
algebre dc Hecke) de la representation induite Tvfr D'apres ce qui precede,
MiG. H, IT) s'identifie a l'algebre des C[G]-endomorphismes de C[G]fiff(i?).
§2. Les nouveaux generateurs
Posons e{U) = e^U) et M = C[G]e(U). Cela revient a dire que M est
l'espace de la representation induite 1^.
On sait que G est egal a la reunion disjointe des doubles classes UnU (n £
JV). Done, les elements de la base standard de l'algebre de Hecke Ti =
7i(G,U,t) de G relative a U sont parametres par ces doubles classes. De
maniere plus explicite, on notera Rn (n G JV) l'operateur dans ~H, Rn :
e(U) i-> ne(U). Si n est egal a wQ (a € A), on ecrit alors Ra au lieu de
Rn.
Proposition 2.1. (Yokonuma, [14]) L'algebre de Hecke % est engendree pur
les operatcurs: Ra (a G A), Rt(t € T). I

Designons par Ha,s (s G Kx , a € A) l'operateur dans 7i associe a la dou-
ble classe Uha(s)U = ha(s)U de ha(s), c'est;-a-dire, Ha<s : e(U) ^ hot(s)e(U).
Pour a G A et $ un caractere du groupe (A", +), nous definissons la somme
de Gauss1 0(a) des operateurs par
Dans le cas on 9 est le caractere trivial, on notera /(a) cette somme.
Theoreme 2.2. (Yokonnma, [14]) Lts generateurs Ra{a G A),Rt(t € T)
definissent une presentation de Valgebre "H, avec Its relations:
(2.2.1) RtRt> = Rt'IU (f e T)
(2.2.2) Rl
(2.2.3) RaRt = Rt'Rc, on t' = LOJUJ'1
(2.2.4) RaRffRa • • • = RpRaRp • • -,ou rna0 est Vordre de wawp {(3 G A).
On sait que {R4 ; t G T} est un groupe d'operateurs isomorplie a T.
Alors le groupe de Weyl opere sur ce groupe par: (if, lit) i-> Rwt. Ainsi, nous
pouvous faire agir W sur les sommes de Gauss d'operateurs. Plus precisement,
si on note &(wa) Taction de w G W sur 0(a) = X^eft'x ^(s)^^a,s, alors
Q{wa) =
Corollaire 2.3. Pour /out a,/? <E A, on a Rn®{/3) = e{wa{3)Ra.
Demonstration. C'est une consequence (2.2.3). I
On notera ®(a) la somme des operateurs YsreK* ®(r~1)Ha,r- Du corollaire
2.3, on deduit
denominaUon est due au fait que la restriction de &(a) a certains sous G-
modules, est un operateur d'homothetie dont le rapport est une somme de Gauss classique.
Voir plus loin (5.5.2).