sur les nouveaux generateurs de l`algebre de hecke h(g, u, i)

IC/97/139
United Nations Educational Scientific and Cultural Organization
and
International Atomic Energy Agency
INTERNATIONAL CENTRE FOR THEORETICAL PHYSICS
SUR LES NOUVEAUX GENERATEURS
DE L'ALGEBRE DE HECKE H(G, U, I)
Jesus Juyumaya
Universidad de Valparaiso, Valparaiso, Chile
and
International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy.
MIRAMARE - TRIESTE
September 1997
Dans [10], nous definissons des operateurs de type Fourier-Grassmann pour
Falgebre de Hecke "%(G, U, I ) , du groupe general lineaire G (sur le corps fini
¥q), relative a son sous-groupe unipotent maximal superieur U. En plus, nous
annoncons que ces operateurs representent le groupe de tresses et donnent
une presentation de l'algebre H. Dans [11], a l'aide de ces operateurs, nous
construisons un (G, Ar)-module S qui donne une correspondance entre les
representations de Steinberg generalisees et certaines representations du normalisateur N du sous-groupe des matrices diagonales T de Q. Remarquons
que dans ce cas TV s'identifle au produit semi-direct W v, T, ou W est le
groupe de Weyl de G. Dans [10] et [11] nous avons utilise fortement Faction
de G sur l'ensemble des drapeaux de vecteurs sur ¥q.
L'objectif de ce travail est de definir les operateurs de type FourierGrassmann pour un groupe de Chevalley simple G, puis d'etudier les resultats
de [10] et [11] dans ce contexte. Ainsi, on a obtenu notamment:
• (Theoreme 2.15) Ces operateurs representent le groupe de tresses associe au groupe de Weyl de G. En outre, avec les operateurs d'homotheties,
ils definissent une presentation de l'algebre de Hecke "H(G, f/, 1), ou U
est le radical unipotent d'un sous-groupe de Borel B de G.
(Nous remarquons que les relations de commutation de la presentation
que nous doimons sont analogues, sauf la relation quadratique, a celles
donnees par T. Yokonuma dans [14], et a celles donnees par N. Iwahori
dans le cas de l'algebre de Hecke de G relative a B, voir [8]).
Dans le cas ou la matrice de Cartan de G est symetrique, on a
• (Theoreme 4.7) La construction d'un G-module S qui est module de
representation du groupe de Weyl W de G.
• (Theoreme 5.9) On a une correspondance, dans 5 , entre les representations
de Steinberg generalisees de G et certaines representations du produit
semi-direct W x T, ou T est un tore maximal de B.
Table des matieres
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
§6.
Preliminaires
Les nouveaux generateurs
Demonstration du theoreme 2.12 .
Le (G, A^)-bimodule S
Decomposition de S
Remarques
2
3
10
13
17
20
§1. Preliminaires
Soit G un groupe de Chevalley fini (simple) sur le corps a q elements A".
Nous regardons G comme le sous-groupe des points fixes (par rendomorphisme
de Frobenius) d'un groupe algebrique lineaire reductif. Soit T un tore maximal de G, et B un sous-groupe de Borel de G tel que T C B. On a,
B ~TU = f/T, ou U est le radical unipotent de B.
Soit <D un systeme de racines de G par rapport a T, et $ + le systeme
de racines positives de G par rapport a B. On notera A l'ensemble des
racines simples positives. Nous rappelons que pour chaque a £ <&+, il y a un
homomorphisme correspondant tpa de SL(2,K) dans G. Posons
(
-v
,
'" \
u
r~*
I
•
r
it *\
r i-t A
1,
et
On notera Ta le sous-groupe a 1-parametre de T, Ta = {ha{r); r 6 Ky}.
On sait que (Ua (ce £ $ + ) appartient au normalisateur N de T dans G,
et il lui correvspond alors un element wa dans le groupe de Weyl W := AT/T
de G. Nous designerons par ( 1a projection canoniquc de A'" sur W. Posons
S = {wa-,a € A}, aJors (IF, S) est un systeme de Coxeter; done W est un
groupe de Coxeter avee la presentation suivante
w2a =
ou ma0 est l'ordre de wowp.
On notera ^ la fonction longueur sur W relativement a S.
Soit (Aa^a.pinA l a matrice de Cartan de G. On sail que Aai@ := (a, fi) =
2(Q, ,3)/(,3, /3), oil (, ) est le produit scalaire de l'espace euclidien ou se realise
le systeme de racines $.
Le groupe de Weyl <lc G agit sur T par (w,t) ^""t = ujfu;"1, o u u 6 A*
est tel que C(w) = w Lemme 1.1. Soient r G A'x et a, ,5 G A, on a alors u}ahp{r)ijj~l =
h0(r)ha(r-la'®). En particulier
Lemme 1.2. 5'i |A| > 2, Wore Vhomomorphisme r\ : t i->- W ^ / C J " 1 ^ 1 de T
(fans Tc, esf surjectif.
Demonstration. Soit /t a ( r ) dans T"a. Nous choisissons /? 6 A tel qiie
{a,fi} = —1. En prenant / = hxQ(r3)ha(r), on obtient r/(i) = hn(r). I
Notations. Si TT est un caractere d'un sous-groupe i / de G, on notera 7r^ la
representation induite a G de la representation de // associee a IT. NOUS
designerons par e^H) l'idempotent |ff|~J J2heH n{h~1)h, de l'algebre de
groupe C[G] de G. Nous realisons 7r^ comme l'ideal a gauche C[G]e^(H) de
C[G]. On notera 'H(G, if, TT) l'algebre des endomorphismes (nous l'appellerons
algebre dc Hecke) de la representation induite Tvfr D'apres ce qui precede,
MiG. H, IT) s'identifie a l'algebre des C[G]-endomorphismes de C[G]fiff(i?).
§2. Les nouveaux generateurs
Posons e{U) = e^U) et M = C[G]e(U). Cela revient a dire que M est
l'espace de la representation induite 1^.
On sait que G est egal a la reunion disjointe des doubles classes UnU (n £
JV). Done, les elements de la base standard de l'algebre de Hecke Ti =
7i(G,U,t) de G relative a U sont parametres par ces doubles classes. De
maniere plus explicite, on notera Rn (n G JV) l'operateur dans ~H, Rn :
e(U) i-> ne(U). Si n est egal a wQ (a € A), on ecrit alors Ra au lieu de
Rn.
Proposition 2.1. (Yokonuma, [14]) L'algebre de Hecke % est engendree pur
les operatcurs: Ra (a G A), Rt(t € T). I
Designons par Ha,s (s G Kx , a € A) l'operateur dans 7i associe a la double classe Uha(s)U = ha(s)U de ha(s), c'est;-a-dire, Ha<s : e(U) ^ hot(s)e(U).
Pour a G A et $ un caractere du groupe (A", +), nous definissons la somme
de Gauss1 0 ( a ) des operateurs par
Dans le cas on 9 est le caractere trivial, on notera / ( a ) cette somme.
Theoreme 2.2. (Yokonnma, [14]) Lts generateurs Ra{a G A),Rt(t
definissent une presentation de Valgebre "H, avec Its relations:
(2.2.1) RtRt> = Rt'IU
(f e T)
€ T)
(2.2.2) Rl
(2.2.3) RaRt = Rt'Rc, on t' = LOJUJ'1
(2.2.4) RaRffRa
• • • = RpRaRp
• • -,ou rna0 est Vordre de wawp {(3 G A ) .
On sait que {R4 ; t G T} est un groupe d'operateurs isomorplie a T.
Alors le groupe de Weyl opere sur ce groupe par: (if, lit) i-> Rwt. Ainsi, nous
pouvous faire agir W sur les sommes de Gauss d'operateurs. Plus precisement,
si on note &(wa) Taction de w G W sur 0(a) = X^eft'x ^(s)^^a,s, alors
Q{wa) =
Corollaire 2.3. Pour /out a,/? <E A, on a Rn®{/3) = e{wa{3)Ra.
Demonstration. C'est une consequence (2.2.3).
I
On notera ®(a) la somme des operateurs YsreK* ®(r~1)Ha,r- Du corollaire
2.3, on deduit
denominaUon est due au fait que la restriction de &(a) a certains sous Gmodules, est un operateur d'homothetie dont le rapport est une somme de Gauss classique.
Voir plus loin (5.5.2).
(2.4)
RaQ{a) = Q{a)Ra.
En outre, dans le cas oil 0 est le caractcre trivial, on a /(a) = /(a), et on en
deduit que Ra commnte avec I(a).
Proposition 2.5. Soient B un caractere de K et a G A ; on a
(2.5.1) Q(a)I(a) = Q(a)I(a) = —/(a), si 0 n'est pas le caradere trivial.
( 2.5.2) 0(a)O(a) =
En. particuUer I(a)2 = (g — l)I(a).
Demonstration. (2.5.1) On a
e(a)I{a)
= V $(r)Hair.
(rs = t)
(2.5.2) On a
0(r)Ha,r
ou ^ (x G K) est le caractere de K defini p a r J * : i / H ^ ( x y ) . Ainsi, selon
que / est egal a —1 ou non. on obtient
0(a)0(a)
=
si
Si 0 = 1, 1'assertion est claire.
I
Dans la suite nous nxerons un caractere non trivial i/> du groupe additif
dc K. Alors # ( Q ) := E
Definition 2.6 (c.f. la definition 1.2 de [11]). Pour a £ A nous definissons
les operaleurs suivants da H:
Proposition 2.7. Powr a £ A, on a
(2.7.1) P% = Pa
(2.7.2) J% = l +
(<r2-l)Pa
(2.7.3) PaJa = JaPa = -q-> Pa.
Demonstration. (2.7.1) Elle result© d'un calcul direct.
(2.7.2) On a
) + i?^$(a)*(a)
a) - 2RJ(a)
(d'apres (2.4))
D'apres (2.5.2) et comine H^_1 = 1, on a q2J% = q2 - I(a) ~ RaI(a),
1'assertion.
7
d'ou
(2.7.3) C'est la consequence d'un calcul direct.
I
Corollaire 2.8. Les operateurs Ja(<x G A) sont inversibles. En plus, on a
J:1 = Ja + {q'1 - q)Pa = qJl + J» - q- •
Maintenant, on deduit de (2.5.1) et (2.5.2) l'egalile
qJ^(a) = -I(a) + lUqHa,.! - I (a)).
D'autre part, de la definition de .P«, on tire RaI(a) = (q2 — l)Pa — l(ct).
D'apres (2.7.2), on a alors HaI{a) = q2(l - J2a) - I (a). Ainsi,
qjaty(a) = qRaHa^i
+ q2(Ja — 1)-,
d'ou Ton deduit
(9 <i)
R
— < I ^(cy) -
En vertu de cettc egalite et de la proposition 2.1, on obtient
Proposition 2.10. L'alyebre de Heche H est cngendree par les operateurs:
Ja{a<=A),Rt(t<=T).
I
Maintenant. nous allons ctudier les relations (2.2.3) et (2.2.4) pour les
operateurs Ja (a € A).
Or, on sait que si t G X, alors to^tu:"1^1 appartient a Ta (voir lemiiie 2
de [14]). Done uaTatu-1 = TJ. Alors on en deduit I(a)Rt = Rt>f(a), ou
t' = ioalu)~l. De cettc relation et de (2.2.3) rcsulte la proposition suivante
Proposition 2.11. Pour tout a G A, t G T. on a JaRt
ojatuj~l,
= Rt<Ja>
ou
tr =
I
Dorenavant, G est un groupe dont la matrice de Cartan est symetrique.
Au §3 nous demontrerons le theoreme suivant
T h e o r e m e 2.12 (Relation de tresses). Si G est un groupe de Chtvallty dont
la matrice dc Cartan est symetrique, alors
JaJ(3
•'' = JpJa
• • -fOU map
est I'ordre
de wrj:w0,
I
Corollaire 2.13. Pour- a., 8 € A, on a
(2.13.1) L'operateur Ja commute avec Pp, si m^p = 2
(2.13.2) JaJ3Pa
= PpJoJp, si mag = 3.
Demonstration. La. premiere affirmation est consequence du theoreme cidessus et de (2.7.2).
Maintenant, d'apres (2.7.1) on a,
=
=
(q~2 — \)~1(JpJl3JvJp — JaJfi)
2
(d'apres theoreme (2.12))
i
(9- -ir (j?-i)^j/j
g
(d'apres (2.7.2)). I
D'un resultai bien connu de Matsumoto (voir [13] ou 64.20 de [3]) et du
theoreme 2.12, on en deduit Texistcnce d'une fonction / sur le groupe de
Weyl W de G a valeurs dans % qui verifie les conditions suivantes : / ( I ) = 1
et f(w) = Jai • • • Ja& si w = wai • • • wat {a.i £ A) est une expression reduite
de w. Or, le groupe de Weyl W opere sur T, Faction d'element w de W sur
t G T est donnee par wt = nin~l, ou n e N est tel que ((n) = w. Ainsi,
nous pouvons considcrer le produit semi-direct Nsd = W ix T. En outre, on
peut ctendre / en une fonction F : Nsd —$• "H, telle que F(t) = Rt (t G T) et
F(w't'wt) = F(w'w)F(w-lt>wt)(t,tf
€ T, U7,w' e 11-'). En dfet, il suffit de
definir F(wt) = JwRt(w E W.t E T). On notera ./^ au lieu de F(io), done
Proposition 2.14. Solent w E W et a E A, alors
(2.14.1) JaJVJ = JWoW.
si
£(waw)
(2.14.2) JaJw = JWaW + (q- q~l)PaJw
> f.(w)
,
si
£(watv)
< £{w)
Demonstration. Lc methode de demonstration a utiliser est standard.
Soit w = wai • • • •wcte (a 4 E A ) , avec £(w) = i.
(2.14.1) Supposons £(waw) > &(w), alors £(waw) = £+1, et par definition
(2.14.2) Dans le cas on £(waw) < £(w), on a £(waw) = £ - 1. Si w' =
waw, alors on a £{w = waw') > £(w'). Ainsi, dc, la premiere partie, on tire
Jw = JaJwi. On obtient done
T T
VOt"
—
11}
I2 I
•Jfy'-'W'
=
Jw' + {q~ q'^PaJaJw'
J»aJ«, + {q-q~l)PaJ*,
(d'apres (2.7.3))
(d'apres (2.14.1)). •
Proposition 2.15. La farnille J = {,/„ ; n G Nsd} cst une base de "H,
Demonstration. D'apres (2.7.2) et (2.9), on obtient (1 - q-lI{a))Ra =
Jty^(a)Ha^i + q"1!^), pour tout a € A. Mais comme 1 — 9~ 1 /(a) a pour
inverse 1 + ?(&), on. tire
(2.16)
Ra = ,/„#(«)#,,_! - JJ(a) + I(a)
Done, on en deduit que J est une base du C-espace vectoriel "H. I
En outre, si nous remplacons 1'expressiou (2.16) de Ra dans la definition
dc P a , on obtient
(2.17)
po = _ i
En resume de cette section on a
Theoreme 2.18. Soil G un groupe de Chevalley dont la matrice de Cartan cst symetrique. Alors les genirateurs Ja(a € A),Rt{t G T), avec hs
relations:
(2.18.1) RtRt< = Rt'Iit
(i'eT)
(2.18.2) J2 = l + (q-2-l)Pa
(2.18.3) JaRt = Rt>Ja, ou t> = w^u;" 1
10
(2.18.4) JaJ@ • • • = JpJo • • ••> ou map est Vordre de wawp (J3 £ A ) .
definissent
une presentation
de Valgehrt H.
Demonstration. Pour demontrer qu'on a une presentation, on utilise les
propositions 2.14 et 2.15 et le meme raisonncinent employe pour la demonstration
tin theoreme 67.6 de [3]. I
§3. Demonstration du theoreme 2.12
Nous utiliserons le lemme suivant dont la demonstration est triviale
L e m m e 3 . 1 . Soient 8 un caractere du groups addilij de K, et Q,/3 £ A. On
a alors
0
/
m
W
=
Rappelons que si la matrice dc Cart an de G est symetrique, alors on a
seulement les cas : (a. (3) = 0 on —1, si a ^ (i.
Demontrons d;abord la relation pour le cas ou {&,(3) = 0. Alors on a
m-aQ = 2. D'apres le corollaire 2.3, Ra commute avec *(/3). Alors on en
deduit sans difficulty la relation: JaJg = J,sJa, P« u r {aifi} = 0.
Sous 1'hypothese (a.j3) = — 1, nous allons prouver la relation: JaJpJa =
D'apres la definition ties operateurs Ja{a € A), la relation (2.4) et le
corollaire 2,3, on obtient par un calcul direct
ou
Aap = J
GW =
11
D'apres (2.2.2) on tire
JaJf)Ja
=
Atf
De la nieme maniere, on trouve une expression comme ci-dessus pour le
produit JpJaJp. Tl suffit pour cela d'echanger a avec ,6. Done, pour demontrer
notre assertion, il suffit de demontrer les relations:
(3.2) A a 0 = A 0 a
(3.3) Ba3 = CBa +
(3.4) Dap = Epa
(3.5) Gap = Gpa
(3.6) qHa,-i Fa0 =
Demonstration de (3.2). Elle resulte de (2.5.2).
Demonstration de (3.3). D'apres la proposition (2.5), on a
- (q -
D'autre part, en appliquant le lemme 3.1 a Bap. on a
12
Comme {/5, a) = — 1, si on pose r xs = /, on obtient
Ceci donne le resulUit cherche.
Demonstration de (3.4). D'aprcs le lemme 3.1, on obtient
r,s,ue K *•
^
(ru =
Hp^-i
D'apres le lemme 3.1, on tire I(w$wa/3) = ^(a). On a alors
(d'apres lemme 3.1)
-i
(rs = v)
Ainsi, Dafj = Epo-.
Demonstration de (3.5). En vcrtu du lemme 3.1 on a ty(wnw$a)
done on obtient
13
La derniere egalite s'obtient de la meme fagon que la premiere.
Demonstration de (3.6J. D'apres (2.5.2), on a
q2Hlt_J(wa0)-qI(a)I{wal3)
q2r(waj3)-ql(a)l(wn0)
=
=
=
q'2I{wpa)—qI{8)I{wpa).
D'autre part, on prouve sans dificulte les relations
np)
d'ou, on tire (3.6).
{P){p)
et
I
§4. Le (G;iVsrf)-bimodule $
Soit A = { « i , . . . , an}, nous noterons par tttj (I < i < ?z) 1'element de Vt7'
associe a a,.. On dira que w = w^ • • • wim G W est principal, si: ( Q ^ , or^ +1 ) =
— 1 et ! { * ! , . . . , i m } | = m. II est clair que si w est principal, alors vr1 esi aussi
principal. Pour chaque element principal w = w^ •••wiiii, nous definissons
l'operateur Pu, := Pa.. J,^-^,. dans "H. Remarquons que pour to = Wi, Pw =
Pai. Nous designerons par Vw le noyau de PVJ. On a
L e m m e 4 . 1 . .Si w = WiWj esi principal de longueur 2, alors J.w est un
isomorphism?, de VWl surVWj.
Demonstration. Elle resulte de (2.13.2).
I
P r o p o s i t i o n 4.2. Soient w = w^ • • -wtm principal et x € VVHii...WtmC]VWl?j...WtrnC\
• •• n K , . . Afors
xeV $
e i4
Demonstration. La proposition se demontre par recurrence sur m. Si m =
14
2, OTJ a w = WiWj et en plus x G V^. Alors
a; € 1 4 ^ = ^ ^ aj <A^ a; = 0
Jiu,JwjPaiJw3x = 0
(corollaire 2.8)
PajJWiJ'i}x = 0
(d'apres (2.13.2))
«=>- PaiJmx = 0
(d'apres (2.7.2))
^=^>
a; £
Vyj-i.
En general pour tout m > 2, on a (comme dans le cas ou m = 2) s G Vw 4=4>
P a i J.^.. ,/,„. ...Wi x = 0. C'est-a-dire, Pai JWi ...Wi {JWt x) = 0. On peut alors
utiliser l'hypothese de recurrence, et on obtient x £ Vw-\. I
Maintenant, nous allons construire un sous G-module de M = C[G]e(U)
qui est un modul<: de representation du groupe de Weyl W de G. La methode
utilisee considere certaincs branches connexes orientees du graphe de Dynkin
de W. Celles-ci nous fournissc^nt des operateurs Pw, ou w est principal et
oriente par la branche. Ensuite nous construisons le sous G-module cherche
comme l'intersection des noyaux Vw. Plus precisement:
(4.3) On considere d'abord le cas ou W est de type An:
Prenons le graphe oriente de gauche a droite A+ de An, alors nous definissons
S(A+) \— DWVW, ou w est principal et oriente par /i+. Par exemple si n = 3,
on a w £ {wi, u'2, UJH, W]_W2., W2V'3,w1w2W:i}. Si on note ,4,7 l'autre orientation de An, on peut deduire de la proposition 4.2 que S(A + ) = S(A~). Done,
nous noterons ce sous G-modulo de M simplement S(W). On a
L e m m e 4 . 4 . Le G-module S(W) est stable paries operateurs JWi (0 < i < n).
Demonstration. Elle est analogue a la demonstration du theoreme 2.17
de [11]. I
(4.5) Si W est de type Dn. Posons
15
Ql
Dn:
a2
a,
On definit <S(K"r) comme l'intersection S1 D S2 n *S3, ou S 1 ct
donnes, suivant (4.3), par les graphes de type A suivants:
Ql
a2
sont
(definit S 1 )
Ct\
(definit 5 2 )
Le SOUK G-module S3 est egal a l'intersection de tous les noyaux des
operateurs f)jU/«,„„!«,•„, ou w est principal et parcourt le graphe de type A
oriente do gauche a droite suivant le graphe:
o!-^ Z* • • • ^
Z^
(definite3)
(4.6) Enfin, considerons le cas ou W est de type En (n = 6, 7, 8). Posons
•tJTi
Comme dans (4.5) on definit S(W) comme l'intersection S1 DS2nS3,
S et (S2 sont donriRs par les graphes de type A suivants:
ou
l
(definit Sl)
Ql
Q3
an
(definit S2)
Et (S est 1'intersection de tous les noyaux des operateurs PWJW2-, ou w =
• • • u>
4
• •
est principal et parcourt le graphe oriente de gauche a droite ci-
dessus.
16
Par exemple si W est de type E&, on a S1 = rV e c, Ku, <S2 = OwEc2 K«, et
<S3 est egal a 1'intersection des noyaux des operateurs PWJW21 ou w parcourt
Lout les elements de C'2, qui contient u>4, avec
, W3W4W2,
l , 103; KM; «J5; ^
Theoreme 4.7. L'application wi H>- J,^, determine une representation (S(W). r)
de W.
Demonstration. II est clair que sur (Sfl^) les relations de Coxeter sont
vRrifiees. Done, il rcste a voir la stabilite de W par les operateurs JWt (1 <
i < n). Par le lemme 4.4 on a la sta,bilite pour W de type A. Dans les autres
cas, on utilise (2.1.3.2), les lemmes 4.1 et 4.4. La verification s'effcetue par un
calcul direct. I
Notons que S = ${W) est un (G, .¥S(;)-bimodule, ou 1'action a de NSi{
sur S est donnec par anx = (r,u o Hr)x, pour n = uji,KJ G W,t € T.x £ S.
En plus, on a UDG action p\Eka (ou p denote 1'action de G sur S) du produit
direct G x iV^ sur 5, donn.ee par (p Kl v){g,n) = pg ° o~n{g £ G,n G AT^).
Dans la section suivante, nous etudierons la decomposition du (G. Nsd)bimodule S. Ainsi, on trouvera un principe de "dualit;e"entre les representations
de Steinberg generalises de G et certaines representations de Nslj. Pour ceci,
on utilist^ra le lemme suivant de caractere general.
L e m m e 4.8. Soient G et H deux groupes finis, et V un (G, H)-bimodule,
alors la composante G-isotypiqut Iw de type TY dans le G-module V est isornorphe au G x H-module U^ ® IiomGiU^^V), ou Uv denote une composante
irreduclible de type n de la G- decomposition de V. Si on note a I'action de H
sur V, V action a sur le H-module HomGffi-x, V) est donnee par b^y = <TfeO<j6,
(he H,<f>eHoma{U*,V)).
1
§5. Decomposition de S
Nous designerons par M\ (X caractere de T) le sous G-module C[G]e\(B)
du G-module M = C[G]e(lJ) de la representation induite 1^ . On sait que
17
M = (J)A Af\. ou A parcourt le groupe de caracteres T de T. En plus, si
x G M on a: x G Af* si et seulement si Rtx = X(i)x, ( £ 71.
Le groupe de Weyl W open-: sur T. On notera A"1 l'action de l'element
w de i y sur A € T. De facon plus precise A^tf) = A("^) = Afntn" 1 ), ou
n G A' est tel que ((n) = w. D'apres [12] §. 2 le stabilisateur W\ de A
dans W est aussi engendre des reflexions. En outre, Kilmoyer montre qu'il
existe II,\ C <£>+ tel que {W\, {w{; i G 11A}) s °it un systeme de Coxeter. Alors
d'apres le theoreme 1.4 [7], dans chaque orbite de l'action de W sur T, on
pent trouver un element S G T tel que son stabilisatear soit un sous-groupe
parabolique2 de W. Nous dirons que 8 est un element, parabolique de T. En fin,
rappelons que MA est isomorphe a Mtl si et seulement si A et ji appartienneut
a la meme orbite.
Proposition 5.1. Soient w £W et \ £T, alors Jw(Mx) = M^w.
Demonstration. On deduil de (2.15.3), RtJw = JwR™t(t G T,w G W).
Done, pour x G M\ on a, R[Jwx = Jv;Iiv>tx — \H'(t)Jwx.
I
Lemme 5.2. Soient a = a{ G A et x G M\ (A G f), alors
( 1)a:
(5.2.1) /(<*)(*)=( *(5 2 2 ) * ( a ) U ) - l
" ^15^^
~X
5i
"^
, \oha) est la somme de Gauss classique
Demonstration. Comme £\{H) = efL^CACT1), on a
l(a)(ex(B))=
Mais, ex(T)ha(r) = ITj"1 E ^ r AfOuAfMr)), done
i, les sous-groupe paraboliq-ue sont les {/}, ou J C S.
18
Or, dans le cas ou |A| = 1 l'assertion est claire. Si |A| > 2 nous considerons
l'homomorpliisme surjectif r\ du lemme 1.2. On a, alors X^-eJi* -H^<>(r)) =
\Kcrrj\~1 ^2ieT(^w>^~1){t)i d'ou 1'assertion (5.2.1). L'autre affirmation sedernontre
de la mcVne maniere. I
Nous noteixms Lu, (w G W), la restriction de Rw au sous G-module M\ de
M. Oela revienl a dire que si X est parabolique. le systeme {La = LWa; wa €
W\ D S} est un systeme de generateurs standard de l'algebre de Hecke "Hx =
U(G,B,X) de AfACorollaire 5.3. La restriction de I'operateur Ja (a € A) a M\ est egale a
— L" 1 pour wa G W\ n t9, et egale a Q{^. A o ha)La sinon.
Demonstration. Le corollaire resulte du lemme de ci-dessus, et du fait
bien connu que L~* = q~lLa + (^~1 — 1), a G A. I
Maintenant, nous allons definir la representation de Steinberg generalisee
de G. Pour ceci, nous utiliserons l'expose de R. Kilmoyer dans [12],
Definition 5.4 (definition 6.2 de [12], c.f. [4], [6]). Pour chaque X G f. les
representations M\ et la representation de Gelfand-Graev ont une seule cornposante commune Six- Les elements de la serif- de representations de Steinberg generalities sont les composantes Six • On petit regarder les elements
de cette serie cornrne les G-modules St-x = C[G]£*, ou £\ est Vidempotent
de C[G] donne par t;\ = c${U)noex{B), ou <i> est un caractere en position
generate de U, et oil no E N est un repre.senta.nt de Vunique element de W
de longueur maximale.
Lemme 5.5(Kilmoyer (6.3)[12]). Soit OCJ € A tel que u1; € W\ (1 S, alors on
Proposition 5.6. Soient a = «; G A et X € T, alors
(5.6.1) Jj£x) = |
(5.6.2)
^
si Wi e Wx n s
si Wi $i W\ n S
Pa{Sx)=Q.
19
Demonstration. On a Ja(£x) = (i 1(J{a){£,\) + Ra(I{a)(£\))), alors des
lemines 5.2 et 5.5 on deduit l'assertion (5.6.1). Nous procedons de la meme
maniere pour demontrer (5.6.2). I
Proposition 5.7. Soit A un caractere parabolique de T, alors St\ = {x 6
Mx\ Jy,x = x, w
W}
Demonstration. Soit Sx = {x € MA; ^W^ = a-1, w € W^}. Posons H-^ fl
5 = { f i , . . . . vm} le systeme de generateurs du sous-groupe parabolique WxD'apres (5.6.1) £.,• est un point fixe pour JVi (1 < i < m), done S1^ C 5APour demontrer 1'egalite il suffit dc voir que Sx est irreductible. Considerons
1'algebre des endomorphisrocs S de <SA- On peut regarder 5 comme sousalgebre de Tix', alors I'algebres est engendree par la restriction des operateurs
J,,t, done 5 est trivial et S\ est irreductible. I
Proposition 5.8. La decomposition du G-rnodule S est donnee par S =
Demonstration. D'apres la proposition 5.1 et (5.6.2), £/> (A € T) est
un sous G-module de S. Soit U un sous G-module irreductible de S. Nous
pouvons supposer que U est une composante de la representation induite MA,
ou A est parabolique. Alors U est contenu dans le noya,u de Pa, pour tout
a e A . Alors d'apres (2.17):
JaJ{ct)x = I(a)x,
pour tout x dans IA\ done d'apres le lemine 5.2, Jax = x, pour tout wa dans
le systeuie de generateurs W\ D S du sous-groupe parabolique WA. Par suite,
d'apres la proposition 5.7, le sous G-module U osi; Six- •
En appliquant le lemme 4.8 au (G, ArS(;)-bimodule S, on peut regarder la
composante isotypique de type A de la G-decomposition du module S comme
le (G x jVsrf)-module St\ ® rJornG(St\, S). Considerons le A^-module induit
A de A*A = WA IX T a NXfi, de la representation unidimensionelle (C, 1 ® A).
Les A'srf-modules A et HomQ(Stx,S) sont isomorphes. En effet, on a un N\isomorphisnre tp, dclinit par
20
alors Fassertion se deduit de la reciprocite de Frobenius. Ainsi, comme A est
irreductiblo, on tire de la proposition 5.8 le theoreme suivant.
T h e o r e m e 5.9. Le (G,i\S(i)-bi'm,odule S donna une correspondance entre les
representations de Steinberg (jtneralisees de G et certaines representations de
Nsd- Plus precisernent, la decomposition du (G x Nsii)-module S est donne'e
par
ou V est un system?, de representants
de faction
de W sur T.
I
§6. Remarques
Void quelques questions a otudier:
(6.1) Soit T le G-caractere dc S, alors 11 existe unefamille {Qf, i € I, U C
de sous-groupes de G, tel que
ou Ig. est le caractere de la representation induite de Qi a G de la representation
triviale. La decomposition d-dessus est mi certain analogue de la, "decomposition
virtuelle "du caractere de Steinberg classique, c.f. 67.10 [3],
(6.2) (c.f. lemmc 4 de [14]). Soit u une indeterminee sur C. Soit A le C[u]module libre de base {an:n G A^(;}- Alors A adinet une structure d'algebre
qui satisfait aux relations :
anian = anin
(A) au>aan = aWan + (u - u~l)bWaian
(B) aWabWlx = bulaaWa = —u~1bWa.
si
si
I(n'n) = l(n') + l(n)
l(w«n) < £(n)
ou bWa = (q- q"1)'1 {Erefcx "MO ~ a'"« T,rsk* aii«(r)}, e t ^ e s t l a fonction
longueur I etendue a NSd •
Remarquons que sous I'hypothese (A), la relation (B) est equivalent a la
relation quadratique o?w = 1 + {u~~2 — l)bWa.
21
(6.3) L'affirmation (6.2) entrame que les algebres 7-L(G, B, I ) et CfA7^] sont
isomorphes, ct on peut regarder alors la premiere aigebre comme Qne deformation
de la deuxieme. En particulier, on deduit d'un theoreme de Yokonuma ([14])
que les algebres de groupe C[JVSE(] et C[Ar] sont isomorphes.
(6.4) Soit Vn(e) l'algebre de Vassiliev. c'est a dire, Vn(e) := C
9i — (•«;}, ou e € C et C[MBn] est l'algebre du monoide de tresses MBn, voir
[].]. Rappelons que MBn est engendree par #;, gjx, a,-(l <• i < n), avec les
relations
Soit G de type ,4. Soit Vn la sous-algebre de % engendree par Ji, J ; ^ Z1;. II
est clair que Ton a toutes les relations qui defimssent l'algebre de Va,ssihev en
remplacant gi par Jj, g^y par Jf1 et a; par P;. Ainsi, on obtient un morphisme
surjective de Vn{(fl — 9) sur Vn. Remarquons que dans Vn on a, la relation
plus exigeaiite suivante
Nous regardons cette relation au niveau des brins (mm orientes) comme
r
p.
p.
(q = ? ' grado dc torsion? )
Les questions a etudier sont: la dimension de Vn, la representation (matricielle) des groupes de tresses sur Vn et sa relation avec la representation dc
Burau, les traces de Markov sur 7 \ , le rapport de l'algebre Vn avec 1'aJgebre
de Birinan-Murakami-Wenzl, voir [9].
Remerciements. Get article a, etc ecrit au Centro Tnlernazionah di Fisica
Teorica a Trieste et a 1'U.R.A. 748 de FUniversite Paris 7 . Je liens a les
22
remercier pour leur hospitalite. Je remercie J-Y Charbonnel et P. Gerardin
pour leurs precieux conseils. Je remercie egalement M.S. Narasimhaii pour
sa coTifiance. Cet article est une partie des projets FONDECYT 1970970 et
DIUV 07-96.
References
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