Travaux dirigés 1

Universit´e Lille I 2009/1¡
Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308
Fiche n◦1: Groupe, sous-groupe, ordre
Exercice 1 On consid`ere sur Rla loi de composition d´efinie par x ? y =x+y−xy. Cette loi
est-elle associative, commutative ? Admet-elle un ´el´ement neutre ? Un r´eel xadmet-il un inverse
pour cette loi ? Donner une formule pour la puissance n-i`eme d’un ´el´ement xpour cette loi.
Exercice 2 Soit Eun mono¨ıde unitaire (c’est-`a-dire un ensemble muni d’une loi de composition
interne associative et poss´edant un ´el´ement neutre e). On dit qu’un ´el´ement ade Eadmet un
inverse `a gauche (resp. inverse `a droite) s’il existe b∈Etel que ba =e(resp. ab =e).
(a) Supposons qu’un ´el´ement aadmette un inverse `a gauche bqui lui-mˆeme admet un inverse
`a gauche. Montrer que aest inversible.
(b) Supposons que tout ´el´ement de Eadmette un inverse `a gauche. Montrer que Eest un
groupe.
Exercice 3 Soit Eun ensemble muni d’une loi ?associative
(i) admettant un ´el´ement neutre `a gauche e(i.e. ∀x∈E e ? x =x) et
(ii) tel que tout ´el´ement poss`ede un inverse `a gauche (i.e. ∀x∈E∃y∈E y ? x =e).
Montrer que Eest un groupe pour la loi ?.
Exercice 4 Les rationnels non nuls forment-ils un sous-groupe multiplicatif de R×?
Exercice 5 Montrer que l’ensemble {2n|n∈Z}est un sous-groupe multiplicatif de Q∗, ainsi
que l’ensemble {1+2m
1+2n|n, m ∈Z}.
Exercice 6 Montrer que l’ensemble des matrices carr´ees `a nlignes et ncolonnes de d´eterminant
non nul est un groupe pour la multiplication.
Exercice 7 On consid`ere l’ensemble Edes matrices carr´ees `a coefficients r´eels de la forme
a0
b0, a ∈R×, b ∈R
muni du produit des matrices.
(a) Montrer que Eest ainsi muni d’une loi de composition interne associative.
(b) D´eterminer tous les ´el´ements neutres `a droite de E.
(c) Montrer que En’admet pas d’´el´ement neutre `a gauche.
(d) Soit eun ´el´ement neutre `a droite. Montrer que tout ´el´ement de Eposs`ede un inverse `a
gauche pour cet ´el´ement neutre, i.e.
∀g∈E∃h∈E hg =e
Exercice 8 Soit Gun groupe v´erifiant
∀x∈G x2=e
Montrer que Gest commutatif. D´eduire que si Gest fini, alors l’ordre de Gest une puissance
de 2.
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Exercice 9 Soit Gun groupe d’ordre pair. Montrer qu’il existe un ´el´ement x∈G,x6=etel
que x2=e.
Exercice 10 Soit Gun groupe d’ordre impair. Montrer que l’application fde Gsur lui-mˆeme
donn´ee par f(x) = x2est une bijection. En d´eduire que l’´equation x2=ea une unique solution,
`a savoir x=e.
Exercice 11 Soient Gun groupe fini et mun entier premier `a l’ordre de G. Montrer que pour
tout a∈Gl’´equation xm=aadmet une unique solution.
Exercice 12 Soit Gun groupe et H < G,K < G deux sous-groupes de G. On suppose qu’il
existe deux ´el´ements a, b ∈Gtels que Ha ⊂Kb. Montrer que H < K.
Exercice 13 Soit Hune partie non vide d’un groupe G. On pose H−1={x−1;x∈H}.
Montrer les ´equivalences suivantes :
(a) H < G ⇔HH−1⊂H
(b) H < G ⇔ ∀a∈H Ha =H.
Exercice 14 Soit Gun groupe et H, K deux sous-groupes de G.
(a) Montrer que H∪Kest un sous-groupe de Gsi et seulement si H < K ou K < H.
(b) Montrer qu’un groupe ne peut ˆetre la r´eunion de deux sous-groupes propres.
Exercice 15 Montrer que dans un groupe G, toute partie non vide finie stable par la loi de
composition est un sous-groupe. Donner un contre-exemple `a la propri´et´e pr´ec´edente dans le
cas d’une partie infinie.
Exercice 16 (a) Montrer que les seuls sous-groupes de Zsont de la forme nZo`u nest un
entier.
(b) Un ´el´ement xd’un groupe est dit d’ordre fini s’il existe un entier ktel que xk=eG. Montrer
que {k∈Z|xk=eG}est alors un sous-groupe non nul de Z. On appelle ordre de xle g´en´erateur
positif de ce sous-groupe.
(c) Soit xun ´el´ement d’un groupe G. Montrer que xest d’ordre dsi et seulement si le sous-
groupe < x > de Gengendr´e par xest d’ordre d.
Exercice 17 On pose SL2(Z) = {a b
c d |a, b, c, d ∈Z, ad −bc = 1}.
(a) Montrer que SL2(Z) est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles `a coefficients
dans Q.
(b) On consid`ere les deux matrices
0−1
1 0   0 1 −1−1
D´emontrer que Aet Bsont d’ordres finis mais que AB est d’ordre infini.
Exercice 18 Soit Gun groupe ab´elien et aet bdeux ´el´ements d’ordres finis. Montrer que ab
est d’ordre fini et que l’ordre de ab divise le ppcm des ordres de aet b. Montrer que si les ordres
de aet bsont premiers entre eux, l’ordre de ab est ´egal au ppcm des ordres de aet de b.
Exercice 19 Soit Gun groupe commutatif. Montrer que l’ensemble des ´el´ements d’ordre fini
de Gforme un sous-groupe de G.
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Exercice 20 Montrer qu’un sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique. Montrer que si d|n
alors il existe un unique sous-groupe de Z/nZde cardinal d.
Exercice 21 D´eterminer tous les sous-groupes de µ2×µ2.
Exercice 22 Soient Gun groupe fini et {Gi}i∈Ila famille des sous-groupes propres maximaux
de G. On pose F=Ti∈IGi. Montrer que Fest l’ensemble des ´el´ements ade Gqui sont tels
que, pour toute partie Sde Gcontenant aet engendrant G,S− {a}engendre encore G.
Exercice 23 D´eterminer tous les groupes d’ordre 65. En d´eduire qu’un groupe non commu-
tatif poss`ede au moins 6 ´el´ements. Montrer que le groupe sym´etrique S3est non commutatif.
Exercice 24 Le centre d’un groupe Gest l’ensemble Z(G) des ´el´ements de Gqui commutent
`a tous les ´el´ements de G. V´erifier que Z(G) est un sous-groupe ab´elien de G. Montrer que si G
poss`ede un unique ´el´ement d’ordre 2, alors cet ´el´ement est dans le centre Z(G).
Exercice 25 Soient Gun groupe et Het Kdeux sous-groupes de G.
(a) Montrer que l’ensemble HK ={xy |x∈H, y ∈K}est un sous-groupe de Gsi et seulement
si HK =KH.
(b) Montrer que si Het Ksont finis alors |HK|=|H|·|K|
|H∩K|.
Exercice 26 D´eterminer tous les sous-groupes du groupe sym´etrique S3.
Exercice 27 Montrer que dans un groupe d’ordre 35, il existe un ´el´ement d’ordre 5 et un
´el´ement d’ordre 7.
Exercice 28 Soit Gun groupe d’ordre 2pavec pun nombre premier. Montrer qu’il existe un
´el´ement d’ordre 2 et un ´el´ement d’ordre p.
Exercice 29 Soient n>0 un entier et pun nombre premier tels que pdivise 22n+ 1. Montrer
que pest de la forme p=k2n+1 + 1 o`u kest un entier.
Exercice 30 Montrer que tout entier n > 0 divise toujours ϕ(2n−1) (o`u ϕest la fonction
indicatrice d’Euler).
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Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308
Fiche n◦1: Groupe, sous-groupe, ordre
Indication 1 Les premi`eres questions ne pr´esentent aucune difficult´e.
Pour la derni`ere, le plus difficile (et le plus int´eressant) est de deviner la formule. Pour cela,
calculer la puissance n-i`eme pour n= 1,2,3,4,5. . .. (La formule est donn´ee dans la page
“Corrections”).
Indication 3 On pourra montrer les points suivants :
(a) x ? y =e⇒y ? x =e
(b) L’´el´ement neutre `a gauche est unique.
(c) L’´el´ement neutre `a gauche est un ´el´ement neutre `a droite aussi.
(d) Tout ´el´ement est inversible.
Indication 4 Oui.
Indication 5 Aucune difficult´e.
Indication 6 Pour l’existence d’un inverse pour toute matrice n×nde d´eterminant non nul,
noter que det(A)6= 0 entraˆıne que la matrice Aest inversible (comme matrice) et que la matrice
A−1, qui est de d´eterminant 1/det(A)6= 0 est alors l’inverse de Apour le groupe en question.
Indication 7 Aucune difficult´e.
Indication 9 Consid´erer la partition de Gen sous-ensembles du type {x, x−1}.
Indication 10 On commence par montrer que fest surjective, en notant que si |G|= 2m+1,
alors pour tout y∈Gon a y= (ym+1)2.
Indication 11 xm=a⇔x=auo`u um +v|G|= 1.
Indication 13 Standard.
Indication 16 Pour le (c), introduire le morphisme Z→< x > qui associe nx `a tout entier
n∈Z. Ce morphisme est surjectif et de noyau dZo`u dest l’ordre de x.
Indication 17 Aucune difficult´e.
Indication 19 Cons´equence de l’exercice 18.
Indication 20 Standard.
Indication 21 {1}, µ2× {1},{1} × µ2,{(1,1),(i, i)}, µ2×µ2.
Indication 23 Standard.
Indication 24 Pour la seconde question, noter que si xest d’ordre 2 dans G, alors yxy−1l’est
aussi, pour tout y∈G.
Indication 27 Commencer par analyser l’ordre possible des ´el´ements de G.
Indication 29 Trouver l’ordre de 2 dans (Z/pZ)×.
Indication 30 Trouver l’ordre de 2 modulo 2n−1.
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Alg`ebre et th´eorie des nombres Math308
Fiche n◦1: Groupe, sous-groupe, ordre
Correction 1 Pour la derni`ere question, v´erifier par r´ecurrence que x? n =
n
X
k=1
(−1)k−1Ck
nxk.
Correction 2 (a) D´esignant par bl’inverse `a gauche de aet par cl’inverse `a gauche de b, on
aab = (cb)(ab) = c(ba)b=cb =e. L’´el´ement best donc l’inverse de a.
(b) d´ecoule imm´ediatement de (a).
Correction 3 (a) Pour x, y ∈Equelconques, notons x0et y0leurs inverses `a gauche respectifs.
Si xy =e, on a aussi yx = (x0x)yx =x0(xy)x=x0x=e.
(b) Soit fun ´el´ement neutre `a gauche. On a donc fe =e. D’apr`es (a), on a aussi ef =e,
c’est-`a-dire f=e.
(c) Pour tout x∈E, on a xe =x(x0x) = (xx0)x=xpuisque d’apr`es (a), xx0=e.
(d) r´esulte alors de (a), (b) et (c).
Correction 8 Pour tous x, y ∈G, on a xyx−1y−1=xyxy = (xy)(xy) = 1 c’est-`a-dire xy =yx.
Donc Gest ab´elien. Si Gest fini, il peut ˆetre consid´er´e comme espace vectoriel sur le corps
Z/2Z, et est alors n´ecessairement de dimension finie, ce qui donne Gisomorphe comme espace
vectoriel `a (Z/2Z)net donc |G|= 2n.
Correction 9 En groupant chaque ´el´ement x∈Gavec son inverse x−1, on obtient une par-
tition de Gen sous-ensembles {y, y−1}qui ont deux ´el´ements sauf si y=y−1, c’est-`a-dire si
y2=e. L’´el´ement neutre eest un tel ´el´ement y. Ce ne peut pas ˆetre le seul, sinon Gserait
d’ordre impair.
Correction 12 Pour tout h∈H, on a ha =khbpour un certain kh∈K. En ´ecrivant
ha =h(ea) = hkeb, on obtient kh=hke, ce qui donne h=kh(ke)−1∈K.
Correction 14 (a) Supposons que H∪Ksoit un sous-groupe de Get que Hne soit pas inclus
dans K, c’est-`a-dire, qu’il existe h∈Htel que h /∈K. Montrons que K⊂H. Soit k∈K
quelconque. On a hk ∈H∪K. Mais hk /∈Kcar sinon h= (hk)k−1∈K. D’o`u hk ∈Het donc
k=h−1(hk)∈H.
(b) d´ecoule imm´ediatement de (a).
Correction 15 Soit Hune partie finie non vide de Gstable par la loi de composition. Pour
montrer que Hest un sous-groupe, il reste `a voir que pour tout x∈H,x−1∈H. Les puissances
xko`u k∈Nrestant dans H, il existe m, n ∈Ntels que m > n et xm=xn. On a alors
xm−n−1·x= 1, soit x−1=xm−n−1, ce qui montre que x−1∈H.
Si Hest infini, la propri´et´e pr´ec´edente n’est pas vraie en g´en´eral. Par exemple Nest une partie
stable de Zpour l’addition mais n’en est pas un sous-groupe.
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