Introduction à lgoptique guidée et aux fibres optiques Cours de M1
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Introduction à l’optique guidée et aux …bres optiques Cours de M1 & 2nde année ingénieur Institut d’Optique Graduate School Jean-Michel JONATHAN Novembre 2009 ii Table des matières 1 Introduction des notions de base 1.1 Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Généralités sur les modes de propagation . . . . . . . 1.2.1 Notion de mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Condition de propagation guidée (onde TE) . . 1.2.3 Structure des champs guidés : modes guidés . . 1.2.4 Dispersion du guide . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Orthogonalité des modes guidés . . . . . . . . . 1.2.6 Nombre de modes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le guide plan symétrique à saut d’indice . . . . . . . . 1.3.1 Guidage par ré‡exion totale . . . . . . . . . . . 1.3.2 Condition de guidage (cas TE) . . . . . . . . . 1.3.3 Constantes de propagation et nombre de modes 1.3.4 Distribution de champ (cas TE) . . . . . . . . 1.3.5 Relation de dispersion et vitesse de groupe . . 1.3.6 Déplacement de Goos-Hânchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cas TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Electromagnétique du guide plan 2.1 Formalisme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Distributions transverses de champs dans le guide plan 2.1.3 Modes transverses électriques (TE) du guide plan . . . 2.1.4 Modes transverses magnétiques (TM) du guide plan . 2.1.5 Non transversalité du champ optique guidé . . . . . . 2.2 Le guide à saut d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Equation de propagation des modes TE . . . . . . . . 2.2.2 Modes guidés TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Détermination graphique des modes guidés TE . . . . 2.2.4 Indice e¤ectif et constante de propagation normalisée 2.2.5 Modes TM du guide plan à saut d’indice . . . . . . . . 2.2.6 Biréfringence du guide plan à saut d’indice . . . . . . 2.2.7 Transversalité du champ guidé . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Puissance transportée par un mode du guide plan . . 2.2.9 Excitation des modes guidés . . . . . . . . . . . . . . . 3 La notion de guidage faible et ses applications 3.1 Le Guidage faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equations de propagation . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Composantes transverses et longitudinales . . . . 3.1.3 L’approximation du guidage faible . . . . . . . . 3.2 Le guide plan à indice quadratique . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Modes du guide quadratique . . . . . . . . . . . 3.2.2 Couplage d’une onde gaussienne . . . . . . . . . 3.2.3 Dispersion inter-modes dans le guide quadratique iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 2 3 4 4 5 6 6 6 6 8 9 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 14 15 16 16 17 17 18 . . . . . . . . 21 21 21 22 22 23 23 24 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv TABLE DES MATIÈRES 4 Les …bres optiques 4.1 Structure modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Fibre circulaire à saut d’indice . . . . . . . . . . . 4.1.3 Modes guidés LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Description standard . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Structure de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Approximation gaussienne du mode LP01 et applications 4.2.1 Equivalence de deux …bres de rayons di¤érents . . 4.2.2 Pertes par couplage entre deux …bres . . . . . . . . 4.3 Dispersion d’une …bre monomode . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Dispersion liée au guide . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Dispersion matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 La dispersion totale de la …bre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 27 28 29 30 32 33 33 33 35 35 36 36 38 5 Couplage de modes 5.1 Théorie des modes couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Milieu non perturbé . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Milieu perturbé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Résolution de l’équation perturbée . . . . . . . . 5.1.4 Notion de couplage résonnant . . . . . . . . . . . 5.2 Couplages entre guides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Couplage entre deux guides . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Cas de deux guides identiques . . . . . . . . . . . 5.2.3 Evaluation des constantes de couplage . . . . . . 5.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Couplages par réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 couplage co-directionnel de deux modes guidés . 5.3.2 Couplage d’un mode guidé et d’un mode radiatif 5.3.3 Couplage contra-directionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 39 39 40 41 41 41 42 43 43 44 44 46 46 . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 1 Introduction des notions de base 1.1 Avertissement Nous allons, dans ce premier chapitre, utiliser les notions connues d’optique physique pour – construire une perception intuitive de ce qu’est le guidage des ondes optiques, – introduire les principales notions de l’optique des ondes guidées. Il ne s’agit pas ici d’obtenir des résultats exploitables, mais de faire saisir l’origine de concepts sous-jacents en optique guidée. On s’attachera donc à comprendre les implications physiques des résultats, d’avantage qu’à les retenir pour une application future. 1.2 Généralités sur les modes de propagation On entend souvent décrire les guides d’ondes optiques, comme des "tuyaux" où un faisceau de lumière se propage par une suite de ré‡exions sur les surfaces. selon la nature de ces surfaces, on parle de guide métallique ou de guide diélectrique. Dans cet ordre d’idées, considérons un guide constitué de deux ré‡ecteurs métalliques plans parfaitement ré‡échissants, parallèles et distants de d. x y d/2 -d/2 z θ Figure I-1-a : Geométrie du guide à miroirs On peut considérer, comme sur la Figure I-1-a, les ré‡exions successives d’un pinceau lumineux sur les deux parois parfaitement ré‡échissantes. Elles se produisent quelque soit la valeur de l’angle entre ce pinceau et la direction moyenne de propagation z. Cette description peu sembler juste dans le cas d’un pinceau de lumière dont on peut négliger la di¤raction et lorsque l’épaisseur d du guide est grande devant la longueur de cohérence de la lumière. Elle ignore en e¤et l’élargissement du faisceau lumineux par di¤raction et les interférences qui peuvent apparaitre entre di¤érents faisceaux incidents et ré‡échis. Cette interprétation laisse faussement penser que tout faisceau peut se propager dans le guide. Nous allons nous placer dans le cas où le guide est entièrement rempli par l’onde. On doit alors décrire les interférences qui s’y produisent et cela nous conduira à une condition de guidage. 1.2.1 Notion de mode Une onde plane in…nie se propage sans déformation dans l’espace libre, et toute onde de l’espace libre se décompose en une superposition unique d’ondes planes : les onde planes sont des modes de propagation de la lumière en espace libre. Pour des ondes de pulsation !, ces modes sont caratérisés par : 1 2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION DES NOTIONS DE BASE – une distribution transverse ( dans le plan orthogonal à la direction de propagation) d’amplitude constante et invariante par propagation – une constante de propagation k qui est le module du vecteur d’onde ~k. La relation qui lie k et ! est la relation de dispersion. Nous allons montrer que, de la même façon, une onde guidée peut etre totalement décrite comme une superposition unique de modes et que pour une onde de pulsation !, ces modes sont caractérisés par – une distribution transverse ( dans le plan orthogonal à la direction de propagation) d’amplitude, invariante par propagation, – une constante de propagation qui est le module du vecteur d’onde de propagation de cette distribution d’amplitude. 1.2.2 Condition de propagation guidée (onde TE) Nous allons tout d’abord décrire les interférences entre ondes planes quasi-monochromatiques, qui règnent à l’interieur du guide et montrer qu’à cause de ces interférences, seul un ensemble discret de modes optiques peut se propager. Sur la …gure I-1-b, les ondes planes sont réprésentées indi¤éremment par les rayons qui représentent la direction de propagation ou par les plans d’onde. L’onde plane ascendante après le point B provient de l’onde plane ascendante arrivant en A; aussi bien par le trajet (AB 0 ) que par le trajet (AB), incluant deux ré‡exions. Cette onde plane est unique. Ces deux chemins optiques doivent donc nécessairement di¤érer d’un nombre entier de longueurs d’ondes pour qu’elle transporte de l’énergie et que cette énergie soit constante le long de z. On se placera ici dans le cas d’ondes planes dont le champ électrique est parallèlement au plan du guide. On parle alors d’onde TE pour transverse electrique. On pourrait faire le même calcul pour une onde dont le champ magnétique serait parrallèle au plan du guide. On parle alors d’onde TM pour transverse magnétique. y θ A -d/2 z 0 -d/2 B Figure I-1-b : Condition de guidage La …gure I-1-b pose les hypothèses du calcul dans le cas d’une onde TE. La di¤érence de trajet géométrique s’écrit (AB) (AB 0 ) = 2d sin (1.1) et en tenant compte, à chaque ré‡exion sur la surface métallique, d’un déphasage l’angle d’incidence, on obtient la condition d’interférence [k0 (AB) + 2 Cette condition impose à l’angle k0 (AB 0 ) = p2 avec k0 = r] m = indépendant de 2 (1.2) O de ne prendre que certaines valeurs particulières sin r =m 0 2d m dé…nies par : avec m = p + 1 (1.3) C’est la condition de propagation guidée. Chaque valeur de m, dé…nit une onde plane ascendante et une onde plane descendante de vecteurs + d’ondes respectifs ~km et ~km . Soit kym la composante transverse (selon y ) de ~k1 et m sa composante longitudinale (selon x ) : ~k + = m m = k0 cos m + kym = k0 sin m = m d et ~km = m kym = = k0 cos m k0 sin m = m d (1.4) 1.2. GÉNÉRALITÉS SUR LES MODES DE PROPAGATION 3 La représentation graphique (…gure I-2) permet de remarquer que – les deux ondes correspondant à une même valeur de m ont même constante de propagation longitudinale et des constantes de propagation transversales opposées: – la composante transverse de la constante de propagation est un multiple de d0 – la constante de propagation longitudinale prend ses valeurs entre 0 et k0 : k y = k0 sinθ nk 0 m θm π d 4 3 2 1 βm nk 0 β = k0 cosθ Figure I-2 : composantes longitudinales et transverses de la constante de propagation des ondes guidées 1.2.3 Structure des champs guidés : modes guidés Le déphasage de à la ré‡exion sur la surface métallique parfaitement conductrice implique que le champ total (résultant de la superposition des ondes planes de même constante de propagation longitudinale m ), est nul sur la surface de ré‡exion. Une première conséquence de cette condition est que l’onde guidée correspondant à m = 0 n’existe pas. La relation (1.4) montre en e¤et que l’onde ascendante et l’onde descendante dégénèrent dans ce cas en une unique onde plane se propageant selon l’axe du guide ; si son amplitude est nulle sur la surface du guide, elle est nulle partout. Pour toutes les autres valeurs de m, la condition d’accord de phase (1.2) implique que ces deux ondes ont des constantes de propagation transverses opposées (1.4). Leur superposition crée une structure de champ + qui est la …gure d’interférences stationnaire de deux ondes contrepropageantes de vecteurs d’ondes kym et kym . cette structure se propage sans déformation selon z , avec la constante de propagation m : On appelle "mode guidé" cette structure transverse se propageant sans déformation selon z: Elle peut être caractérisée à partir des deux ondes planes en question : Ex+ (y; z) = Am exp m (i mz + ikym y) Ex (y; z) = Am exp (i mz ikym y) exp i m (1.5) est le déphasage entre les deux ondes en y = 0: C’est la moitié du déphasage dé…ni par la relation (1.2) : m = p = (m + 1) : Ce facteur de phase, implique l’existence de modes guidés ”symétriques” ou ”anti-symétriques”. En e¤et, le champ résultant de la superposition des deux ondes planes doit être nul en y = d2 : Il s’écrit donc : Si m est impair Si m est pair : : Ex (y; z) = 2Am cos kym y exp i Ex (y; z) = 2iAm sin kym y exp i mz mz (1.6) 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION DES NOTIONS DE BASE y +d/2 0 z -d/2 m=2 m=1 m=3 Figure I-3-a : modes m=1,2,3 Comme le montre la …gure I-3-a, les modes impairs sont symétriques et les modes pairs, anti-symétriques. Les relations (1.6) décrivent bien les modes comme des structures transverses se propageant sans déformation selon z: m , qui dé…nit les angles m de propagation des ondes planes qui interfèrent pour donner cette structure, donne aussi le nombre d’extrema que l’on y observe. 1.2.4 Dispersion du guide Au travers de la relation (1.4) m dé…nit aussi la constante de propagation m du mode : 2 !2 m2 2 (1.7) 2 c d Cette relation est une ”relation de dispersion”car elle dé…nit la relation entre la constante de propagation de l’onde à sa pulsation. Le guidage introduit donc une dispersion di¤érente de celle du milieu de propagation. m décroît avec l’ordre m du mode. Cela rend compte du fait que la vitesse de phase est d’autant plus faible que les ondes planes sont fortement inclinées par rapport à l’axe du guide : 1 v 2 = c2 2 2 1 m2 !2 dc 2 2 m = On peut formaliser ce résultat en calculant à partir de (1.7), la vitesse de groupe de la structure de champ : d! vg = = c: cos m (1.8) d d θm 2d cotθm temps = 2 vm = d 1 sin θm c distance temps Figure I-3-b : calcul géométrique de la vitesse de groupe On peut aussi retrouver ce résultat en calculant géométriquement la vitesse de propagation d’une information portée par un rayon . La …gure I-3-b montre en e¤et que pour parcourir la distance l = 2d cot m il faut un temps t = sind m 2c : 1.2.5 Orthogonalité des modes guidés Il est essentiel pour la suite de remarquer que les modes dé…nis par les relations (1.6) sont orthogonaux. En e¤et,si l 6= m, alors Z +d=2 Z +d=2 Z +d=2 Am : cos kym y:Al : sin kyl y:dy = Am : sin kym y:Al : sin kyl y:dy = Am : cos kym y:Al : cos kyl y:dy = 0 d=2 d=2 d=2 (1.9) 1.2. GÉNÉRALITÉS SUR LES MODES DE PROPAGATION 5 On dé…nit des modes um (y) orthogonaux et normés, en notant : Ex (y; z) = am :um : exp i mz (1.10) où am est l’amplitude du mode. On trouve : Si m est pair : Si m est impair : p am = j 2d p am = 2d um (y) = um (y) = . En e¤et : si l 6= m, R +d=2 alors d=2 um (y) :ul (y) :dy = 0 et q 2 sin kym y qd 2 d (1.11) cos kym y R +d=2 d=2 u2m (y) :dy = 1 (1.12) Le champ total dans le guide s’écrit donc de façon générale comme une combinaison linéaire de ces modes : Ex (y; z) = max X a0m um (y) exp i mz (1.13) m=0 Il est important de remarquer que l’intégrale : Z +d=2 Ex (y; z) :um (y) :dy = a0m : exp i mz (1.14) d=2 appelée intégrale de recouvrement entre le champ dans le guide et le mode m, dé…nit l’amplitude a0m du mode m contenu dans le champ E: On notera aussi que bien qu’un mode soit une structure transverse invariante par propagation, ce n’est pas le cas de la superposition de deux modes. Par exemple, la structure résultant de la superposition des modes m = 1 et m = 2 est périodique le long de la direction de propagation. Mode m=1 Modes m=1 et m=2 Mode m=2 1.2.6 Nombre de modes Dans ce guide très particulier, le champ est nul sur les surfaces. Le mode m = 0 qui correspondrait à un champ partout nul n’a pas de signi…cation. Par ailleurs, la valeur maximale de m est dé…nie par la condition : sin m Le mode m ne peut exister que si 0 =m 2d 0 0 1 soit 0 < m 2d mmax = Ent 2d (1.15) 0 m, c’est à dire si max = 2d m ou bien min c = m 2d (1.16) min est la fréquence de coupure du mode m. Ce mode cesse de se propager dès que la fréquence devient inférieure à la fréquence de coupure. En particulier, dans le cas de ce guide, il n’y a plus aucune c :Le nombre de modes dans le guide croît donc propagation possible lorsque la fréquence est inférieure à 2d lorsque la fréquence de l’onde qui s’y propage augmente.(ou que sa longueur d’onde diminue). 6 1.3 CHAPITRE 1. INTRODUCTION DES NOTIONS DE BASE Le guide plan symétrique à saut d’indice Nous aborderons ici ( toujours au niveau des notions générales) un guide plus réaliste que le précédent. Un guide plan diélectrique est constitué d’une couche diélectrique d’indice de réfraction n1 et d’épaisseur d qui constitue le guide proprement dit. Elle est entourée de deux milieux diélectriques semi-in…nis, le substrat et le superstrat, d’indices de réfraction supérieurs à n1 : Si ces deux milieux ont le même indice n2 ; le guide est dit symétrique. Le milieu composite ainsi constitué est invariant par translation dans les directions x et z: Il présente deux ”sauts d’indice” dans la direction y: Les miroirs du chapitre précédent sont donc remplacés par les dioptres plans séparant deux milieux diélectriques dont les propriétés de ré‡exion dépendent cette fois de l’angle d’incidence des rayons. 1.3.1 Guidage par ré‡exion totale Si l’angle entre le rayon lumineux et l’axe z est grand, la lumière est partiellement transmise et partiellement ré‡échie. Elle n’est pas con…née dans le milieu d’épaisseur d: La condition pour obtenir une ré‡exion totale aux interfaces (et donc un con…nement) est la condition de ré‡exion totale. Dans le cas des guides d’ondes, on l’exprime en fonction de l’angle plutôt que de l’angle d’incidence i habituel (Figure I-4) : i ic = sin 1 n2 n1 ou bien c = Milieux sans pertes 2 sin 1 n2 n1 (1.17) n1 >n2 Superstrat Guide n2 d Substrat n1 θ θ n2 Rayons non guidés Rayons guidés Figure I-4 : structure du guide plan symétrique et notations 1.3.2 Condition de guidage (cas TE) La condition de guidage peut être établie comme dans le cas précédent. Cependant, le déphasage r introduit par la ré‡exion sur les interfaces dépend désormais de l’angle d’incidence et de la polarisation de l’onde optique. Lorsque cette polarisation est transverse électrique (ondes TE), ce déphasage à la ré‡exion est dé…ni, lorsque c par cos2 ic tan = 2 cos2 i r 1 2 1 sin2 = sin2 1 2 c 1 (1.18) La condition de guidage s’écrit alors : tan 2 2 sin m sin2 = sin2 c 1 2 1 avec c (1.19) et elle n’a pas de solution analytique. 1.3.3 Constantes de propagation et nombre de modes (cas TE) On résout graphiquement cette équation en traçant les deux membres de l’équation (1.18) en fonction de sin . 1.3. LE GUIDE PLAN SYMÉTRIQUE À SAUT D’INDICE 7 – Le premier membre est une série périodique (de période 2d ) de branches positives de la fonction tan : – Le second membre est une fonction décroissante dé…nie pour 0 c: On notera sur la …gure I-5, trois di¤érences par rapport au guide précédent : 1. Les valeurs de m ne sont plus équidistantes, m=0 4 2 6 8 10 8 6 4 2 sinθ λ 2d sinθc Figure I-5-a : Les modes TE du guide plan symétrique. Résolution graphique . On dé…nit, comme précédemment, les composantes longitudinale et transverse de la constante de propagation : (1.20) m = n1 k0 cos m et kym = n1 k0 sin m avec les conditions sur m : n2 n1 cos n1k0 1 et 0 m sin sin m (1.21) c ky n2k0 n1k0 sinθc M M θc m m θm 0 0 n2k0 n1k0 β Figure I-5-b : Les modes TE du guide plan symétrique. Diagramme des constantes de propagation. m est nécessairement inférieur à c: Le nombre de modes TE est alors donné par : 3 2 s 2 n 2d 2d 2 5 M = 1 + Ent 1 sin c = 1 + Ent 4 n1 (1.22) 2. Le mode m = 0 (mode fondamental) existe toujours, quelle que soit la longueur d’onde de la lumière : sa fréquence de coupure est nulle. Le guide est monomode (mode m = 0 seul) si q 0 d (1.23) :en introduisant l’ouverture numérique O:N: = n21 n22 2 O:N: Ce résultat est essentiel : on peut toujours propager de la lumière dans un guide diélectrique. 3. La limitation de la valeur maximale de m par la condition de ré‡exion totale re‡ète la limitation de l’ouverture numérique de la …bre. Le nombre de modes TE s’écrit aussi : M = 1 + Ent 2d 0 O:N: = 1 + Ent 2d O:N: c (1.24) 8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION DES NOTIONS DE BASE La fréquence de coupure du mode m est m =m c 1 2d O:N: (1.25) Le mode m = 0 a donc bien une fréquence de coupure nulle indiquant qu’il existe toujours. 1.3.4 Distribution de champ (cas TE) Pour décrire la distribution de champ dans le guide plan, il nous faut traiter séparément les trois milieux qui constituent le guide. A l’intérieur du guide : ( d 2 d 2) y Le champ est la superposition de deux ondes planes, déphasées de Exint (x; y) = am um (y) exp i mx avec en y = 0 : cos (k0 n1 y sin sin (k0 n1 y sin um (y) / m) m) pour m = 0; 2; 4; ::: pour m = 1; 3; 5; ::: (1.26) On remarquera que le nombre d’extrema du champ à l’intérieur du guide vaut m + 1: d 2 Hors du guide : (y d 2) et y Les solutions de la forme Exext (x; y) = a0m u0m (y) exp i m x; sont déterminés par l’équation d’Helmholtz : Exext (y; z) + n22 k02 Exext (y; z) = 0 On obtient aisément d2 u0m (y) dy 2 2 0 m um (y) = 0 avec m = q 2 m n22 k02 = n2 k0 cos2 cos2 1=2 m 1 : (1.27) c Les solutions sont des ondes évanescentes dont l’amplitude doit nécessairement tendre vers 0 à l’in…ni. On a donc : 8 d < exp m y pour y 2 ext 0 0 0 Ex (x; y) = am um (y) exp i m x avec um (y) / (1.28) : d exp m y pour y 2 Les coe¢ cients am et a0m sont déterminés par continuité aux interfaces. m=0 m=1 m=2 m=3 Figure I-6 : exemples de structures de modes m , appelé coe¢ cient d’extinction, est une fonction décroissante de m: Le champ s’étend d’autant plus en dehors du guide, que m est grand. Il est donc intéressant d’introduire une quantité nouvelle décrivant la qualité du con…nement du champ à l’intérieur du guide. C’est le facteur de con…nement m , égal à la fraction de puissance con…née dans le guide soit : m R + d2 d 2 =R +1 1 (m) Ex (m) Ex 2 (y; z) dy 2 (y; z) dy R + d2 d 2 = R +1 1 u2m (y) dy u2m (y) dy (1.29) 1.3. LE GUIDE PLAN SYMÉTRIQUE À SAUT D’INDICE 1.3.5 9 Relation de dispersion et vitesse de groupe La condition de guidage permet, comme dans le cas précédent, d’obtenir une relation de dispersion. En utilisant c n2 cos m = et cos c = n1 ! n1 on trouve " r # v u 2 n22 !2 u d n21 ! 2 2 tan m = t n2 ! 2 c (1.30) 2 2 1 2 c 2 2 c Cette équation n’a de solution que si le terme sous le radical du second membre est positif. Dans le plan ( ; !) ; les solutions sont donc comprises entre les droites ! = nc2 et ! = n1c! : La forme générale des solutions est représentée sur la …gure I-7-a. Elle montre en particulier qu’à ! donné, c le mode le plus bas a une vitesse de groupe de l’ordre de vg n1 comme s’il était entièrement con…né dans c c le guide. Dans les mêmes conditions, le mode le plus haut a une vitesse de groupe vg n2 > n1 ; comme s’il se propageait essentiellement hors du guide. ωn2 ωn <β < 1 c c ω ω> c β n2 m=2 m = 2 m=1 m = 1 m=0 m = 0 c ω< β n1 β Figure I-7-a : représentation schématique des solutions de la relation de dispersion ; 1.3.6 Déplacement de Goos-Hânchen On peut exprimer la vitesse de groupe vg en écrivant la dérivée totale par rapport à ; de la condition de guidage (1.2) : 2 3 n21 ! @! 2 5 = @ r + @ r @! q d 4 q 2c : (1.31) 2 !2 @ @ @! @ n1 ! 2 n 2 2 1 c2 c2 Les deux termes du premier membre font apparaître des fonctions connues de @ r étant homogène à une longueur, on pose @ z= et de même, @ r @! @ @ m. Dans le second membre, r est homogène à un temps et l’on pose @ r : @! t= Cette expression s’écrit donc : d n1 c sin vg m 1 tan = z t:vg m si bien que la vitesse de groupe s’exprime sous la forme : vg = C’est le rapport entre d: cot d sin m n1 :c m + z + t (1.32) 10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION DES NOTIONS DE BASE – un parcours e¤ectif d: cot m + z dont une partie (d: cot m ) s’e¤ectue à l’intérieur du guide et le reste ( z) dans le substrat, – un temps e¤ectif sind m : nc1 + t dont le premier terme est le temps de parcours à l’intérieur du guide et le reste, le temps de parcours dans le substrat. ∆z d sin θm d cot θm Figure I-7- b : Notations pour le calcul géomètrique de la vitesse de groupe. On peut donc (Figure I-7-b) interpréter l’expression de vg comme résultant, sur une période de la trajectoire d’un rayon, du trajet dans le guide à miroir augmenté d’un trajet d’une longueur z e¤ectué en un temps t: Le déphasage à la ré‡exion est ici décrit comme une propagation supplémentaire de z = @@ r à l’extérieur du guide : le faisceau ré‡échi est donc décalé longitudinalement : c’est le déplacement de Goos-Hânchen. On peut, de façon équivalente, dé…nir une épaisseur e¤ective du guide en dé…nissant l’endroit où les faisceaux incident et ré‡échi se coupent : def f = d + On peut montrer que la vitesse de propagation d’autant plus grande que l’angle augmente. z t = z: tan m (1.33) c n1 cos au cours de ce parcours supplémentaire est Chapitre 2 Electromagnétique du guide plan Nous traiterons ici le guide plan d’un point de vue électromagnétique en décrivant la propagation des ondes dans un milieu dont l’indice de réfraction est invariant selon les directions y et z; mais varie dans la direction x: Nous étudierons le cas du guide plan symétrique à saut d’indice, considéré dans le chapitre précédent puis celui du guide à pro…l parabolique. Cette approche permettra de dé…nir de façon précise, les notions introduites jusqu’à présent. 2.1 2.1.1 Formalisme général Les équations de Maxwell ~ , les inductions électrique D ~ et magnétique Dans tout ce qui suit, les champs électrique E~ et magnétique1 H ~ B sont des grandeurs vectorielles à composantes réelles, fonctions des coordonnées de temps et d’espace (~r; t) : . Les milieux dans lesquels se propagent les ondes, ne contiennent ni charges ni courants, les équations de Maxwell s’écrivent : ! Rot E~ = ~ @B @t ! ~ @ D~ Rot H = @t (a) ~ =0 div D (c) (b) ~ =0 div B (d) (2.1) Les milieux dans lesquels se propagent les ondes sont supposés être linéaires, isotropes, non conducteurs et non magnétiques. Par contre la structure constituant le guide ne peut être considérée comme homogène.Dans le cas d’une onde quasi-monochromatique, les équations constitutives du milieu s’écrivent : ~= B ~ 0H (a) ~ = "0 "r E~ = "0 n2 (x; y; z) E~ D (b) (2.2) 12 =1 (2.3) On rappelle que 0 2.1.2 = 4 :10 7 "0 = 8; 84 10 et "0 2 0c Distributions transverses de champs dans le guide plan On recherche des champs de pulsation !, se propageant dans la direction z dans lequel la structure est invariante. Ils sont donc de la forme : n o n o ~ (x; y) exp i (!t ~ (x; y; z; t) = Re H ~ (x; y) exp i (!t E~ (x; y; z; t) = Re E z) H z) 1 Il existe une ambiguité sur les dénominations de H ~ et B. ~ ~ Il constitue avec le champ électrique E, ~ les L’habitude française est de nommer "champ magnétique", le vecteur B. grandeurs fondamentales qui dé…nissent la force de Laplace et donc l’intéraction lumière-matière. Cette convention est celle en vigueur dans le cours d’électromagnétisme de première année. ~ et "champ L’habitude anglo-saxonne, qui tend à se généraliser, consiste à nommer "induction magnétique" le vecteur B. ~ Ce choix donne en particulier une forme plus symétrique aux équations constitutives du milieu. Cette magnétique" le vecteur H. convention est celle en vigueur dans ce cours. ~ H, ~ D ~ et B, ~ sans leur donner leur nom. On peut, sans dommage ne parler que de E, 11 12 CHAPITRE 2. ELECTROMAGNÉTIQUE DU GUIDE PLAN ~ (x; y) et H ~ (x; y) sont les distributions transverses de champ qui est la constante de propagation selon z: E se propagent sans déformation selon z. L’invariance de la structure selon y; implique que ces distributions sont aussi invariantes en y. Les composantes des champs s’écrivent en fait : Ej (x; y; z; t) = Re fEj (x) exp i (!t z)g Hj (x; y; z; t) = Re fHj (x) exp i (!t z)g avec j = x; y; z (2.4) En remplaçant les champs par leurs expression (2.4) dans les équations ! Rot E~ = !~ ~ Rot H = "0 n2 @@tE ~ @H 0 @t ~ et H ~ . Elles peuvent être regroupées en 2 groupes de on obtient 6 équations reliant les 6 composantes de E 3 équations indépendantes. 2.1.3 Modes transverses électriques (TE) du guide plan Le premier groupe d’équations lie Ey à Hx et Hz . i Ey = i! 0 Hx dEy = dx i! 0 Hz i!"0 n2 (x) Ey = i Hx dHz dx (2.5) Les solutions de ce système sont des structures de champ électromagnétique dont le champ électrique E~ , qui n’a de composante selon y, est perpendiculaire à la direction de propagation z et au plan d’incidence, mais ~ , s’il est bien orthogonal à E, ~ n’est pas transverse puisqu’il a deux composantes, dont le champ magnétique H l’une selon x (dans le plan d’incidence) et l’autre selon la direction de propagation z. C’est ce que l’on appelle un mode transverse électrique (mode TE). 2.1.4 Modes transverses magnétiques (TM) du guide plan Le second groupe d’équations lie Hy à Ex et Ez du champ électrique. Il décrit cette fois des modes que ~ est orthogonal à la direction l’on dit transverses magnétiques (modes TM) dont seul le champ magnétique H de propagation : i Hy = i!"0 n2 (x) Ex 2.1.5 dHy = i!"0 n2 (x) Ez dx i! 0 Hy = i Ex + dEz dx (2.6) Non transversalité du champ optique guidé La solution générale des équations de Maxwell dans le guide est donc une combinaison linéaire de modes TE et TM. Il ne s’agit pas des modes transverses électromagnétiques (modes TEM) de la propagation libre : les onde électromagnétiques guidées ne sont en général pas transverses : le champ électrique, le champ magnétique ou les deux, peuvent avoir des composantes non nulles dans la direction de propagation. 2.2 Le guide à saut d’indice Nous utiliserons d’abord ces résultats dans le cas du guide symétrique à saut d’indice (Figure II-1). Le guide lui-même a une épaisseur d et un indice de réfraction n1 homogène, le substrat et le "superstrat" sont semi-in…nis et ont le même indice n2 homogène et inférieur à n1 :On y étudie la propagation d’une onde monochromatique de pulsation !. n1 n(x) n2 n2 − d 2 d 2 x Figure II-1 : distribution d’indice du guide plan symétrique à saut d’indice. 2.2. LE GUIDE À SAUT D’INDICE 13 Nous détaillerons le calcul et ses résultats dans le cas des modes TE, puis donnerons les résultats pour les modes TM. 2.2.1 Equation de propagation des modes TE L’indice de réfraction étant constant dans chaque milieu, les équations (2.5) fournissent de façon directe, l’équation de propagation du champ électrique transverse : d 2 Ey + ! 2 "0 dx2 2 2 0 ni Ey = 0 avec i = 1; 2 (2.7) p qui fait apparaître k0 = ! "0 0 , la constante de propagation dans le vide, de l’onde électromagnétique de pulsation !. Le champ électrique global doit donc véri…er deux équations : Dans le guide hors du guide jxj < jxj > d2 Ey dx2 d2 Ey dx2 d 2 d 2 + k02 n21 + k02 n22 2 2 Ey = 0 Ey = 0 (2.8) Les composantes du champ magnétiques sont ensuite dé…nies à partir des deux premières équations de (2.5). De plus, les composantes tangentielles des deux champs (Ey et Hz ) doivent être continues aux interfaces2 . dEy (x) On écrira donc que les fonctions Ey (x) et dx sont continues en x = d2 : La nature des ondes dépend de la valeur de la constante de propagation longitudinale : Les formes des solutions possibles des équations (2.8) sont résumées dans le tableau suivant : valeur de 2 < k02 n22 < k02 n21 2 2 k0 n2 < 2 < k02 n21 k02 n22 < k02 n21 < 2 jxj < d2 solution oscillante solution oscillante solution exponentielle jxj > d2 solution oscillante solution exponentielle solution exponentielle solution générale modes radiatifs modes guidés pas de solutions (2.9) L’onde électromagnétique n’est guidée que si la constante de propagation longitudinale est comprise entre k0 n1 et k0 n2 constantes de propagation libre respectivement dans le guide et le substrat: C’est la condition de guidage et c’est dans ce cas que nous résoudrons les équations. 2.2.2 Modes guidés TE Si la condition de guidage k02 n22 < jxj < jxj > d 2 d 2 2 d2 Ey dx2 d2 Ey dx2 < k02 n21 est satisfaite, les équations de propagation s’écrivent : + 2 2 Ey = 0 Ey = 0 avec avec 2 2 2 = k02 n21 >0 2 2 2 = k0 n2 > 0 (2.10) Les exponentielle devant être décroissantes vers l’in…ni, les solutions sont : jxj < d2 x > d2 x < d2 Ey (x) = A cos x + B sin x Ey (x) = D exp x Ey (x) = C exp x (2.11) On montre aussi que dans un guide symétrique, (n (x) = n ( x)) ; le champ est – soit symétrique : [Ey ( x) = Ey (x)] ; – soit anti-symétrique : [Ey ( x) = Ey (x)] 2 On rappelle que de façon générale : – La composante tangentielle de E est continue. - La composante tangentielle de H ne peut être discontinue que s’il existe une densité surfacique de courant libre. – La composante normale de B est continue. – La composante normale de D ne peut être discontinue que s’il existe une densité surfacique de charges libres, Pour un diélectrique, il n’y a pas ni densité surfacique de charge ni courant libre. Si en plus le matériau est non magnétique, le champ magnétique (tangentiel et normal) et le champ électrique tangentiel sont continu. 14 CHAPITRE 2. ELECTROMAGNÉTIQUE DU GUIDE PLAN Modes guidés TE symétriques Les solutions symétriques sont de la forme jxj < d 2 Ey (x) = A cos x et jxj > d 2 Ey (x) = C exp (2.12) x et doivent satisfaire les équations de continuité du champ électrique et de sa dérivée : d 2 A cos d 2 = C exp et d 2 A sin = C exp d 2 (2.13) On a coutume de simpli…er ces équations en introduisant des grandeurs normalisées sans unités qui seront utilisées systématiquement pas la suite : u = d2 v = d2 p V = k0 d n21 liées par la relation coe¢ cient d’extinction réduit fréquence réduite n22 2 V 2 u2 + v 2 = (2.14) (2.15) Le système d’équations (2.13) admet alors des solutions si : u tan u = s V 2 2 u2 (2.16) Modes guidés TE anti-symétriques Les solutions anti-symétriques jxj < d 2 Ey (x) = B sin x et jxj > d 2 x Ey (x) = D jxj exp x (2.17) doivent satisfaire les équations de continuité B sin d 2 = D exp d 2 Ce système admet des solutions si u cot u = 2.2.3 et s B cos V 2 d 2 = D exp d 2 (2.18) 2 u2 (2.19) Détermination graphique des modes guidés TE Les équations (2.16) et (2.19) déterminent, pour chaque valeur de V; les valeurs du u pour lesquelles il existe des modes guidés transverses électriques, symétriques ou anti-symétriques. V; dénommé ”fréquence réduite”, réunit les caractéristiques du guide (épaisseur d; indices de réfraction n1 etn2 ); et la longueur d’onde dans le vide de la lumière. Le paramètre u obtenu, dé…nit , par l’intermédiaire de ; la forme du champ à l’intérieur du guide. La résolution se fait graphiquement. On trace donc sur un même graphe (Figure II-2) , di¤érentes quantités f (u) en fonction de u: : q V 2 – la fonction f (u) = u2 qui représente un arc de cercle de rayon V (traits pointillés sur la 2 …gure) – la fonction f (u) = u tan u (en traits plein ), dont les intersections avec la précédente dé…nit les modes symétriques possibles. – la fonction f (u) = u cot u ( en traits tiretés), dont les intersections avec la première dé…nit les modes anti-symétriques possibles. 2.2. LE GUIDE À SAUT D’INDICE 15 f (u ) V =5 8 m=5 u(V) m=4 V =2 6 m=3 u m=2 4 2 2 4 4 6 m=1 6 2 m=0 V 0 0 5 10 15 20 Figure II-2 :Résolution graphique et tracé des solutions u (V ) : Ainsi pour chaque valeur de V; on détermine le nombre de modes symétriques et anti-symétriques possibles et les valeurs correspondantes de u. Le résultat est reporté sur la …gure II-2, qui donne les valeurs de u trouvées en fonction de V: On constate que le nombre de modes est une fonction croissante de V: La courbe dé…nit pour chaque mode (numéroté en m) une fréquence de coupure Vm .en dessous de laquelle il cesse d’exister. On remarque que seul le mode fondamental (m = 0) existe pour toute valeur de V: A partir de ces valeurs de u on remonte aisément, par l’intermédiaire de , à la constante de propagation du mode correspondant. 2.2.4 Indice e¤ectif et constante de propagation normalisée La notion d’indice e¤ectif rend compte du fait qu’une onde qui se propagerait dans le vide avec une constante k0 ; se propage dans le guide avec une constante : L’indice e¤ectif est alors dé…ni de façon naturelle par nef f = (2.20) k0 Il s’exprime en fonction des paramètres u et V : n2ef f = n21 n21 n22 2 u V 2 (2.21) La condition de guidage s’écrit très simplement en terme d’indice e¤ectif : n2 nef f n1 (2.22) De même, on utilise souvent la constante de propagation normalisée b : 2 b= k02 n21 n2ef f n22 k02 n22 = =1 k02 n22 n21 n22 2 u V 2 (2.23) La condition de couplage s’écrit alors : 0 b 1 Un mode est alors guidé si sa constante de propagation normalisée est comprise entre 0 et 1: La valeur b = 0 correspond à la fréquence de coupure de chaque mode. La …gure 3 est un exemple de variations de l’indice e¤ectif nef f et de b en fonction de V: 16 CHAPITRE 2. ELECTROMAGNÉTIQUE DU GUIDE PLAN n eff 1.480 b 1.0 1.478 0.8 1.476 n1 = 1,48 0.6 1.474 n2 = 1,47 0.4 0.2 1.472 0.0 1.470 0 5 10 V 15 20 V 0 5 10 15 20 Figure II-3 : variations de l’indice e¤ectif nef f et de la constante de propagation réduite b en fonction de la fréquence réduite V: 2.2.5 Modes TM du guide plan à saut d’indice De même, le problème de l’existence de modes guidés TM dans le guide symétrique à saut d’indice, conduit à résoudre les équations dé…nissant la composante transverse du champ magnétique : jxj < jxj > d2 Hy dx2 d2 Hy dx2 d 2 d 2 et écrire la continuité de Hy (x) et de + 2 Hy = 0 2 Hy = 0 2 avec avec 2 2 = k02 n21 >0 2 2 2 = k0 n2 > 0 (2.24) 1 dHy n2 dx sur les interfaces. On trouve les conditions d’existences suivantes : q 2 V 2 u2 Modes TM symétriques u tan u = nn12 2 q (2.25) 2 V 2 Modes TM anti-symétriques -u cot u = nn21 u2 2 et l’on peut, comme précédemment, résoudre graphiquement ces équations et trouver les constantes de propagation des modes guidés TM 2.2.6 Biréfringence du guide plan à saut d’indice Le résultat montre que les constantes de propagation sont di¤érentes pour les modes TE et TM de même ordre. C’est ce qu’illustre la …gure II-4 1 b 0,5 V 0 5 10 15 20 Figure II-4 : sensibilité de la constante de propagation réduite b à la polarisation ; modes TE en traits pleins, modes TM en pointillés. Ainsi, un guide plan monomode supporte en fait deux modes :un mode TE et un mode TM. Ils ont des constantes de propagation di¤érentes, ce qui correspond à une biréfringence. Considérons par exemple un guide d’indice n1 = 1; 5 et d’épaisseur d = 0; 555 m; plongé dans un milieu d’indice n2 = 1. on cherche à y propager une onde de longueur d’onde 0 = 1; 3 m: Dans ce cas, la fréquence réduite vaut V ' 3 . On trouve alors que le guide est monomode : il ne supporte que le mode fondamental et : mode b nef f TE 0; 6280 1; 336 TM 0; 4491 1; 2495 2.2. LE GUIDE À SAUT D’INDICE 17 On a donc une biréfringence n ' 0; 09: Le déphasage entre les modes fondamentaux TE et TM est de pour une longueur de propagation Lb = ' 7; 5 m: C’est donc une biréfringence extrêmement forte. 2.2.7 Transversalité du champ guidé Comme nous l’avons indiqué plus tôt, le champ électromagnétique correspondant à un mode guidé n’est pas rigoureusement transverse. Considérons par exemple un mode TE. Le champ électrique est transverse par dé…nition. Les relations (2.5) permettent d’évaluer le rapport de la composante longitudinale Hz à la composante transverse Hx : : Hz 1 dEy =dx = Hx Ey dEy =dx comme Ey étant des grandeurs sinusoïdales (équation 2.11)on a Hzmax ' Hxmax La dé…nition de ( 2 = k02 n21 2 ) et la condition de guidage (k02 n22 < s n21 n22 Hzmax max n22 Hx 2 < k02 n21 ) impliquent alors : (2.26) Si les indices n1 et n2 sont proches, la composante longitudinale du champ magnétique peut être négligée et l’on peut considérer que l’onde TE est transverse pour les deux champs. On peut faire le même calcul pour une onde TM. Si les indices n1 et n2 sont proches, on dit que l’on est dans l’approximation du guidage faible. C’est un cas important sur lequel nous reviendrons au sujet des …bres optiques. 2.2.8 Puissance transportée par un mode du guide plan D E Le ‡ux de puissance d’une onde électromagnétique est la valeur moyenne temporelle S~ du vecteur de ~ La puissance transportée par cette onde est l’intégrale de ce ‡ux. Poynting S~ = E~ H. Puissance dans un mode TE On véri…era aisément que dans ce cas, les composantes non nulles des champs sont : Ey = Ey (x) cos (!t z) Hx = ! 0 Ey (x) cos (!t z) Hz = ! 0 dEy (x) dx sin (!t z) et que les valeurs moyennes temporelles des composantes du vecteur de Poynting s’écrivent hSx i = hSx i = 0 La puissance transportée par cette onde s’écrit alors : Z PT E = 2! 0 hSz i = 2! 0 Ey2 (x) +1 Ey2 (x) dx (2.28) 1 Dans le cas d’un mode symétrique (2.12), avec les conditions aux limites (2.13), on obtient : 0 1 d 1 d 1 A PT E = A2 + = A2 @1 + q 2! 0 2 2! 0 2 V 2 2 u 2 où (2.27) (2.29) est le coe¢ cient d’extinction. On obtient exactement le même résultat pour un mode anti-symétrique. 18 CHAPITRE 2. ELECTROMAGNÉTIQUE DU GUIDE PLAN Puissance dans un mode TM Un calcul similaire donne l’expression de la puissance transportée par un mode TM ! d n21 n22 k02 n21 n22 2 PT M = A + 2! 0 2 n42 2 + n41 2 2.2.9 (2.30) Excitation des modes guidés Nous montrerons ici que l’ensemble des modes guidé et non guidés, d’un guide plan forment une base sur laquelle peut se décomposer toute onde. Nous en déduirons, de façon simple, la puissance transportée par chaque mode d’un guide lorsqu’il est excité par une onde optique quelconque. Orthogonalité des modes guidés Soit gation m (x) une structure transverse de champ décrivant un mode TE. Elle véri…e l’équation de propad2 m (x) 2 + k02 n2 (x) m (x) = 0 m dx2 On remarquera tout d’abord que cette équation est une équation aux valeurs propres. Elle s’écrit en e¤et : d2 m (x) dx2 + k02 n2 (x) m (x) = m m (x) avec m = 2 m (2.31) m est donc une valeur propre et m (x) ; la fonction propre qui lui est associée .Or, il existe une relation d’orthogonalité entre les fonctions propres associées à des valeurs propres distinctes. Nous allons l’exploiter. On obtient simplement à partir de l’équation (2.31), les deux équations : 2 (x) d dxm2(x) + k02 n2 (x) d2 k (x) + k02 n2 (x) m (x) dx2 k (x) k (x) m (x) = m (x) = k m k (x) k (x) m (x) m (x) k (2.32) dont la di¤érence donne d dx k (x) d (x) dx m m (x) d (x) =[ dx k m k] m (x) k (x) L’intégration des deux membres de cette équation conduit à l’équation Z +1 d m (x) d k (x) [ m m (x) m (x) k (x) dx = k] k (x) dx dx 1 (2.33) +1 (2.34) 1 dont le second membre est nécessairement nul puisque si m (x) représente un mode guidée , sa limite est nulle quand x tend vers 1: On a donc : R +1 si m 6= k m (x) k (x) dx = 0 1 R +1 (2.35) si m = k ( m = m ) m (x) m (x) dx = Am > 0 1 Il est donc possible de normaliser les fonction m de façon à ce que les Am soient égaux à 1: On obtient alors R +1 (2.36) m (x) k (x) dx = km km : symbole de Kronecker 1 Ces fonctions ne forment cependant pas une base complète sur laquelle toute onde pourrait être pourrait être décomposée de façon unique. Il faut pour cela leur adjoindre les modes rayonnants. Orthogonalité des modes rayonnants Les modes rayonnants forment un continuum. R +1 si 6= 0 (x) 0 (x) dx = 0 1 R +1 si = (x) (x) dx n’est pas calculable au sens des fonctions 1 Ce continuum, ajouté aux modes guidés discrets, forme une base orthonormée complète. (2.37) 2.2. LE GUIDE À SAUT D’INDICE 19 Projection d’une onde sur un mode guidé Une onde quelconque (x) = (x) peut donc s’écrire de façon unique : P m cm (x) + m Puissance guidée dans un mode R c( ) (c) d avec cm = Considérons un champ incident en z = 0 et sa valeur en z > 0 : R P Ey (x; 0) : = m cm m (x) + c ( ) (c) d et R P Ey (x; z) : = m cm m (x) exp i m z + c ( ) R +1 1 m (x) m (x) dx (2.38) (c) exp i z:d La puissance du mieme mode guidé en z = 0 et celle en z > 0 s’écrivent alors : Pm (0) = m 2! 0 2 jcm j Pm (z) = m 2! 0 jcm exp i 2 m zj = Pm (0) (2.39) La puissance de chaque mode est invariante par transmission. Ce n’est pas le cas pour la puissance totale. 20 CHAPITRE 2. ELECTROMAGNÉTIQUE DU GUIDE PLAN Chapitre 3 La notion de guidage faible et ses applications 3.1 Le Guidage faible 3.1.1 où Equations de propagation L’équation de propagation du champ électrique s’obtient en utilisant la relation vectorielle i !h !h ! i Rot Rot E~ = grad div E~ E~ représente l’opérateur laplacien . La première relation (2.1) donne E~ "0 2 0 n (x; y; z) ! h ~i @ 2 E~ = grad div E @t2 dont le second membre n’est pas nul en raison de la structure de guide d’onde qui constitue une inhomogénéité d’indice de réfraction. En e¤et les relations (2.1et 2.2) conduisent à : ! 1 grad n2 2 n div E~ = E~ L’équation de propagation du champ électrique dans la structure s’écrit donc : ! ~ grad E+ ! 1 grad n2 n2 E~ "0 0n 2 (x; y; z) @ 2 E~ ~ =0 @t2 (3.1) Un calcul similaire utilisant de plus la relation vectorielle ! ! ! ! ! Rot m U = mRot U + grad m ! U conduit à l’équation de propagation du champ magnétique : ! 2 ~ 1 grad H+ n n2 !~ Rot H "0 0n 2 ~ @2H = ~0 2 @t (x; y; z) (3.2) Pour un champ monochromatique de fréquence !; avec ~ y; z; t) = E ~ (x; y; z) exp i!t E(x; ~ ~ (x; y; z) exp i!t H(x; y; z; t) = H les deux équations de propagation s’écrivent ! grad ~ 0 n2 (x; y; z) E ~ = E+k et ~ + k0 n2 (x; y; z) H ~ = H 21 ! 1 grad n2 2 n ! 1 grad n2 n2 ~ E !~ Rot H (3.3) (3.4) 22 3.1.2 CHAPITRE 3. LA NOTION DE GUIDAGE FAIBLE ET SES APPLICATIONS Composantes transverses et longitudinales Qu’il s’agisse de guides plans ou de …bres optiques comme dans le chapitre suivant, nous considérerons ici des milieux invariants selon z où les modes de propagation sont des structures transverses se propageant longitudinalement, sans déformation, avec une constante de propagation : On fait donc apparaître, dans l’équation de propagation, les composantes longitudinales et transverses (Ez et ET ) des champs et l’on introduit les composantes longitudinales et transverses de l’opérateur laplacien : T = d2 dx2 + d2 dy 2 z = d2 dz 2 2 = (3.5) L’équation de propagation du champ électrique s’écrit alors : ( T + z) ~T + E ~ z +k0 n2 (x; y; z) E ~T + E ~z = E ! grad ! 1 grad n2 n2 ~T + E ~z E et se simpli…e en remarquant que le gradient de l’indice de réfraction est orthogonal à Ez ( T + z) ~T + E ~ z +k0 n2 (x; y; z) E ~T + E ~z = E ! grad ! 1 grad n2 n2 ~T E Elle se décompose alors en une équation transverse et une équation longitudinale, en introduisant les composantes du gradient : 8 d 0 < dx ! ! d 0 grad = (3.6) gradT = z : dy d 0 dz i h ! ! 2 ~ 2 ~T ET = gradT n12 grad n2 E T +k0 n (x; y; z) (3.7) i ! 2 ! h1 2 ~ 2 ~T = 0 Ez = gradz n2 grad n E T +k0 n (x; y; z) 3.1.3 L’approximation du guidage faible Dé…nition Le di¢ culté de résolution provient donc du second membre de l’équation de propagation longitudinale. On suppose donc que les variations d’indice de réfraction sont faibles, c’est à dire que l’indice de réfraction n (x) varie peu dans la structure guidante. On écrit alors : n (x; y) = n1 [1 :f (x; y)] avec = n1 n2 n1 (3.8) n1 est l’indice de réfraction au centre du guide, n2 celui à grande distance du centre et la fonction f (x; y) est une fonction à valeurs comprises entre 0 et 1; décrivant la forme des variations d’indice. Dans le cas de l’approximation dite du ”guidage faible” on supposera que variation relative d’indice de réfraction est très faible devant 1; si bien que l’on pourra écrire, en se limitant à un développement au premier ordre en : n2 (x; y) = n21 [1 2 :f (x; y)] (3.9) Le guidage n’est alors possible que dans des directions très proches de l’axe du guide, c’est à dire pour des modes d’ordre faible. D’un point de vue physique, on gardera à l’esprit que le but du guidage est de propager des ondes limitées transversalement en évitant qu’elles ne divergent par di¤raction. La variation d’indice doit donc être tout juste su¢ sante pour vaincre la di¤raction. Résolution De la même façon que précédemment et avec les notations de la relation (3.8), un développement au premier ordre en donne : ! 1 ! 2 ~ ~T gradn ET ' 2 grad f E n2 si bien que l’équation de propagation de la composante transverse du champ électrique s’écrit : T + k02 n2 2 ~T = 2 E ! ! ~T gradT grad f E (3.10) 3.2. LE GUIDE PLAN À INDICE QUADRATIQUE 23 Dans l’approximation du guidage faible, on fait tendre propagation s’écrit alors 2 2 T + k0 n vers zéro dans le second membre. L’équation de ~T ' 0 E 2 (3.11) et c’est sous cette forme que nous la résoudrons. Notons cependant que la méthode des perturbation permet une résolution à l’ordre 1 en : Equation de propagation scalaire Les composantes transverses des champs s’écrivent ~T = E ~T = H (x; y) exp i z ~uT (x; y) exp i z (~uZ ~uT ) n q "0 0 où ~uT est un vecteur unitaire transverse de direction arbitraire. Les modes guidés ont donc une dégénérescence d’ordre 2 : la polarisation est uniforme et quelconque sur une section droite du guide. On a donc …nalement, dans l’approximation du guidage faible, une équation de propagation scalaire : + k02 n2 T 2 (x; y) ' 0 (3.12) Composantes longitudinales des champs On montre que les composantes longitudinales Ez et Hz des champs sont proportionnelles à l’approximation du guidage faible, elle sont donc négligeables et les champs totaux s’écrivent q ~ = (x; y) exp i z ~uT ~ = (x; y) exp i z (~uZ ~uT ) n "0 E H 0 p : Dans (3.13) Conditions aux limites Si la section du guide présente des discontinuités, les conditions de continuité des champs imposent la continuité de (x; y) et de sa dérivée normale sur la surface de séparation. 3.2 Le guide plan à indice quadratique L’approximation du guidage faible permet, en écrivant une équation scalaires de résoudre le cas intéressant du guide plan à pro…l d’indice quadratique. 3.2.1 Modes du guide quadratique Nous considérerons ici un guide dont l’indice de réfraction n (x) est une fonction parabolique pour jxj < et une constante en dehors. d 2 x x d/2 d n2(x ) / 2 x< 0 2 d 2 2x n (x ) = n121 − 2∆ 2 d 0 --d/2 - n12 - d / 2 n22 = n12[1 − 2∆ ] x> d 2 n (x ) = n12(1 − 2∆ ) = n22 2 Figure II-5 : pro…l d’indice quadratique et notations On supposera ici que l’épaisseur d est grande et que les modes restent con…nés dans la partie parabolique. L’équation de propagation pour Ey ; Hx ; Hz s’écrit alors : " ( ) # 2 d2 (x) 2x 2 2 2 + k0 n1 1 2 (x) = 0 (3.14) dx2 d 24 CHAPITRE 3. LA NOTION DE GUIDAGE FAIBLE ET SES APPLICATIONS En introduisant les quantités : h = p n1 k 0 2 d=2 i1=2 = x = k02 n21 2 (3.15) 2 cette expression prend une forme connue d’une équations aux valeurs propres : d2 (x) + dx2 2 (x) = 0 (3.16) C’est l’équation de Schrödinger d’un oscillateurs harmonique à une dimension dont les solutions sont connues : – les valeurs propres sont les entiers impairs : = 2m + 1 – Les fonctions propres la relation (2.36) : m m d’où h p i 12 (2m + 1) n12k0 d 2 (3.17) (x) sont les fonctions de gauss-Hermitte, orthogonales et normées au sens de 1 2 2x (x) = Nm Hm (x) exp Nm = m h = n1 k0 1 2m m! p H0 (x) = 1 H1 (x) = 2x i 12 Hm+1 (x) = 2xHm (x) 2mHm Hm polynôme de degré m 1 (x) (3.18) Remarques : – Le pro…l d’indice étant symétrique, les modes sont soit symétriques (ordres m pairs) soit anti-symétriques ( ordres m impairs) – Le mode m = 0 correspond à une mode gaussien – Le mode m présente m zéros selon x 1 1 k0 d – m est complexe pour une valeur de m supérieure à n4p 2 : Cela correspond à des modes à pertes. 2 3.2.2 Couplage d’une onde gaussienne Nous utilisons, en raison de sa simplicité, le cas de ce guide gaussien pour illustrer le calcul de la puissance guidée dans un mode. Soit une onde gaussienne de même largeur que le mode fondamental du guide, mais décalée latéralement : 1 2 E0 2 Ey (x; 0; t) = 1 exp (x x0 ) cos !t (3.19) 2 4 Sa composante sur le mode m du guide a pour amplitude cm = E0 1 4 Z +1 1 et s’écrit cm 1 2 m (x) exp E0 =p m! 2 m 2 2 2 x0 x0 ) dx 2 2 x0 exp 2 2 (x 4 (3.20) (3.21) en utilisant l’identité t2 G (x; t) = exp 2xt = +1 X 1 Hm (x) tm m! m=0 La puissance relative couplée dans le mode m s’écrit donc : pm = 1 m! 2 2 x0 2 m exp 2 2 x0 2 (3.22) C’est, pour toute valeur de m; une fonction décroissante du désalignement x0 : Lorsque le désalignement est nul, toute la puissance est couplée dans le mode fondamental. 3.2. LE GUIDE PLAN À INDICE QUADRATIQUE 3.2.3 25 Dispersion inter-modes dans le guide quadratique La connaissance analytique des constantes de propagation aussi de calculer la vitesse de groupe : vg = d m d! avec m En remarquant que généralement 2 p 2 n1 k0 d on trouve m c’est à dire vg = h = n1 k0 1 h ' n1 k0 1 d m d! ' n1 c h 1 m des modes du guide quadratique permet p i 12 (2m + 1) n12k0 d 2 << 1 p i (2m + 1) n11k0 d 2 p i ' (2m + 1) n11k0 d 2 n1 c (3.23) Les modes du guide quadratique ont donc une vitesse de groupe très proche, réduisant considérablement la déformation d’impulsions au cours de leur propagation. 26 CHAPITRE 3. LA NOTION DE GUIDAGE FAIBLE ET SES APPLICATIONS Chapitre 4 Les …bres optiques L’approximation du guidage faible introduite dans le cas précédent permet une approche simple des …bres optiques. Elle reste rigoureuse tant qu’un nombre limité de modes se propage dans la …bre. 4.1 4.1.1 Structure modale Equation de propagation Rappelons que dans le cas du guidage faible, le champ électrique s’écrit ~ (x; y; z; t) = E (x; y) exp i z exp i!t ~uT et que sa propagation est entièrement dé…nie par l’équation T + k02 n2 2 (x; y) ' 0 Pour tenir compte de la symétrie particulière du milieu, nous exprimerons cette équation en coordonnées cylindriques : @ 2 (r; ) 1 @ (r; ) 1 @ 2 (r; ) 2 + + + k02 n2 (r) (r; ) = 0 (4.1) @r2 r @r r2 @ 2 en remarquant que l’invariance de la …bre par rotation impose à l’indice de réfraction de n’être fonction que de r: On recherche des solutions de la forme (r; ) = R (r) ( ) En résolvant l’équation d2 R + dr2 En divisant par R r2 1 dR 1 d2 + R 2 2 + k02 n2 (r) r dr r d 2 R = 0: (4.2) , elle prend la forme r 2 d2 R r dR + + r2 k02 n2 (r) 2 R dr R dr 2 = 1 d2 d 2 et doit être véri…ée pour toutes valeurs de r et de : Le premier membre est indépendant de est indépendant de r: On a donc nécessairement 1 d2 = constante d 2 ( ) étant périodique de période 2 ou sous multiple de 2 ; on a nécessairement 1 d2 = l2 avec l entier positif d 2 27 (4.3) , le second 28 CHAPITRE 4. LES FIBRES OPTIQUES L’équation (4.3) se décompose donc en deux équations indépendantes r 2 d2 R R dr 2 + r dR R dr 2 + r2 k02 n2 (r) = l2 (a) (4.4) d2 d 2 + l2 =0 (b) La fonction ( ) est obtenue très simplement dans le cas général : – Pour chaque valeur de l 1; il existe deux solutions indépendantes : ( ) = cos l ou ( ) = sin l (4.5) Pour chacune d’elles il existe deux polarisations indépendantes, les modes l 1 sont donc 4 fois dégénérés. – les modes l = 0 sont deux fois dégénérés. La fonction R (r) est ensuite obtenue , pour chaque valeur de l; en résolvant l’équation ( 4.4-(a)). Cela nécessite cependant la connaissance du pro…l d’indice n (r) de la …bre utilisée. 4.1.2 Fibre circulaire à saut d’indice Nous décrirons complètement les modes du champ guidé, dans le cas de la …bre à saut d’indice. Elle est dé…nie par un coeur de rayon a et d’indice n1; entouré d’une d’une gaine in…niment étendue d’indice n2 et = n1n1n2 << 1: a n1 coeur n2 gaine Figure II-1 : la …bre à saut d’indice. Nous reprendrons les notation déjà utilisées dans le cas du guide plan : – La fréquence normalisée : q V = k0 a n21 n22 (4.6) – les constantes de propagation transverses – dans le coeur 2 = k02 n21 2 = 2 (4.7) k02 n22 (4.8) – dans la gaine 2 et leurs valeurs normalisées u = a et v = a L’équation ( 4.4 -(a)) s’écrit alors dans les deux milieux 0 r a 2 2 2r r2 ddrR2 + r dR dr + u a2 l2 R = 0 (4.9) r a 2 r2 ddrR2 + r dR dr 2 v 2 ar 2 +l 2 Les solutions de ces équations di¤érentielle sont des fonctions de Bessel. R=0 4.1. STRUCTURE MODALE 29 Solutions dans le coeur La première équation, qui décrit les variations radiales des modes dans le coeur, a pour solutions possibles les fonctions de Bessel Yl et Jl représentées sur la …gure 2 ci-dessous. La première, R (r) = Yl u ar n’a pas de réalité physique car elle tend vers l’in…ni, pour toute valeur de l; lorsque r tend vers zéro, c’est à dire au centre de la …bre. On retriendra donc la solution R (r) = Jl u ar qui se comporte comme une fonction oscillante amortie. 1.0 r R(r ) = Jl u 0.8 0 -1 a 0.6 0.4 r R(r ) = Yl u a -2 -3 0.2 -4 0.0 -5 -0.2 -6 -0.4 0 5 10 15 0 20 5 10 15 20 Figure III-2 : variations des fonctions de Bessel Yl (x) et Jl (x) : Solutions dans la gaine La deuxième équation, qui décrit les variations radiales des modes dans la gaine, a elle aussi deux solutions possibles qui sont les fonctions de Bessel Ll et Kl représentées sur la …gure 3. La première, R (r) = Ll v ar n’a pas de réalité physique car elle tend vers l’in…ni pour toute valeur de l; lorsque r tend vers l’in…ni. L’autre solution R (r) = Kl v ar ne présente pas ce problème r (4.10) lim Kl (r) = exp r r!+1 2r :Elle reste aussi …nie lorsque r décroît vers a: 6 100 5 r R(r ) = Kl v a 4 3 r R(r ) = Il v a 80 60 2 40 1 20 0 0 0 2 4 6 → e Kl(r ) r →+∞ −r 8 0 10 2 4 6 8 10 → er 2πr Il(r ) r →+∞ π / 2r Figure III-3 : variations des fonctions de Bessel Ll (x) et Kl (x) Solutions globales Les solutions globales sont obtenues en écrivant la continuité de l (r; ) en r = a: On obtient aisément 8 cos l > > coeur (r < a) Oscillations < A Jl u ar sin l (4.11) l (r; ) = cos l > J (u) > gaine (r > a) Décroissance : A Kll (u) Kl v ar sin l 4.1.3 Modes guidés LP Constantes de propagation longitudinales A ce stade une partie de la condition de continuité (continuité de la dérivée normale de exploitée. Elle introduit une condition supplémentaire : J 0 (u) K 0 (v) u Jll (u) = v Kll (v) ou 1 (u) u JJl l (u) = 1 (v) v KKl l (v) ) n’a pas été (4.12) 30 CHAPITRE 4. LES FIBRES OPTIQUES en utilisant les identités suivantes u Jl0 (u) = lJl (u) u Jl 1 (u) u Kl0 (u) = lKl (u) et u Kl 1 (u) (4.13) Cette relation est essentielle car elle relie en fait la constante de propagation longitudinale à la fréquence normalisée V: En e¤et, si l’on introduit la constante de propagation longitudinale normalisée b déjà rencontrée (2.23), les paramètres u et v s’écrivent v= V 2 p b et u= V 2 p 1 b avec b= 2 2 k0 n21 n22 (4.14) n22 La condition supplémentaire s’écrit Pour l 1 pour l = 0 V p V p 1 1 b Jl 1 Jl ( p ( V2p V 2 J1 ( V2 bJ 0 ( V2 p p 1 b) 1 b) 1 b) 1 b) = =V V p p b K1 ( V2 bK 0 p ( V2p b) Kl ( V2 b) Kl ( V2 p p 1 (4.15) b) b) Il s’agit donc, pour chaque valeur de l; d’une relation transcendantale liant la constante de propagation (normalisée) à la fréquence(normalisée). C’est une relation de dispersion. Elle dé…nit le nombre de modes guidés : pour chaque valeur de l; il existe m solutions en b et le nombre m dépend du paramètre V: Dé…nition des modes LP On désigne les modes ainsi dé…nis sous le nom de modes LPlm (pour linéairement polarisés) en indiquant en indices – l’indice l de la fonction de Bessel ; il caractérise la périodicité de la fonction ( ) – le nombre m qui dé…nit le nombre de valeurs de b possible. 4.1.4 Description standard On remarquera que les équations obtenues n’utilisent que des grandeurs normalisées. On peut donc les résoudre une fois pour toutes et obtenir des résultats applicables à toutes les …bres à saut d’indice Nombre de modes et constante de propagation La …gure suivante est un tracé des solutions u (V ) et de b (V ) en fonction de V: Figure III-4 : variations de u (V ) et b (V ) pour les principaux modes LPlm Les variations de u (V ) montrent que pour V < 2; 405; le mode LP01 se propage seul. La …bre est alors dite monomode. Le mode LP01 existe toujours et n’a donc pas de fréquence de coupure. La valeur V = 2; 405 est la fréquence de coupure normalisée du mode LP11: Le nombre de modes dans la …bre croit avec V: Les variations de b (V ) montrent que pour chaque mode,b (V ) croit de 0 à 1 lorsque V augmente depuis la fréquence de coupure. 4.1. STRUCTURE MODALE 31 Fréquences de coupure b (V ) = 0 correspond à la fréquence de coupure du mode considéré. On peut donc calculer numériquement les fréquences de coupure de chaque mode. Elles sont données par le tableau suivant d’après A. Ghatak, ”Introduction to …ber optics”. l=0 Vc LP01 0 LP02 3,8317 LP03 7,0156 LP04 10,1735 Mode l=1 Mode LP11 LP12 LP13 LP14 l=2 Vc 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 Mode LP21 LP22 LP23 LP24 Vc 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 l=3 Mode LP31 LP32 LP33 LP34 Vc 5,1356 8,4172 11,6198 14,796 Chacun des modes a une constante de propagation unique c’est à dire un indice e¤ectif caractéristique q nef f = = n22 + b (n21 n22 ): k0 Lorsque V croit, cet indice e¤ectif croit de l’indice de la gaine n2 , à celui du coeur n1 . Aux faibles valeurs de V; le mode s’étend dans la gaine, alors qu’aux fortes valeurs, il est con…né dans le coeur. Facteur de con…nement On peut, comme dans le cas des guides plans, calculer par un rapport de deux intégrales, la fraction de puissance qui se propage dans le coeur. On montre que dans le cas d’une …bre à saut d’indice, (V ) = 4 v2 1 V2 Jl2 (u) Jl 1 (u) Jl+1 (u) (4.16) Pour un mode donné, le facteur de con…nement (V ) est nul aux faibles valeurs de V; ce qui con…rme que le champ est essentiellement dans la gaine. Lorsque V croit, le facteur de con…nement tend vers 1 c’est à dire que le champ s’étend dans la gaine. Figue III-5 : Facteur de con…nement (V ) des principaux modes LPlm Cas pratique Dans la pratique des télécommunications optiques, on recherche une propagation monomode ( pour éviter la dispersion intermodes) et un con…nement maximum pour être moins sensible aux perturbations extérieures. On travaille en pratique avec des facteurs de con…nement de 60% c’est à dire des valeurs de la fréquence normalisée : 1; 5 < V < 2; 4 On peut montrer que dans ces conditions, la constante de propagation normalisée du mode fondamental est bien approchée par la relation empirique : b (V ) ' A B V 2 avec A = 1; 1428 et B = 0; 996 (4.17) 32 CHAPITRE 4. LES FIBRES OPTIQUES Soit une …bre de rayon a = 3 m; d’indice de gaine n2 = 1; 45 et de modulation d’indice éclairée par de longueur d’onde 0 = 1; 546 m: = 0; 0064; Sa fréquence normalisée est voisine de 2; 0: La constante de propagation normalisée du mode LP01 donnée par la relation empirique vaut b ' 0; 41616 et l’indice e¤ectif de la …bre pour ce mode vaut nef f ' 1; 4560: On comparera cette valeur à celle de l’indice de coeur, voisin de 1,4593 pour voir que ce mode n’est que moyennement con…né, ce qui est con…rmé par la courbe (V ) qui permet d’estimer le con…nement à 70%. 4.1.5 Structure de modes Les modes LPmn ainsi déterminés ont une amplitude décrite transversalement par la fonction dé…nie par la relation (4.11). Ils sont donc caractérisés l (r; ) – au niveau du coeur de la …bre, par des oscillations en r et : Le nombre d’extrema de l’oscillation en r (voir …gure 6) est égal au second indice de la notation LPlm : R(r) R(r) 1 1 r r a a 2 2 LP m2 LP 02 coeur gaine coeur gaine Figure III-6 : le nombre d’extrema de la distribution radiale d’amplitude est égal à l’indice m de LPlm Le premier indice détermine la périodicité de la variation angulaire de cette distribution. – au niveau de la gaine, par une décroissance pseudo-exponentielle. Ces caractéristiques sont illustrées par la …gure 7, empruntée à Ghatak Figure III-7 : images des distributions d’amplitude et d’intensité de quelques modes LP – en…n, la polarisation de ces modes est uniforme et conduit à une dégénérescence d’ordre 2 pour les modes LP0m ; d’ordre 4 pour les autres. 4.2. APPROXIMATION GAUSSIENNE DU MODE LP01 ET APPLICATIONS LP01 33 LP11 r J0 u y a r J1 u cos φ y a r J1 u cosφ x a r J0 u x a – r J1 u sin φ y a r J1 u sin φ x a Figure III-8 : dégénérescence en polarisation des modes LPlm 4.2 Approximation gaussienne du mode LP01 et applications L’utilisation de faisceau lasers gaussiens et le manque de ”maniabilité” des expressions des modes ont 2 conduit à rechercher la meilleure gaussienne (r) = exp !r 2 décrivant les variations radiales d’amplitude du mode fondamental utilisé pour les télécommunications optiques. Une approximation du ”waist” ! est obtenue en optimisant l’intégrale de recouvrement normalisée = RR RR 2 exact gauss dS RR 2 2 exact dS gauss dS (4.18) Il est utile de remarquer que mesure en fait l’e¢ cacité de couplage du faisceau gaussien dans le mode fondamental. Marcuse donne un résultat approché avec une précision de 1% : ! = 0; 650 + 1; 619 V a 3 2 + 2; 879 V 6 pour 1; 2 < V < 4 (4.19) Ce résultat permet de résoudre très simplement un certain nombre de problèmes dont nous aborderons ici certains, à titre d’exemple. 4.2.1 Equivalence de deux …bres de rayons di¤érents Considérons deux …bres optiques de même indice de coeur (n1 = 1; 454) et de même indice de gaine (n2 = 1; 450) ; mais de rayon légèrement di¤érent (a1 = 4; 46 m et a2 = 4; 27 m) ; travaillant toutes deux à la longueur d’onde 0 = 1; 300 m: Elles ont des fréquences réduites notablement di¤érentes (V1 ' 2; 32 et V2 ' 2; 22). La formule de Marcuse donne pour la première !a ' 1; 12 et pour la seconde !a ' 1; 17: Cependant le mode gaussien le plus proche du mode fondamental est le même pour les deux …bres, avec un diamètre d = 2! = 10; 0 m Ces deux …bres pourront être considérées comme équivalentes dans une ligne de transmission. 4.2.2 Pertes par couplage entre deux …bres L’approximation gaussienne du mode fondamental permet aussi d’évaluer le taux de couplage entre deux …bres. On considère pour cela qu’en sortie de la première on a un faisceau gaussien. Après une éventuelle 34 CHAPITRE 4. LES FIBRES OPTIQUES propagation libre, l’onde d’amplitude …bre. C’est ce taux de couplage 1 se couple avec le mode fondamental d’amplitude = ZZ 2 de la seconde 2 1 2 dxdy qu’il s’agit de calculer. Nous donnerons ici les résultats dans trois cas simples utiles. Décalage longitudinal D Figure III-9 : pertes par décalage longitudinal Dans ce cas les deux …bres sont parfaitement identiques et alignées. L’onde quasi-gaussienne émergeant de la première …bre se propage librement sur une distance D . Son ”waist” ! augmente donc et il est inadapté au rayon de la seconde …bre. On montre très simplement que 1 = (4.20) 2 1 + 2Dn!0 2 Le coe¢ cient de pertes exprimé en décibels vaut donc D 0 l (dB) = 10 log 1 + 2 n! 2 2 ! (4.21) Par exemple, pour deux …bres telles que d = 2! = 10 m; d’indice n = 1; 45 travaillant à la longueur d’onde de 1; 300 m; lorsque le décalage longitudinal est le double du diamètre (D = 20 m) ; les pertes ne sont que de 0; 06dB: Le décalage latéral n’est donc pas une source notable de pertes. Fibres di¤érentes x0 Figues III-10 : pertes par décalage transversal Considérons deux …bres en contact, latéralement décalées de x0 : Leurs modes fondamentaux sont approchés par les gaussiennes r r 2 2 (x x0 ) + y 2 2 x2 + y 2 1 1 exp (4.22) exp et (x; y) = (x; y) = 2 1 !2 !1 !2 !1 Le taux de couplage vaut alors 2 2! 1 ! 2 2x20 = exp (4.23) 2 2 2 !1 + !2 ! 1 + ! 22 Si la décalage latéral est nul, la couplage est maximal et l’on décrit l’e¤et d’une di¤érence de diamètre entre les deux …bres : 2 2! 1 ! 2 = (4.24) max ! 21 + ! 22 αn(dB ) = −20 log 0.5 0 . 5 0.4 pertes ( dB) 0 . 4 2ω1ω2 ω12 + ω22 0.3 0 . 3 0.2 0 . ω1 ω2 2 0.1 0 . 1 0.0 0 . 0 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Figure III-11 pertes calculées pour un désaccord en diamêtre. Une variation de 14% du diamètre introduit donc moins de 0; 1dB de pertes. 4.3. DISPERSION D’UNE FIBRE MONOMODE 35 Décalage latéral Le résultat précédent, appliqué à des …bres identiques (! 1 = ! 2 = !) permet de calculer l’e¤et d’un décalage latéral x0 : x20 x20 = exp soit (dB) = 10 log = 4; 34 (4.25) n !2 !2 Pour d = 2! = 10 m; les pertes ne restent inférieures à 0; 1dB que si x0 < 0; 76 m: L’alignement latéral des …bres est donc critique. Désalignement angulaire On montre de la même façon qu’un angle = entre les deux …bres conduit à un coe¢ cient de couplage 2! 1 ! 2 ! 21 + ! 22 2 exp k02 n21 ! 21 ! 22 2 (! 21 + ! 22 ) 2 (4.26) x' x z' z y θ y' Figure III-12 pertes par désaccord angulaire Pour deux …bres identiques : = exp n1 ! 2 soit a (dB) = 4; 34 0 n1 ! 2 (4.27) 0 Pour une …bre de diamètre d = 2! = 10 m; les pertes sont inférieures à 0; 1dB tant que le désalignement est inférieur à 0; 5 4.3 Dispersion d’une …bre monomode La dispersion, qui caractérise les variations de la constante de propagation d’un mode le long d’un …bre optique en fonction des caractéristiques de la mode et de la fréquence de l’onde lumineuse est un paramètre critique dans le domaine des transmissions optiques. Nous avons montré que la constante de propagation et donc la vitesse de groupe, varient d’un mode à l’autre, à moins d’utiliser des …bres à pro…ls d’indices particuliers (quadratique par exemple). Cela signi…e qu’une impulsion lumineuse très brève portée par un champ électromagnétique constitué de plusieurs modes, se déforme en raison des vitesses de propagation di¤érentes de ces modes. C’est la dispersion intermodale et on l’évite en utilisant des …bres monomodes. Cependant, dans une …bre monomode où seul le mode fondamental LP01 se propage, il subsiste une dispersion non nulle, dite dispersion intramodale. Son origine est visible dans la relation ! = [n2 + (n1 n2 ) :b (V )] c (relation 2.23) : dépend de 0 par l’intermédiaire de la fréquence réduite V: Or, dans les systèmes de transmission, une bande passante élevée nécessite des sources laser de largeur spectrale non nulle. Dans ce cas, les di¤érentes composantes spectrales d’une impulsion ont des vitesses de groupe di¤érentes et cette impulsion s’élargit en se propageant. Nous nous intéresserons donc ici à la propagation des impulsions lumineuses dans une …bre optique monomode et introduirons quelques idées sur les méthodes qui permettent de contrôler la dispersion d’une …bre optique. 4.3.1 Vitesse de groupe A partir de la vitesse de groupe vg d’une impulsion quasi-monochromatique dans une …bre, on peut calculer le temps de parcours de l’unité de longueur pour cette impulsion : g = 1 @ = avec vg @! = ! [n2 + (n1 c n2 ) :b (V )] (4.28) 36 CHAPITRE 4. LES FIBRES OPTIQUES C’est la somme de deux termes dont le premier w décrit la contribution du phénomène de guidage et le second m celle du matériau dont est constitué le guide : g = w + m 1 n2 + (n1 c = n2 ) b (V ) + ! db (V ) d! + ! dn2 d (n1 n2 ) + b (V ) c d! d! (4.29) Nous étudierons la dispersion de chacun d’eux. 4.3.2 Dispersion liée au guide Pour une …bre de longueur L; à la longueur d’onde w = L n2 + (n1 c n2 ) b + ! db d! ' Pour une source de largeur spectrale w d w d = 0 ' n2 L 1+ c 0; 0 b+V la dispersion de n2 L d2 (bV ) dV : : c dV 2 d db dV w d (bV ) dV avec = n1 n2 n2 (4.30) vaut : d2 (bV ) L dV 2 n2 V c 0 ' 0 n2 L 1+ c ' 0 (4.31) On dé…nit donc la dispersion par unité de longueur de …bre et par unité de largeur spectrale : Dw = w L = 0 d2 (bV ) :107 :ps:km dV 2 n2 3 0 1 1 :nm ( 0 en nanomètres) (4.32) Elle esprime l’élargissement causé par le guidage en picosecondes par kilomètre de …bre et par nanomètre de largeur spectrale de la source. Approximations utiles Dans le cas du mode LP01; la formule approchée de Marcuse (4.17) permet d’écrire : w = n2 L 1+ c A2 B2 V2 et Dw = 0 w L n2 2B 2 3 0 V2 ' 0 La précision est alors médiocre et Marcuse donne une meilleure approximation : n2 h 0; 0080 + 0; 549 (2; 834 3 0 Dw ' 2 V) i (4.33) On remarque que cette dispersion est strictement négative et croissante pour le mode LP01 (V < 2; 405) 4.3.3 Dispersion matérielle Pour une longueur L de propagation dans le matériau, à la longueur d’onde m = !L dn2 d (n1 n2 ) !L dn2 + b (V ) ' ' c d! d! c d! Pour une source de largeur spectrale m 0; la dispersion de d 2 n2 c d2 0 = 0L = w 0 0; dn2 L d (4.34) vaut : 2 2 d n2 0 2 d 1 0c 0L (4.35) Si bien que l’on dé…nit la dispersion matérielle par unité de longueur de …bre et par unité de largeur spectrale Dm = m L 0 = 1 3 0 2 2 d n2 0 2 d :107 :ps:km 1 :nm 1 ( 0 Nous donnerons ici quelques résultats concernant des matériaux courants. en nanomètres) (4.36) 4.3. DISPERSION D’UNE FIBRE MONOMODE 37 Dispersion de la silice pure La dispersion de la silice pure est bien décrite par la formule empirique de Paek : n2 ( ) = C0 + C1 2 + C2 4 C3 + avec l = 0; 0035 2 0 l C4 + 2 l 2 C5 + 2 l (4.37) 3 en microns C0 = 1; 4508554 C1 = 0; 0031268 C2 = 0; 0000381 C3 = 0; 0030270 C4 = 0; 0000779 C5 = 0; 0000018 On trouve ainsi : 0 = 800nm d2 n d2 ' 0; 04 m 0 = 1270nm d2 n d2 '0 m 0 = 1550nm d2 n d2 ' 2 Dm = 110ps:km 2 1 :nm 1 dispersion matérielle nulle (ZMDP) 2 0; 004 m Dm = 20ps:km 1 :nm 1 Dispersion de la silice dopée Dans le cas de la silice dopée, la dispersion est décrite par la formule de Sellemeier : n2 ( ) = 1 + b1 2 2 a1 + b2 2 2 a2 + b3 2 2 a3 (4.38) dont les coe¢ cients varient en fonction du dopage. Ces coe¢ cients ainsi que les courbes de dispersion correspondantes sont reproduits sur les …gures 13 et 14 tirées de Ghatak. Figure III-13 : coe¢ cients de la formule de Sellemeier pour la silice dopée Figure III-14 : variations de d2 n d 2 pour la silide dopée 38 4.3.4 CHAPITRE 4. LES FIBRES OPTIQUES La dispersion totale de la …bre La dispersion totale de la …bre résulte donc de ces deux e¤ets. L’élargissement longueur L, d’une impulsion de largeur spectrale s’écrit g = D:L: g dans une …bre de avec D = Dw + Dm où D est la dispersion totale de la …bre exprimée en picosecondes par nanomètre de largeur spectrale et kilomètre de …bre. L’existence de cette double contribution à la dispersion laisse la place un une ingénierie e¢ cace qui permet en jouant d’une part sur le matériaux et son dopage, d’autre part sur les caractéristiques géométriques de la …bre et son pro…l d’indice, de créer des …bres permettant la réalisation de réseaux de télécommunications performants. La …gure suivante donne à titre indicatif des courbe de dispersion typiques : – une …bre dite ”standard” dont la dispersion est nulle aux environs de 1; 3 m a = 4; 1 m; n2 = 1; 446918; = 2; 7 10 3 – une …bre dite ” à dispersion décalée” (DSF) dont la dispersion est nulle à 1; 55 m a = 2; 6 m; n2 = 1; 446918; = 7; 5 10 3 – une …bre dite ”à compensation de dispersion”, dont la dispersion est négative à 1; 55 m a = 1; 5 m; n2 = 1; 446918; = 2 10 2 ps / km.nm ps / km.nm (ps / km.nm) DM 20 DM 10 D totale D totale 10 1,2 1,3 1,4 λ (µm) -10 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,6 λ (µm) 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 D totale -20 -40 -60 -40 Standard λ (µm) -20 -30 S ta n d a rd 1,5 DM 20 DSF D S F DCF D C F Figure III-15 représentation schématique de la dispersion D des …bres standard, à dispersion décalée et à compensation de dispersion Chapitre 5 Couplage de modes Nous montrerons ici comment deux modes guidés peuvent échanger de l’énergie au cours de leur propagation. Il pourra s’agir de modes appartenant à deux guides distincts ou à un même guide. Dans le premier cas, on décrira la perturbation qu’apporte le second guide à la propagation des ondes dans le premier ; dans le second cas, c’est une perturbation locale des caractéristiques du guide qui induit ce couplage entre modes. On partira donc des modes supportés par les guides non perturbés et l’on introduira la perturbation. Cette méthode est aussi utilisée pour décrire le couplage entre des ondes planes en optique non linéaire et dans l’étude de la di¤raction par les milieux épais. 5.1 Théorie des modes couplés Le milieu dans lequel les modes se propagent est dé…ni par sa permittivité diélectrique " (x; y; z) : Elle résulte d’une faible perturbation " (x; y; z) dépendant de z; de la permittivité "0 (x; y) d’un milieu homogène en z : " (x; y; z) = "0 (x; y) + " (x; y; z) (5.1) 5.1.1 Milieu non perturbé ~ l (x; y) exp i (!t Chaque mode du milieu non perturbé invariant en z est de la forme E l z) et, dans ~ = 0), il est une solution de l’équation de propagation l’approximation du guidage faible (div E T + ! 2 "0 (x; y) 2 l ~ l (x; y) = ~0 E dite équation de propagation non perturbée. Ces modes sont orthonormés : Z 2! Ek (x; y) El (x; y) dxdy = kl où kl = 0 si k 6= l; j lj (5.2) kk =1 (5.3) L’intégrale de la relation précédente représente le produit scalaire des modes k et l: On la notera sous la forme hkj li : Le champ guidé total est alors de la forme : X ~ (x; y; z; t) = ~ l (x; y) exp i (!t E Al E (5.4) l z) l 5.1.2 Milieu perturbé Si le milieu est perturbé selon la relation (5.1), l’équation de propagation (5.2) prend alors la forme T 2 l + ! 2 "0 (x; y) ~ l (x; y) = E !2 ~ l (x; y) " (x; y; z) E (5.5) La perturbation fait donc apparaître un second membre (terme source) dépendant de x; y et z: Pour résoudre cette équation, on recherche des solutions approchées (perturbation à l’ordre 1) qui sont des combinaisons à coe¢ cients variables en z des modes non perturbés X ~ (x; y; z; t) = ~ l (x; y) exp i (!t E Al (z) E (5.6) l z) l 39 40 CHAPITRE 5. COUPLAGE DE MODES Ces solutions (si elles existent) correspondent à une variation en fonction de z de l’amplitude des modes du milieu non perturbé (5.4), c’est à dire à une couplage entre ces modes au cours de leur propagation selon z: 5.1.3 Résolution de l’équation perturbée Les relations (5.5) et (5.6) donnent directement l’équation di¤érentielle P l Al (z) n o ~ l (x; y) exp i l z E i l (z) 2i l dAdz exp i l z 2 l + ! 2 "0 (x; y) h 2 P ~ d Al (z) + lE l (x; y) dz 2 T P ~ l (x; y) exp i l z Al (z) E (5.7) dont le premier terme est nul (relation 5.2) si bien que les amplitudes Al (z) sont dé…nies par l’équation di¤érentielle : X l 2 ~ l (x; y) exp i l z d Al (z) E dz 2 2i l dAl (z) = dz ! 2 " (x; y; z) = ! 2 " (x; y; z) X l ~ l (x; y) exp i l z Al (z) E (5.8) l Le problème qui se pose alors est celui d’obtenir des équations séparées pour chaque Al (z) : Equations couplées L’extraction d’une équation pour chaque mode l est rendu possible par l’orthogonalité des modes guidés ~ (x; y) et en intégrant sur (x; y) ; on calcule le (équation 5.3). En multipliant l’équation précédente par E k produit scalaire hkj li, nul dès que l 6= k. On obtient pour chaque mode k : hkj ki d2 Ak (z) dz 2 2i k dAk (z) = dz !2 X l avec hkj ki = 2! j lj et R hkj " (x; y; z) jli = soit pour tout k avec d2 Ak (z) dz 2 Ckl = 2i ! 4 k dAk (z) dz hkj " (x; y; z) jli Al (z) exp i ( = k) z l Ek (x; y) [ " (x; y; z) El (x; y)] dxdy 2j hkj " (x; y; z) jli kj P l Ckl Al (z) exp i ( l k) z (5.9) On obtient autant d’équations que de modes et chaque mode est couplé à chacun des autres par un coe¢ cient de couplage Ckl Approximation de l’enveloppe lentement variable Nous admettrons que l’enveloppe Ak (z) des modes est lentement variable à l’échelle de 1 k : C’est à dire dAk (z) dz sont négligeable sur des distance de l’ordre de la longueur d’onde dans le guide. que ses variations C’est l’approximation dite de l’enveloppe lentement variable. Dans ce cas d2 Ak (z) << dz 2 k dAk (z) << dz 2 k (5.10) et les équations (5.9) se ramènent à des équations di¤érentielles linéaires du premier ordre : pour tout k avec dAk (z) dz = Ckl = ! 4 ij kj k P l Ckl Al (z) exp i ( hkj " (x; y; z) jli l k) z (5.11) 5.2. COUPLAGES ENTRE GUIDES 5.1.4 41 Notion de couplage résonnant Supposons que seuls deux modes k et l soient couplés. L’équation (5:9) s’écrit alors : dAk (z) = i j kj Ckl Al (z) exp i z dz avec = l (5.12) k k Les variations de Al (z) étant très lentes devant celles de l’exponentielle, on peut écrire : Z j j Ak (L) Ak (0) ' i k Ckl Al (0) exp i :zdz L>> k Or l’intégrale est égale à 1 L sin 2 L et elle est donc quasi-nulle puisque L >> 1: On n’a donc aucun 2 couplage e¢ cace si 6= 0: Lorsque = 0; on parle de couplage résonnant. Le couplage de deux modes n’est e¢ cace que si ils ont même constante de propagation. Types de perturbations Le couplage décrit par le coe¢ cient Ckl peut être di¤érent selon le type de la perturbation " (x; y; z) introduite. – Elle peut, par exemple, être indépendante de z sur une certaine longueur L: On remarquera que même dans ce cas, dans l’expression de Ckl (5.11), si hlj est un mode du guide (une distribution transverse en (x; y) stable par propagation selon z), ce n’est par le cas de " (x; y) jli : Ce terme représente une combinaison de modes dont le produit scalaire par hkj peut être calculé. Dans ce cas le coe¢ cient de couplage ne présente pas de variation en z: Le terme de phase dans l’équation di¤érentielle 5.11),fait intervenir les constantes de propagation longitudinales de modes existants. Ce sera le cas de l’application aux couplages entres guides. – Un cas di¤érent est celui où la perturbation est une fonction de période en z. Il en est alors de même du coe¢ cient de couplage : X (m) z Ckl = Ckl exp 2i m (5.13) m L’équation di¤érentielle 5.11) prend alors la forme : dAk (z) = dz i j kj k XX l (m) Ckl Al (z) exp i l k +m 2 z (5.14) m La condition de résonance impose que k + m 2 soit la constante de propagation longitudinale d’un mode existant k 0 et qu’il résonne avec le mode l: Ce sera le cas des applications des réseaux inscrits dans les guides. 5.2 5.2.1 Couplages entre guides Couplage entre deux guides Nous utiliserons le formalisme précédent pour décrire le couplage entre les modes de deux guides parallèles proches sur une distance L: De façon intuitive, on peut comprendre l’origine de ce couplage dans le fait que la ”queue exponentielle décroissante”d’un guide recouvre le second guide et que l’intégrale de recouvrement entre cette queue et un mode du second guide peut être non nulle (Figure 1). n L S n1 1 n2 2 n S Figure IV-1 geométrie du couplage entre deux guides 42 CHAPITRE 5. COUPLAGE DE MODES Comme précédemment, nous considérerons d’abord les modes des guides isolés. Les guides 1 et 2 sont respectivement décrits par les distributions d’indice de réfraction n21 (x; y) = n2S (x; y) + n21 (x; y) et n22 (x; y) = n2S (x; y) + n22 (x; y) (5.15) et ils supportent respectivement les modes E1 (x; y; z; t) = A: 1 (x; y) exp i (!t 1 z) et E2 (x; y; z; t) = B: 2 (x; y) exp i (!t 2 z) En les rapprochant sur une longueur L; on constitue à cet endroit un guide di¤érent dont les modes véri…ent l’équation de propagation T + !2 2 n (x; y) c2 2 ~ (x; y; z; t) = ~0 avec n2 (x; y) = n2 (x; y) + E S n21 (x; y) + n22 (x; y) Ses modes sont donc, comme précédemment, des combinaisons à coe¢ cients variables des modes des guides seuls : ~ (x; y; z; t) = A (z) : E 1 (x; y) exp i (!t 1 z) + B (z) : 2 (x; y) exp i (!t 2 z) Comme précédemment, les produits scalaires par 1 et 2 ; puis l’approximation de l’enveloppe lentement variable conduisent à deux équations couplées pour A (z) et B (z) : dA(z) dz = dB(z) = dz Cij = !"4 0 et avec iC11 A (z) iC12 B (z) exp i ( 1 2) z iC B (z) iC A (z) exp i ( 21 1 R 2) z R 22 !"0 2 n dx:dy et C = n2j ii i i j i 4 (5.16) i dx:dy – Les coe¢ cients Cii introduisent une modi…cation par le guide j; de la constante de propagation le guide i: En e¤et si A (z) exp i 1 z et B (z) exp i 2 z sont solutions des équations (5.16), alors i dans A (z) = A0 (z) exp iC11 z et B (z) = B 0 (z) exp iC22 z et dA0 (z) dz = iC12 B 0 (z) exp 2i z et avec dB 0 (z) dz 2 = =( iC21 A0 (z) exp 2i z ( 2 + C22 ) 1 + C11 ) – Les coe¢ cients Cij sont les coe¢ cients de couplage entre les guides. Si l’on résout ces équations avec pour conditions initiales A (0) = A0 et B (0) = 0, on obtient : p q sin z ( )2 +C12 C21 2 A0 (z) = A0 exp i z cos z ( ) + C12 C21 i ( ) p 2 ( ) +C12 C21 p sin z ( )2 +C12 C21 0 B (z) = iA0 exp i z:C21 p 2 ( (5.18) ) +C12 C21 Il faut de remarquer, et nous l’utiliserons par la suite qu’il existe un déphasage de dans le guide B et celle existant dans le guide A 5.2.2 (5.17) 2 entre l’amplitude couplée Cas de deux guides identiques Lorsque les deux guides sont identiques (C11 = C22 et C12 = C21 = C), ces expressions se simpli…ent et l’évolution selon z des puissances optiques dans les deux guides s’écrit : p p PA (z) PB (z) 2 2 2 2 C2 C2 (5.19) C2 + C2 + 2 sin z 2 sin z PA 0 = 1 PA (0) = C 2 + C2+ Une partie de la puissance optique passe alternativement d’un guide à l’autres et cet échange est total pour le couplage résonnant ( = 0) ; c’est à dire lorsque les deux modes couplés ont même constante de propagation longitudinale. On a alors : PA (z) PA 0 = cos2 jCj z On dé…nit alors la ”longueur de couplage”L = sur l’autre 2C et PB (z) PA (0) = sin2 jCj z (5.20) pour laquelle l’énergie d’un guide est entièrement transférée 5.2. COUPLAGES ENTRE GUIDES 43 Figure IV-2 Périodicité de l’échange d’énergie entre deux modes couplés 5.2.3 Evaluation des constantes de couplage Les constantes de couplages peuvent être calculées dans le cas de guides plans. Dans le cas de modes TE identiques de deux guides identiques d’épaisseur 2a et distants de d; on obtient avec les notations désormais habituelles : d 1 v2 u2 C= exp v (5.21) 2 2 k0 nef f 1 + v a V a π L= 2C S’il s’agit des modes LP01 de deux …bres identiques, on trouve : C= 1 u2 K0 v ad k0 n1 a2 V 2 K12 (v) (5.22) Expression dont on peut donner une expression approchée plus facilement utilisable : pour 1; 5 < V < 2; 5 et 2; 0 ad 4; 5 avec n2 n2 = 1n2 2 1 B = 0; 7769 1; 2252:V + 0; 0152:V 2 5.2.4 C' p 2 a 2 A + B ad + D ad2 exp A = 5; 2789:V D = 0; 0175 3; 663:V + 0; 3841:V 2 0; 0064:V 0; 0009:V 2 (5.23) Exemples Coupleur à …bres à 3dB On peut ainsi calculer les caractéristiques d’un coupleur à …bre réalisant la même fonction qu’une lame PB (L) semi-ré‡echissante, c’est à dire tel que PPAA(L) (0) = PA (0) = 0; 5 → PB(L ) L PA(0 ) → → PA(L ) Figure IV-3 : géométrie du coupleur à …bres Considérons par exemple deux …bres identiques de diamètre 2a = 10 m; d’indices de gaine et de coeur n1 = 1; 4532 et n2 = 1; 45 à la longueur d’onde 0 = 1; 300 m: Ces données correspondent à V ' 2; 329 et ' 0; 0044; c’est à dire à un coe¢ cient de couplage # " 2 d d C = 20; 8: exp 1; 1693 + 1; 9945: 0; 0373: exprimé en mm 1 a a Si l’on choisit une distance de 12 m entre les …bres, on obtient C = 0; 694mm coupleur à 3dB est alors obtenu pour une longueur L= 1 : Le fonctionnement en 1 = 1; 132mm 2 2C Ce composant permet par exemple de réaliser des interféromètres intégrés de Mach-Zehnder. On remarquera, comme l’indique la …gure, que le déphasage de =2 entre l’onde couplée et l’onde incidente est à l’origine d’interférences constructives sur une sortie et destructives sur l’autre (voir …gure 4). 44 CHAPITRE 5. COUPLAGE DE MODES iA0 2 2 1 1 iA0 + iA0 = iA0 2 2 3 dB 3 d 3 dB B 3 A0 d B A0 22 1 1 A0 + i2 A0 = 0 2 2 Figure IV-4 principe de l’interférometre intégré de Mach-Zehnder à coupleurs Multiplexeur en longueur d’onde Il est intéressant de noter qu’un changement de la longueur d’onde conduit, indépendamment de la dispersion du matériau, à une variation de V et donc du couplage. Ainsi, pour une longueur d’onde 0 = 1; 350 m; on trouve PPAA(L) (0) = 0; 555: Un tel coupleur est donc particulièrement chromatique. On peut utiliser cette propriété pour réaliser un multiplexeur en longueur d’onde tel que lorsque deux longueurs d’ondes se propagent initialement dans le guide A : PB ( 1 ; 0) = 0 , PA ( 1 ; 0) = P1 et PA ( 2 ; 0) = P2 l’une d’elle continue dans ce guide alors que l’autre soit entièrement couplée dans le second : PA ( 1 ; L) = P1 , PA ( 2 ; L) = 0 et PB ( 1 ; L) = 0, PB ( 2 ; L) = P2 2 )] L = λ1 L λ1 λ2 λ2 Figure IV-5 géométrie du multiplexeur à …bres On choisit pour cela la longueur L pour que C( 5.3 1) =m et C ( 2) = 1 2 m soit [C ( 1) C( (5.24) 2 Couplages par réseaux Nous considérerons ici le cas où le couplage résulte d’une perturbation périodique de la structure du guide. Il s’agira par exemple d’un modulation selon z de l’épaisseur ou de l’indice du coeur. Nous nous limiterons au couplage de deux modes, si bien que les équations couplées (voir 5.13 et 5.14) s’écrivent : dA1 (z) = dz avec 5.3.1 = i j 1j m C12 A2 (z) exp i 1 1 2 +m 2 m et Ckl dA2 (z) j j m :z et = i 2 C21 A1 (z) exp i dz 2 Z ! = Ek ["m El ] dxdy 4 :z (5.25) couplage co-directionnel de deux modes guidés La résolution des équations est aisée dans le cas où les deux modes se propagent dans la même direction. On parle alors de couplage est co-directionnel. On a alors : j 1j 1 = j 2j =1 (5.26) 2 et en introduisant les constantes = 2 m iC12 et K 2 = j j + 2 (5.27) 5.3. COUPLAGES PAR RÉSEAUX 45 on obtient simplement : A1 (z) = exp i z A1 (0) cos Kz A2 (z) = exp i i K z A2 (0) cos Kz + i sin Kz K A2 (0) sin Kz K A1 (0) sin Kz K (5.28) sin Kz Dans le cas particulier du couplage résonant ( = 0), ces relations se simpli…ent encore et avec les conditions initiales A1 (0) = A1 et A2 (0) = 0; on obtient simplement A1 (z) = A1 cos Kz et A2 (z) = A1 j j sin j j z (5.29) Il y a donc échange périodique entre les ondes 1 et 2 couplées par la perturbation. On véri…era à ce sujet que les équations (5.25) permettent immédiatement d’écrire d 2 2 jA1 j + jA2 j = 0 dz (5.30) qui est une relation de conservation de l’énergie totale. Exemple Nous considérerons ici le cas où le guide présente une modulation sinusoïdale d’épaisseur de hauteur h crête à crête, et de période ; autour de sa valeur moyenne d (…gure 6). Λ Superstrat nc S u p e r s t r a t h Guide G u i d nf e ns Substrat S u b s t r a d t Figure IV-6 geométrie et paramêtres du coupleur à réseau On supposera aussi que le réseau ainsi constitué couple deux modes par son ordre 1; si bien que = 2 1 Dans ce cas, il est possible de montrer de la constante 2 h 4 p = d1 d2 0 n2f n2ef f 1 n2f n2ef f 2 nef f 1 nef f 2 2 s’exprime sous la forme 3 12 2 1 1 5 avec dk = d + 4q k0 n2ef f k 1 n2s +q n2ef f k Avec les valeurs numériques suivantes : nf = 1; 51; ns = 1; 50; nc = 1; d = 4 m et deux modes TE co-propageants non perturbés d’indices e¤ectifs di¤érents. nef f 1 = 1 k0 = 1; 50862 et nef f 2 = 2 k0 = 1; 5046 Ils peuvent être couplés de façon résonante par un réseau de pas 2 = 1 = 2 2 1 = 149; 3 m k0 nef f 1 nef f 2 On trouve alors d1 = 4; 678 m d2 = 4; 897 m et = O; 598cm 1 0 n2c 3 5 (5.31) = 0; 6 m; il existe 46 CHAPITRE 5. COUPLAGE DE MODES A la résonance, l’énergie d’un mode peut être entièrement transférée sur l’autre pour une longueur d’interaction = 2; 63cm L= 2 Ce dispositif est à la base du fonctionnement de lasers à semiconducteurs dans lesquels la lumière est guidés et où une modulation périodique de l’épaisseur du guide constituant des miroirs distribués sélectifs, favorise considérablement le fonctionnement monomode longitudinal et transverse de laser. Ce sont les lasers DBR et DLB. Distributed Back Reflector laser (DBR) Distributed Feed Back laser (DFB) Figure IV-7 applications du couplage par réseaux à la réalisation de cavités laser intégrées. 5.3.2 Couplage d’un mode guidé et d’un mode radiatif Il est possible d’utiliser le même principe pour coupler un mode radiatif tel qu’une onde plane incidente sur une guide plan, à un mode guidé de ce guide. Ces coupleurs à réseaux sont utilisés pour introduire la lumière dans le guide où l’en extraire. Les deux con…gurations possibles sont résumées sur la …gure 8, où est l’angle d’incidence de l’onde plane et la constante de propagation longitudinale de l’onde guidée qui lui est couplée de façon résonante. La …gure illustre graphiquement la condition k0 ns cos + 2 =0 (5.32) nécessaire à cette résonance. θ kr = θ 2π Λ kr = β k0ns cosθ = β − 2π Λ 2π Λ β Figure IV-8 : condition d’accord de phase pour le couplage d’une onde plane et d’une onde guidée 5.3.3 Couplage contra-directionnel Une application importante dans le domaine des télécommunications est la possibilité de coupler dans un guide monomode, les deux modes se propageant en sens contraire. Pour cela, on réalise une modulation d’indice de réfraction du coeur du guide ( on parle alors de réseau de Bragg) : n (z) = nc + A1(0 ) = A κ= A2(0 ) n: sin 2 z (5.33) A1(L ) π∆n λ0 A2(L ) = 0 Z=L Z =0 Figure IV-9 : Réseau de Bragg inscrit dans un guide Les deux modes sont tels que j 1j 1 =1 j 2j 2 = 1 et =j 1j +j 2j 2 = 2k0 nef f 2 (5.34) 5.3. COUPLAGES PAR RÉSEAUX 47 Avec les conditions initiales de la …gure, les équations di¤érentielles (5.11) conduisent alors à (z L) A1 (z) = A cosh cosh L (z L) A2 (z) = A sinh cosh L avec = n a (5.35) Si bien que la structure se comporte comme un miroir de coe¢ cient de ré‡exion R= Ae (0) A1 (0) 2 = tanh2 L (5.36) Par exemple, dans un guide d’indice e¤ectif nef f = 1; 46 à la longueur d’onde 0 = 1; 550 m; une modulation d’indice d’amplitude n = 4:10 4 et de période = 531nm sur une longueur L = 2mm conduit à un coe¢ cient de ré‡exion R = 98%: Ce genre de dispositif est très utilisé pour séparer les longueurs d’ondes dans les systèmes de télécommunications par …bres optiques. Un caractéristique typique est illustrée par la …gure 10 qui montre en particulier la sensibilité du dispositif à la longueur d’onde. Doc. Highwave Optical Technologies Figure IV-10 : caractéristiques d’un …ltre de Bragg commercial 48 CHAPITRE 5. COUPLAGE DE MODES Exercice 1 : calculer la perte d’insertion entre résultant d’un écart longitudinal D entre deux …bres identiques baignant dans un milieu d’indice n. On écrira que le champ à la sortie de la première …bre est décrit par la gaussienne 0 = r 2 1 : exp !0 x2 + y 2 ! 20 On rappelle qu’après propagation sur une distance z, ce champ s’écrit : (z) = r 2 1 ik! 20 x2 + y 2 : exp ik exp 2 ! 0 2z + ik! 0 2R(z) x2 + y 2 exp ikz ! 2 (z) avec R(z) = z(1 + . 2 !4 2 D2 ) ! 2 (z) = ! 20 (1 + 2 D2 2 !4 ) k = k0 n = 0 n 5.3. COUPLAGES PAR RÉSEAUX 49 Le coe¢ cient de couplage vaut = 2 Z+1 Z (D) dxdy 0 1 r 2 1 : !0 !2 ik! 20 exp +ikD 2D ik! 20 Z+1 Z r 2 1 : !0 !2 ik! 20 exp +ikD 2D ik! 20 2 Z = r 2 1 : !0 !2 ik! 20 exp (+ikD) 2D ik! 20 +1 Z = r 2 1 : !0 !2 ik! 20 exp (+ikD) 2D ik! 20 +1 Z = = q = 1 ! 20 = 1 ! 20 = 2 2 + + 2 2 D i ! 20 k 1 i 2R(D) ! 2 (D) 4 2 ! 40 ( D2 + 2 ! 40 1+ 2 D2 +1 4 = 2 D2 +1 2 !4 0 = 1+ 2+ 1+ = 1 2 D2 2 !4 0 1+ 2 D2 2 !4 0 2 D2 2 !4 0 )2 2 D2 2 !4 0 2 D2 2 !4 0 )2 1 + 2 D2 2 !4 0 2 D2 2 !4 0 1 4+ 2 D2 2 !4 0 1 1+ 2 D2 4 2 !4 0 3+ + +1 2 + 4 2 + D2 )2 + 2 !4 0 +1 +1 d 0 exp 2 D2 exp r 2 +1 +1 1 2 D2 2 !4 0 2 +1 1 1 + 2 2 !0 ! (D) 2 1 r2 rdr 2 ! (D) i 2rdr R(D) 2 1 1 + 2 2 !0 ! (D) exp u 0 ( 1+ r2 exp R(D) 2 1 (1 ! 20 2 !4 0 + 2 D2 2 !4 0 r2 exp +i ! 20 0 2 !4 0 x2 + y 2 dxdy ! 2 (D) 2 + 1 2 D2 2 !4 0 2 D2 2 !4 0 +1 Z 2 2k 2D ik! 20 k 1 i 2R(D) ! 2 (D) 1 2 D2 2 D2 2 !4 0 1 ! 20 exp 1 1 1 4 4 ( 2+ 2 2 D2 2 !4 0 2 D2 2 ! 4 +1 0 1+ = ( = 1 4 2+ = 2 ik! 20 2D ik! 20 k 1 i 2R(D) ! 2 (D) 2 !4 0 = : !10 4 = 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2 exp +ik exp 2 !0 2R(D) 2 !4 0 2 D2 2 R(D) du 2 4 2 D i2 ! 20 k 1 + !2 1(D) i 2R(D) ! 20 = 1 1+ i 2 D2 2 !4 0 1 )2 ) 2 + 2 D2 1+ 2 !4 0 2 D2 2
