Étude statistiques des fonctions de score utilisées dans

Étude statistiques des fonctions
de score utilisées dans
Séries génératrices probabilisées
Alban M ANCHERON & Jérémie B OURDON
[email protected]
[email protected]
Laboratoire d’Informatique de Nantes-Atlantique
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.1/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Séries génératrices
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Séries génératrices
Étude statistique des fonctions de score utilisées dans
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Séries génératrices
Étude statistique des fonctions de score utilisées dans
Définition de la série génératrice
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Séries génératrices
Étude statistique des fonctions de score utilisées dans
Définition de la série génératrice
Propriétés de la série génératrice
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Séries génératrices
Étude statistique des fonctions de score utilisées dans
Définition de la série génératrice
Propriétés de la série génératrice
Moyenne / Variance
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Séries génératrices
Étude statistique des fonctions de score utilisées dans
Définition de la série génératrice
Propriétés de la série génératrice
Moyenne / Variance
Distribution
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Sommaire
Pattern Matching – Alignement de séquences
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
« Information Content »
Fonctions de score utilisées dans
Rappels de Statistiques
Variables Aléatoires
Moments
Séries génératrices
Étude statistique des fonctions de score utilisées dans
Définition de la série génératrice
Propriétés de la série génératrice
Moyenne / Variance
Distribution
Conclusions & Perspectives
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.2/21
Pattern Matching
–
Alignement de séquences
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.3/21
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
Loi doublement exponentielle
ou des valeurs extrêmes de type I
ou de « G UMBEL »
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.4/21
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
Loi doublement exponentielle
ou des valeurs extrêmes de type I
ou de « G UMBEL »
f (x) = e−x−e
−x
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.4/21
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
0.4
0.35
Loi doublement exponentielle
ou des valeurs extrêmes de type I
ou de « G UMBEL »
0.3
0.25
0.2
0.15
f (x) = e−x−e
−x
0.1
0.05
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.4/21
B LAST / algorithme de N EEDLEMAN -W UNSCH
0.4
0.35
Loi doublement exponentielle
ou des valeurs extrêmes de type I
ou de « G UMBEL »
0.3
0.25
0.2
0.15
f (x) = e−x−e
−x
0.1
0.05
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B LAST, FASTA, . . .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.4/21
« Information Content »
Loi Gamma G(n, λ)
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.5/21
« Information Content »
Loi Gamma G(n, λ)
8
< 0
si x < 0
f (x) =
: λn xn−1 e−λx sinon
Γ(n)
R +∞ −x n−1
avec Γ(x) = 0
e x
dx
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.5/21
« Information Content »
2
Gamma(1,1)
Gamma(1,2)
Gamma(2,1)
Gamma(2,2)
Loi Gamma G(n, λ)
1.5
8
< 0
si x < 0
f (x) =
: λn xn−1 e−λx sinon
Γ(n)
R +∞ −x n−1
avec Γ(x) = 0
e x
dx
n=1
⇔
Loi Exponentielle
λ = 1/2
⇔
Loi du χ2 à 2 n ddl
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.5/21
« Information Content »
2
Gamma(1,1)
Gamma(1,2)
Gamma(2,1)
Gamma(2,2)
Loi Gamma G(n, λ)
1.5
8
< 0
si x < 0
f (x) =
: λn xn−1 e−λx sinon
Γ(n)
R +∞ −x n−1
avec Γ(x) = 0
e x
dx
n=1
⇔
Loi Exponentielle
λ = 1/2
⇔
Loi du χ2 à 2 n ddl
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P RATT, « Sequence Logo », . . .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.5/21
Fonctions de score utilisées dans
Matrices de similarité
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.6/21
Fonctions de score utilisées dans
Matrices de similarité
« Information Content »
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.6/21
Fonctions de score utilisées dans
Matrices de similarité
« Information Content »
Fonctions « maisons » basées sur un découpage en
blocs consécutifs de « matches » et de « mismatches »
entre deux motifs alignés.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.6/21
Fonctions de score utilisées dans
Matrices de similarité
« Information Content »
Fonctions « maisons » basées sur un découpage en
blocs consécutifs de « matches » et de « mismatches »
entre deux motifs alignés.
1 ACGTGCATCGATCGACTCGCATCGGTCAGT
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.6/21
Fonctions de score utilisées dans
Matrices de similarité
« Information Content »
Fonctions « maisons » basées sur un découpage en
blocs consécutifs de « matches » et de « mismatches »
entre deux motifs alignés.
1 ACGTGCATCGATCGACTCGCATCGGTCAGT
1 ACGCGCATCGACGGAGAACTCTCGGTCAGT
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.6/21
Fonctions de score utilisées dans
Matrices de similarité
« Information Content »
Fonctions « maisons » basées sur un découpage en
blocs consécutifs de « matches » et de « mismatches »
entre deux motifs alignés.
1 ACGTGCATCGATCGACTCGCATCGGTCAGT
1 ACGCGCATCGACGGAGAACTCTCGGTCAGT
1 .3.1...7....2.2...6......9....
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.6/21
Fonctions de score utilisées dans
Matrices de similarité
« Information Content »
Fonctions « maisons » basées sur un découpage en
blocs consécutifs de « matches » et de « mismatches »
entre deux motifs alignés.
1 ACGTGCATCGATCGACTCGCATCGGTCAGT
1 ACGCGCATCGACGGAGAACTCTCGGTCAGT
1 .3.1...7....2.2...6......9....
Soient deux fonctions f = , f 6= strictement monotones définies sur [0, +∞[, le score
est alors obtenu en appliquant f = et f 6= sur la taille des blocs consécutifs de
« matches » et de « mismatches », et en additionnant leurs valeurs :
Score := f = (3) + f 6= (1) + f = (7) + f 6= (2) + f = (2) + f 6= (6) + f = (9)
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.6/21
Rappels
de
Statistiques
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.7/21
Variables Aléatoires (1/4)
Soit S un ensemble fondamental correspondant à une
expérience. Les éléments de S sont les résultats possibles de
l’expérience.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.8/21
Variables Aléatoires (1/4)
Soit S un ensemble fondamental correspondant à une
expérience. Les éléments de S sont les résultats possibles de
l’expérience.
S’il existe une application X : S → R, alors X est une Variable
Aléatoire.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.8/21
Variables Aléatoires (1/4)
Soit S un ensemble fondamental correspondant à une
expérience. Les éléments de S sont les résultats possibles de
l’expérience.
S’il existe une application X : S → R, alors X est une Variable
Aléatoire.
X est dite discrète si elle est une application de S dans un
sous-ensemble discret de R, continue sinon.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.8/21
Variables Aléatoires (1/4)
Soit S un ensemble fondamental correspondant à une
expérience. Les éléments de S sont les résultats possibles de
l’expérience.
S’il existe une application X : S → R, alors X est une Variable
Aléatoire.
X est dite discrète si elle est une application de S dans un
sous-ensemble discret de R, continue sinon.
Étant donné a ∈ R, et une relation <, l’évènement constitué de
tous les résultats ξ d’expériences tels que X (ξ) < a est noté
[X (ξ) < a] ou en abrégé X < a.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.8/21
Variables Aléatoires 2/4
Soit X une Variable Aléatoire Discrète.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.9/21
Variables Aléatoires 2/4
Soit X une Variable Aléatoire Discrète.
On note Prob[X = x] la probabilité que le résultat de l’expérience
S par l’application X soit égale à x.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.9/21
Variables Aléatoires 2/4
Soit X une Variable Aléatoire Discrète.
On note Prob[X = x] la probabilité que le résultat de l’expérience
S par l’application X soit égale à x.
Nécessairement, on a
+∞
X
Prob[X
= x] = 1.
x=−∞
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.9/21
Variables Aléatoires 2/4
Soit X une Variable Aléatoire Discrète.
On note Prob[X = x] la probabilité que le résultat de l’expérience
S par l’application X soit égale à x.
Nécessairement, on a
+∞
X
Prob[X
= x] = 1.
x=−∞
On dit que P définit la loi (ou distribution) de probabilité de la
Variable Aléatoire Discrète X .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.9/21
Variables Aléatoires 3/4
Moyenne (ou espérance mathématique)
8
+∞
X
<
x × Prob[X = x]. On a
µX = E[X ] =
x=−∞
E[k × X ]
=
k × E[X ]
: E[X + k]
=
E[X ] + k
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.10/21
Variables Aléatoires 3/4
Moyenne (ou espérance mathématique)
8
+∞
X
<
x × Prob[X = x]. On a
µX = E[X ] =
x=−∞
Variance
i
h
2
2
= Var[X ] = E (X − µX )
σX
2
= E X − E2 [X ]
E[k × X ]
=
k × E[X ]
: E[X + k]
=
E[X ] + k
(σX est aussi appelé l’écart-type de X .)
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.10/21
Variables Aléatoires 3/4
Moyenne (ou espérance mathématique)
8
+∞
X
<
x × Prob[X = x]. On a
µX = E[X ] =
x=−∞
Variance
i
h
2
2
= Var[X ] = E (X − µX )
σX
2
= E X − E2 [X ]
E[k × X ]
=
k × E[X ]
: E[X + k]
=
E[X ] + k
(σX est aussi appelé l’écart-type de X .)
Fonction de répartition
Donnée par F(x) = Prob[X ≤ x] =
x
X
Prob[X
= y].
y=−∞
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.10/21
Variables Aléatoires 4/4
À l’instar des Variables Aléatoires Discrètes, il est possible de
calculer la moyenne, la variance (et l’écart-type), ainsi que
Z de
P
donner la fonction de répartition, en substituant
par .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.11/21
Variables Aléatoires 4/4
À l’instar des Variables Aléatoires Discrètes, il est possible de
calculer la moyenne, la variance (et l’écart-type), ainsi que
Z de
P
donner la fonction de répartition, en substituant
par .
Moyenne (ou espérance mathématique)
Z +∞
x × Prob[X = x] dx
µX = E[X ] =
−∞
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.11/21
Variables Aléatoires 4/4
À l’instar des Variables Aléatoires Discrètes, il est possible de
calculer la moyenne, la variance (et l’écart-type), ainsi que
Z de
P
donner la fonction de répartition, en substituant
par .
Moyenne (ou espérance mathématique)
Z +∞
x × Prob[X = x] dx
µX = E[X ] =
−∞
Variance
i
h
2
2
2
σX = Var[X ] = E (X − µX ) = E X − E2 [X ]
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.11/21
Variables Aléatoires 4/4
À l’instar des Variables Aléatoires Discrètes, il est possible de
calculer la moyenne, la variance (et l’écart-type), ainsi que
Z de
P
donner la fonction de répartition, en substituant
par .
Moyenne (ou espérance mathématique)
Z +∞
x × Prob[X = x] dx
µX = E[X ] =
−∞
Variance
i
h
2
2
2
σX = Var[X ] = E (X − µX ) = E X − E2 [X ]
Fonction de répartition
Z
x
F(x) = Prob[X ≤ x] =
Prob[X
= y] dy
−∞
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.11/21
Moments
On appelle Moment d’ordre
k de la V.A. X
la valeur mk (X ) = E X k .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.12/21
Moments
On appelle Moment d’ordre
k de la V.A. X
la valeur mk (X ) = E X k .
Ainsi, le moment d’ordre 1 de la V.A. X correspond à sa moyenne.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.12/21
Moments
On appelle Moment d’ordre
k de la V.A. X
la valeur mk (X ) = E X k .
Ainsi, le moment d’ordre 1 de la V.A. X correspond à sa moyenne.
On appelle Momentcentré d’ordre
k de la V.A. X
la valeur µk (X ) = E (X − E[X ])k .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.12/21
Moments
On appelle Moment d’ordre
k de la V.A. X
la valeur mk (X ) = E X k .
Ainsi, le moment d’ordre 1 de la V.A. X correspond à sa moyenne.
On appelle Momentcentré d’ordre
k de la V.A. X
la valeur µk (X ) = E (X − E[X ])k .
Ainsi, le moment centré d’ordre 2 de la V.A. X correspond à sa
variance.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.12/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
. . . probabilisée
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
. . . probabilisée
. . . à une variable associée à un ensemble de mots L
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
. . . probabilisée
. . . à une variable associée à un ensemble de mots L
est définie par
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
. . . probabilisée
. . . à une variable associée à un ensemble de mots L
est définie par L(z) :=
X
pw z |w|
w∈L
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
. . . probabilisée
. . . à une variable associée à un ensemble de mots L
est définie par L(z) :=
X
w∈L
pw z
|w|
=
X
n≥0
z
n
X
pw .
w∈L,|w|=n
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
. . . probabilisée
. . . à une variable associée à un ensemble de mots L
est définie par L(z) :=
X
w∈L
pw z
|w|
=
X
n≥0
z
n
X
pw .
w∈L,|w|=n
On dénote par [z n ]L(z) le coefficient de z n dans la somme
formelle L(z).
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 1/2
La série génératrice. . .
. . . de moments
. . . probabilisée
. . . à une variable associée à un ensemble de mots L
est définie par L(z) :=
X
w∈L
pw z
|w|
=
X
n≥0
z
n
X
pw .
w∈L,|w|=n
On dénote par [z n ]L(z) le coefficient de z n dans la somme
formelle L(z).
Exemple, la série génératrice associée à Σ∗ est F (z) =
1
1−z .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.13/21
Séries génératrices 2/2
La série génératrice de la fonction de coût S(w) est la série double (probabilisée)
formelle L(z, u) associée à l’ensemble L suivante :
L(z, u) :=
X
pw uS(w) z |w|
w∈L
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.14/21
Séries génératrices 2/2
La série génératrice de la fonction de coût S(w) est la série double (probabilisée)
formelle L(z, u) associée à l’ensemble L suivante :
L(z, u) :=
X
w∈L
pw u
S(w) |w|
z
=
X
n≥0
z
n
X
pw uS(w) .
w∈L,|w|=n
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.14/21
Séries génératrices 2/2
La série génératrice de la fonction de coût S(w) est la série double (probabilisée)
formelle L(z, u) associée à l’ensemble L suivante :
L(z, u) :=
X
pw u
S(w) |w|
z
=
w∈L
E[Sn ]
:=
X
|w|=n
X
n≥0
z
n
X
pw uS(w) .
w∈L,|w|=n
˛
˛
∂
n
pw S(w) = [z ]
L(z, u)˛˛
∂u
u=1
Var[Sn ]
X
|w|=n
pw S(w)2 = [z n ]
„
˛
˛
«
˛
˛
∂2
∂
L(z, u)˛˛
L(z, u)˛˛
+
2
∂u
∂u
u=1
u=1
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.14/21
Séries génératrices 2/2
La série génératrice de la fonction de coût S(w) est la série double (probabilisée)
formelle L(z, u) associée à l’ensemble L suivante :
L(z, u) :=
X
pw u
S(w) |w|
z
=
w∈L
E[Sn ]
:=
X
|w|=n
Var[Sn ]
=
E
X
ˆ
2
Sn
n≥0
z
n
X
pw uS(w) .
w∈L,|w|=n
˛
˛
∂
n
pw S(w) = [z ]
L(z, u)˛˛
∂u
u=1
˜
|w|=n
X
− E2 [Sn ]
pw S(w)2 = [z n ]
„
˛
˛
«
˛
˛
∂2
∂
L(z, u)˛˛
L(z, u)˛˛
+
2
∂u
∂u
u=1
u=1
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.14/21
Séries génératrices 2/2
La série génératrice de la fonction de coût S(w) est la série double (probabilisée)
formelle L(z, u) associée à l’ensemble L suivante :
L(z, u) :=
X
pw u
S(w) |w|
z
=
w∈L
E[Sn ]
:=
X
|w|=n
Var[Sn ]
E Sn
ˆ
˜
2
=
:=
E
ˆ
2
Sn
X
n≥0
z
n
X
pw uS(w) .
w∈L,|w|=n
˛
˛
∂
n
pw S(w) = [z ]
L(z, u)˛˛
∂u
u=1
˜
|w|=n
X
− E2 [Sn ]
pw S(w)2 = [z n ]
„
∂2
˛
˛
˛
L(z,
u)
˛
2
∂u
u=1
˛
˛
∂
L(z, u)˛˛
+
∂u
u=1
«
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.14/21
Séries génératrices 2/2
La série génératrice de la fonction de coût S(w) est la série double (probabilisée)
formelle L(z, u) associée à l’ensemble L suivante :
L(z, u) :=
X
pw u
S(w) |w|
z
=
w∈L
E[Sn ]
:=
X
|w|=n
Var[Sn ]
E Sn
ˆ
˜
2
=
:=
E
ˆ
2
Sn
X
n≥0
z
n
X
pw uS(w) .
w∈L,|w|=n
˛
˛
∂
n
pw S(w) = [z ]
L(z, u)˛˛
∂u
u=1
˜
|w|=n
X
− E2 [Sn ]
pw S(w)2 = [z n ]
„
∂2
˛
˛
˛
L(z,
u)
˛
2
∂u
u=1
˛
˛
∂
L(z, u)˛˛
+
∂u
u=1
«
Il reste juste simplement à trouver une expression de L(z, u) et de ses dérivées afin de
facilement extraire le coefficient de z n .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.14/21
Étude statistique
des fonctions de score
utilisées dans
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.15/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
Décomposition de L = {0, 1}∗
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ )
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ )
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ ) : f =
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ )
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ ) : f =
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ ) : f 6=
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ ) : f =
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ ) : f 6=
Décomposition de la série L(z, u)
Série associée à l’ensemble 1+
Série associée à l’ensemble 0+
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ ) : f =
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ ) : f 6=
Décomposition de la série L(z, u)
X
k f = (k) k
+
Série associée à l’ensemble 1 : S1 (z, u) :=
p1 u
z .
k>0
Série associée à l’ensemble 0+
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ ) : f =
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ ) : f 6=
Décomposition de la série L(z, u)
X
k f = (k) k
+
Série associée à l’ensemble 1 : S1 (z, u) :=
p1 u
z .
k>0
Série associée à l’ensemble 0
+
: S0 (z, u) :=
X
k f 6= (k) k
p0 u
z .
k>0
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ ) : f =
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ ) : f 6=
Décomposition de la série L(z, u)
X
k f = (k) k
+
Série associée à l’ensemble 1 : S1 (z, u) :=
p1 u
z .
k>0
Série associée à l’ensemble 0
Série L(z, u) associée à L
+
: S0 (z, u) :=
X
k f 6= (k) k
p0 u
z .
k>0
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Définition de la série génératrice
Un « match » ⇔ 1 peut se produire avec une probabilité p1
Un « mismatch » ⇔ 0 peut se produire avec une probabilité p0
∗
Décomposition de L = {0, 1}∗ = 0∗ (1+ 0+ ) 1∗ .
Fonctions strictement monotones définies sur [0, +∞[ appliquées
à la taille des blocs de « matches » (1+ ) : f =
à la taille des blocs de « mismatches » (0+ ) : f 6=
Décomposition de la série L(z, u)
X
k f = (k) k
+
Série associée à l’ensemble 1 : S1 (z, u) :=
p1 u
z .
k>0
Série associée à l’ensemble 0
Série L(z, u) associée à L :
+
: S0 (z, u) :=
X
k f 6= (k) k
p0 u
z .
k>0
1
· (1 + S1 (z, u)).
L(z, u) = (1 + S0 (z, u)) ·
1 − S1 (z, u)S0 (z, u)
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.16/21
Propriétés de la série génératrice
Les séries S0 et S1 satisfont
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.17/21
Propriétés de la série génératrice
Les séries S0 et S1 satisfont
p0 z
,
S0 (z, 1) =
1 − p0 z
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.17/21
Propriétés de la série génératrice
Les séries S0 et S1 satisfont
p0 z
,
S0 (z, 1) =
1 − p0 z
p1 z
S1 (z, 1) =
,
1 − p1 z
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.17/21
Propriétés de la série génératrice
Les séries S0 et S1 satisfont
p0 z
p1 z
,
S1 (z, 1) =
,
S0 (z, 1) =
1 − p0 z
1 − p1 z
X
∂
=
pk0 f 6= (k)z k
S0 (z, u)
∂u
u=1
k>0
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.17/21
Propriétés de la série génératrice
Les séries S0 et S1 satisfont
p0 z
p1 z
,
S1 (z, 1) =
,
S0 (z, 1) =
1 − p0 z
1 − p1 z
X
∂
=
pk0 f 6= (k)z k
et
S0 (z, u)
∂u
u=1
k>0
2
X
∂
∂
k 6=
2 k
S
+
(z,
u)
=
p
(f
(k))
z
0
0
2
∂u
∂u
u=1
k>0
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.17/21
Moyenne / Variance
8
>
c1
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c1
>
>
>
>
>
>
<
Soient
c2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c3
>
>
>
>
>
>
>
>
: (2)
c1
:=
s00 p21 + s01 p20
:=
s00 p21 + s01 p20
:=
p0 p1 (s00 + s01 )
:=
p0 p1 s00 s01
:=
2
00 2
s00
0 p1 + s 1 p0
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.18/21
Moyenne / Variance
8
>
c1
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c1
>
>
>
>
>
>
<
Soient
c2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c3
>
>
>
>
>
>
>
>
: (2)
c1
:=
:=
:=
:=
:=
s00 p21 + s01 p20
s00 p21 + s01 p20
p0 p1 (s00 + s01 )
p0 p1 s00 s01
2
00 2
s00
0 p1 + s 1 p0
avec
8
>
s00
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
0
>
s
>
>
< 0
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s00
>
0
>
>
>
>
>
>
>
>
00
>
>
: s1
:=
:=
:=
:=
:=
˛
˛
∂
S
(z,
u)
˛
0
∂u
z=1,u=1
˛
˛
∂
S
(z,
u)
˛
1
∂u
z=1,u=1
˛
˛
∂ ∂
S (z, u)˛
∂z ∂u 0
z=1,u=1
˛
˛
∂ ∂
S
(z,
u)
˛
1
∂z ∂u
z=1,u=1
X
pk0 f 6= (k) (f 6= (k) − 1)
X
pk1 f = (k) (f = (k) − 1)
k>0
:=
k>0
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.18/21
Moyenne / Variance
8
>
c1
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c1
>
>
>
>
>
>
<
Soient
c2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c3
>
>
>
>
>
>
>
>
: (2)
c1
:=
:=
:=
:=
:=
s00 p21 + s01 p20
s00 p21 + s01 p20
p0 p1 (s00 + s01 )
p0 p1 s00 s01
2
00 2
s00
0 p1 + s 1 p0
avec
8
>
s00
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
0
>
s
>
>
< 0
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s00
>
0
>
>
>
>
>
>
>
>
00
>
>
: s1
:=
:=
:=
:=
:=
˛
˛
∂
S
(z,
u)
˛
0
∂u
z=1,u=1
˛
˛
∂
S
(z,
u)
˛
1
∂u
z=1,u=1
˛
˛
∂ ∂
S (z, u)˛
∂z ∂u 0
z=1,u=1
˛
˛
∂ ∂
S
(z,
u)
˛
1
∂z ∂u
z=1,u=1
X
pk0 f 6= (k) (f 6= (k) − 1)
X
pk1 f = (k) (f = (k) − 1)
k>0
:=
k>0
Expression de la moyenne : E[Sn ] = n c1 + 2 c2 + c1 − c1 + o(1).
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.18/21
Moyenne / Variance
8
>
c1
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c1
>
>
>
>
>
>
<
Soient
c2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c3
>
>
>
>
>
>
>
>
: (2)
c1
:=
:=
:=
:=
:=
s00 p21 + s01 p20
s00 p21 + s01 p20
p0 p1 (s00 + s01 )
p0 p1 s00 s01
2
00 2
s00
0 p1 + s 1 p0
avec
8
>
s00
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
0
>
s
>
>
< 0
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s00
>
0
>
>
>
>
>
>
>
>
00
>
>
: s1
:=
:=
:=
:=
:=
˛
˛
∂
S
(z,
u)
˛
0
∂u
z=1,u=1
˛
˛
∂
S
(z,
u)
˛
1
∂u
z=1,u=1
˛
˛
∂ ∂
S (z, u)˛
∂z ∂u 0
z=1,u=1
˛
˛
∂ ∂
S
(z,
u)
˛
1
∂z ∂u
z=1,u=1
X
pk0 f 6= (k) (f 6= (k) − 1)
X
pk1 f = (k) (f = (k) − 1)
k>0
:=
k>0
Expression de la moyenne : E[Sn ] = n c1 + 2 c2 + c1 − c1 + o(1).
Expression de la variance : Var[Sn ] = n[c21 + c1 + 2 c3 − c21 − 2 c1 c1 + 2 c1 c2 ] + o(n).
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.18/21
Moyenne / Variance
8
>
c1
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c1
>
>
>
>
>
>
<
Soient
c2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
c3
>
>
>
>
>
>
>
>
: (2)
c1
:=
:=
:=
:=
:=
s00 p21
+
s01 p20
s00 p21 + s01 p20
p0 p1 (s00 + s01 )
p0 p1 s00 s01
2
00 2
s00
0 p1 + s 1 p0
avec
8
>
s00
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
0
>
s
>
>
< 0
>
>
s01
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
s00
>
0
>
>
>
>
>
>
>
>
00
>
>
: s1
=
X
f 6= (k)pk0
X
f = (k)pk1
X
kf 6= (k)pk0
X
kf = (k)pk1
X
pk0 f 6= (k) (f 6= (k) − 1)
X
pk1 f = (k) (f = (k) − 1)
k>0
=
k>0
=
k>0
=
k>0
:=
k>0
:=
k>0
Expression de la moyenne : E[Sn ] = n c1 + 2 c2 + c1 − c1 + o(1).
Expression de la variance : Var[Sn ] = n[c21 + c1 + 2 c3 − c21 − 2 c1 c1 + 2 c1 c2 ] + o(n).
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.18/21
Distribution
Idée de la distribution ?
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution ?
Tests :
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution ?
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
Bacillus Subtilis
Moyenne
Loi
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution ?
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
Bacillus Subtilis
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
-500
-1000
Moyenne
-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Loi
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution ?
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
-500
-500
-1000
-1000
-1500
-1500
-2000
-2000
-2500
-2500
-3000
-3000
-3500
-3500
-4000
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
0
Moyenne
Bacillus Subtilis
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Loi
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution ?
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
Moyenne
Bacillus Subtilis
-500
-500
-1000
-1000
-1500
-1500
-2000
-2000
-2500
-2500
-3000
-3000
-3500
-4000
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
-3500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
8000
9000
10000
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Loi Centree exp.
Loi normale N(0,1)
0.9
0.8
0.7
Loi
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution ?
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
Bacillus Subtilis
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
Moyenne
-500
-500
-1000
-1000
-1500
-1500
-2000
-2000
-2500
-2500
-3000
-3000
-3500
-4000
-3500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Loi Centree exp.
Loi normale N(0,1)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Loi centree exp.
Loi Normale N(0,1)
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
-4000
1
1
Loi
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution : Gaussienne.
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
Bacillus Subtilis
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
Moyenne
-500
-500
-1000
-1000
-1500
-1500
-2000
-2000
-2500
-2500
-3000
-3000
-3500
-4000
-3500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi
8000
9000
10000
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi Centree exp.
Loi normale N(0,1)
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
8000
9000
10000
Loi centree exp.
Loi Normale N(0,1)
0.1
-6
-4
-2
0
2
4
6
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution : Gaussienne.
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
Bacillus Subtilis
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
Moyenne
-500
-500
-1000
-1000
-1500
-1500
-2000
-2000
-2500
-2500
-3000
-3000
-3500
-4000
-3500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi
8000
9000
10000
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi Centree exp.
Loi normale N(0,1)
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
8000
9000
10000
Loi centree exp.
Loi Normale N(0,1)
0.1
-6
-4
-2
0
2
4
6
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Idée de la preuve ?
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution : Gaussienne.
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
Bacillus Subtilis
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
Moyenne
-500
-500
-1000
-1000
-1500
-1500
-2000
-2000
-2500
-2500
-3000
-3000
-3500
-4000
-3500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi
8000
9000
10000
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi Centree exp.
Loi normale N(0,1)
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
8000
9000
10000
Loi centree exp.
Loi Normale N(0,1)
0.1
-6
-4
-2
0
2
4
6
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Idée de la preuve
Utilisation de la fonction caractéristique φX associée à la V.A. X définie par
˜
ˆ
φX (t) := E eitX pour tout t ∈ R ; sachant que la fonction caractéristique d’une V.A.
gaussienne centrée réduite est e−t
2 /2
.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution
Idée de la distribution : Gaussienne.
Tests : échantillons de 20000 mesures de score pour des séquences de taille 1000.
Source sans mémoire
500
Bacillus Subtilis
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
Moyenne
-500
-500
-1000
-1000
-1500
-1500
-2000
-2000
-2500
-2500
-3000
-3000
-3500
-4000
-3500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi
8000
9000
10000
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
Loi Centree exp.
Loi normale N(0,1)
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
8000
9000
10000
Loi centree exp.
Loi Normale N(0,1)
0.1
-6
-4
-2
0
2
4
6
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Idée de la preuve : Démo du Théorème Central Limite
Utilisation de la fonction caractéristique φX associée à la V.A. X définie par
˜
ˆ
φX (t) := E eitX pour tout t ∈ R ; sachant que la fonction caractéristique d’une V.A.
gaussienne centrée réduite est e−t
2 /2
.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Conclusions
&
Perspectives
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.20/21
Ce qu’il reste à faire. . .
Prouver que les fonctions de scores suivent
une loi normale.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.21/21
Ce qu’il reste à faire. . .
Prouver que les fonctions de scores suivent
une loi normale.
Étendre les résultats aux opérateurs
générateurs.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.21/21
Ce qu’il reste à faire. . .
Prouver que les fonctions de scores suivent
une loi normale.
Étendre les résultats aux opérateurs
générateurs.
Intégrer ces résultats dans
:
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.21/21
Ce qu’il reste à faire. . .
Prouver que les fonctions de scores suivent
une loi normale.
Étendre les résultats aux opérateurs
générateurs.
Intégrer ces résultats dans
:
afin d’améliorer les résultats,
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.21/21
Ce qu’il reste à faire. . .
Prouver que les fonctions de scores suivent
une loi normale.
Étendre les résultats aux opérateurs
générateurs.
Intégrer ces résultats dans
:
afin d’améliorer les résultats,
afin de diminuer les temps de calcul,
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.21/21
Ce qu’il reste à faire. . .
Prouver que les fonctions de scores suivent
une loi normale.
Étendre les résultats aux opérateurs
générateurs.
Intégrer ces résultats dans
:
afin d’améliorer les résultats,
afin de diminuer les temps de calcul,
afin d’intégrer la notion de quorum.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.21/21
Ce qu’il reste à faire. . .
Prouver que les fonctions de scores suivent
une loi normale.
Étendre les résultats aux opérateurs
générateurs.
Intégrer ces résultats dans
:
afin d’améliorer les résultats,
afin de diminuer les temps de calcul,
afin d’intégrer la notion de quorum.
Calculer la complexité moyenne de
.
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.21/21
Moyenne – Source sans mémoire
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.333*n-0.222)
0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution – Source sans mémoire
1
Loi Centree exp.
Loi normale N(0,1)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Moyenne – Bacillus Subtilis
500
Points experimentaux
Moyenne Theorique (-.318*n-0.232)
0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21
Distribution – Bacillus Subtilis
1
Loi centree exp.
Loi Normale N(0,1)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Mini-Séminaire – Vendredi 19 novembre 2004 – p.19/21