LIBAN - S - MAI 2011

LIBAN - S - MAI 2011 - 3 points
1. a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M2 de couleur noire est :
3
4
3
6
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :
Réponse D :
5
5
50
25
60/100
N
70/100
40/100
B
30/100
80/100
N
Commençons par traduire en arbre les données de l’exercice :
M1
M2
p(M 2 ∩ N) = p (M 2 ) × pM 2 (N) =
30 80
6
.
×
=
100 100 25
20/100
B
b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est :
21
33
3
12
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :
Réponse D :
50
50
5
25
Principe des probabilités totales :
p(N) = p(M1 ∩ N) + p (M 2 ∩ N) = p(M1 ) × pM1 (N) + p(M 2 ) × pM 2 (N)
p(N) =
70 60 30 80 33
×
+
×
=
.
100 100 100 100 50
c. Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marque M2 est :
4
6
7
33
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :
Réponse D :
11
25
11
50
6
p (M 2 ∩ N) 25 4
pN (M 2 ) =
=
= .
33 11
p (N)
50
2. Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues.
Les boules sont indiscernables au toucher.
L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.
a. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :
11
2
5
4
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :
Réponse D :
81
7
84
63
Un tirage est une combinaison de 3 boules parmi les 9.
 4   3
   
3
3
4 +1
5
Les trois boules peuvent être jaune ou bien bleues.   +   =
=
.
9
8
7
×
×
9
9
84
   
    3 × 2 ×1
 3  3
b. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :
2
1
1
79
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :
Réponse D :
7
7
21
84
4× 2×3 2
Il faut tirer une jaune parmi les 4, une rouge parmi les 2 et une bleue parmi les 3 :
= .
84
7
LIBAN - S - MAI 2011 - 3 points
c. On répète plusieurs fois l’expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les
trois boules dans l’urne.
Le nombre minimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement « obtenir au
moins une fois trois boules jaunes » soit supérieure ou égale à 0,99 est :
Réponse A : 76
Réponse B : 71
Réponse C : 95
Réponse D : 94
4
1
=
.
84 21
Désignons par n le nombre d’expériences réalisées.
La probabilité d’obtenir 3 boules jaunes est
n
 20 
La probabilité d’obtenir au moins une fois trois boules jaunes est 1 −   .
 21 
n
n
n
20
ln 0,01
 20 
 20 
 20 
1 −   ≥ 0,99 ⇔ 0,01 ≥   ⇔ ln 0,01 ≥ ln   ⇔ ln 0,01 ≥ n ln
⇔
≤n
20
21
 21 
 21 
 21 
ln
21
ln 0,01
≈ 94,39 d’où la réponse.
20
ln
21