Probabilités

Probabilités
Yves Robert
2011-2012, semestre 2

Table des matières
1 Introduction 3
1.1 Objectif ................................ 3
1.2 Modèle ................................. 3
1.3 Fondamentaux ............................ 3
2 Exemples 5
2.1 Égalité de polynômes ......................... 5
2.2 Monty Hall .............................. 5
2.3 As en main .............................. 6
2.4 Pièces ................................. 6
2.5 Min-cut ................................ 7
3 Variable aléatoire 9
3.1 Généralités .............................. 9
3.2 Exemple : Tri rapide ......................... 9
3.3 Espérance conditionnelle ....................... 10
3.4 Lois usuelles .............................. 11
3.5 Exemple : Coupon collector problem ................ 12
4 Loi de poisson 14
4.1 Le paradoxe des aniversaires ..................... 14
4.2 Encore des anniversaires ....................... 14
4.3 Boules colorées ............................ 15
4.4 Répartition des boules ........................ 15
4.5 Loi de Poisson ............................ 16
4.6 Approximation de Poisson ...................... 17
5 Fonctions génératrices 18
5.1 Définition ............................... 18
5.2 Exemples ............................... 18
5.3 Propriétés ............................... 19
1

6 Bornes classiques 20
6.1 Markov ................................ 20
6.2 Chebyshev ............................... 20
6.3 Chernov ................................ 21
6.4 Exemple : pièces de monnaies .................... 22
6.5 Exemple : balls and bins ....................... 23
6.6 Exemple : Coupon Collector Problem ................ 23
7 Des algorithmes probabilistes 25
7.1 Chemin hamiltonien ......................... 25
7.2 Médiane en temps linéaire ...................... 27
8 Chaînes de Markov 29
8.1 Définition ............................... 29
8.2 Chaîne de Markov régulière ..................... 30
8.3 Distribution limite .......................... 31
8.4 Hagstrom (Finite Markov Chain) .................. 32
8.5 Chaîne réversible ........................... 35
8.6 Exemple : jeux et paradoxes de Parrondo ............. 36
8.7 Random walk on G.......................... 37
9 Probabilités continues 38
9.1 σ-algèbre ............................... 38
9.2 Mesure de probabilité ........................ 39
9.3 Mesure de Lebesgue ......................... 39
9.4 Variable aléatoire ........................... 40
9.5 Espérance ............................... 40
9.6 Espérance fonctionnelle ....................... 41
9.7 Couples ................................ 41
9.8 Variables aléatoires positives .................... 41
9.9 Lois normales théorème central limite ............... 42
2

Chapitre 1
Introduction
1.1 Objectif
On utilise couramment des algorithmes dits déterministes : on connaît à
l’avance le résultat. Il peut être intéressant d’utiliser un algorithme probabiliste,
dont on ne connaît la correction qu’avec une incertitude (par exemple, meilleure
efficacité en moyenne).
1.2 Modèle
Définition 1. Un espace de probabilités est un ensemble Ωauquel est associé
une loi de probabilité P:P(Ω) →[0,1] telle que :
–P(Ω) = 1 ;
–∀(Ei)i∈Ndisjoints, P(SEi) = PP(Ei)
Définition 2. Une partie de Ωest appelée évènement.
Définition 3. On utilisera communément la loi équiprobable, ou uniforme, dé-
finie pour Ωfini par :
P(E) = card(E)
card(Ω)
1.3 Fondamentaux
Lemme 1. P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2)−(E1∩E2)
Lemme 2. En généralisant à névènements :
P[Ei=XP(Ei)−X
2≤k≤nX
(ij)∈[|1,n|]%∗
P\Eij
≤XP(Ei)
3

Définition 4. –Eet Fsont indépendants lorsque P(E∩F) = P(E)×P(F);
–(Ei)sont mutuellement indépendants lorsque ∀I⊂[|1, n|],PTi∈IEi=
Qi∈IP(Ei)
– on définit la « probabilité que Esachant F» : P(E|F) = P(E∩F)
P(F).
Propriété 1 (Loi de probabilité totale).Avec (Ei)une partition de Ω:
P(B) = XP(B∩Ei) = XP(B|Ei)×P(Ei)
Théorème 1 (Bayes).Soit (Ei)une partition de Ω. Alors :
P(Ei|B) = P(Ei∩B)
P(B)=P(B|Ei)×P(Ei)
PjP(B|Ej)×P(Ej)
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