sur l`algebre des puissances divisees d`un module

Revists de 1s
Union Matematica Argentina
Vo1umen 24, Numero 4, 1969.
SUR L'ALGEBRE DES PUISSANCES DIVISEES
D'UN MODULE MONOGENE
Norbert Roby
Soit A un anne au commutatif. Nous nous proposons d'etudier en de-
tail la structure de l'alg~bre des puissances divisees de tout A -
module
monog~ne; pour cette notion, on pourra se reporter a {1}.
L'etude du cas oh A = Z a ete faite en {2}.
Cette etude sera faite dans la seconde partie du present article;
dans la premiere partie, nous etudions la construction de certains
ideaux de A qui seront importants par la suite.
PREMIERE PARTIE
1) LES IDEAUX DnCI).
Soit I un ideal de A. Nous lui associons une suite DnCI) Cn ~ 0)
d' ideaux de A, definis de la maniere suivante:
DEFINITION. Pour tout entier n ~ O. DnCI) est L'ideaL de A engendre
par Lea eLements du type:
Cca,n-a»i
a
o~ 1 ~ a ~ n , i £ I. COn rappelle qu'on pose: (Cp,q»=Cp+q)!/~!q!).
Autrement dit:
DnCI) est L'ideaL de A engendre par Lea aoeffiaients des poLynomes
CX + i) n _ Xn
Ci £
I) .
Par exemple:
DoCI) 0
D1CI) I
Dn
CO
) 0
!ln
CA
) A
pour n >
On a :
Dn (I)
c:::
I.
PROPOSITION 1. Soit F un aystame de generateurs de L'ideaL I. ALors.
DnCI) est engendre par Les eLements de La forme:
CCa,n-a»i
a
o~ 1 ~ a ~ n et i E F.
En effet, soit In l'ideal de A engendre par les elements de la forme
precedente. On a: In c::: DnCI).· PourmontrerqueDnCI) c::: In' i1

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suffit de montrer queles 6lEments a E A tels que ((a,n-a))aa E In
pour 1 < a. ~ n constituent un id6~1 de A.
Or, si a ~ A poss~de eette propri6t6, il est elair que ba (bEA) l'a
aussi. Et si a et bont cette propri6t~, on a:
« a
fa k a-k
a,n-a)) (a+b) • 'k_O((a,n-a))((k,a-k))a b
Si k ~ 1, on 6crit:
(a,n-a)iC(k,a-k))akb
a-k•
«(n-a,a-k)) «k,n_k))akb
a-k E
In
(ear «k,n-k))a
k E
In)'
Pour k • 0, ona le terme: «a,n-a))b
a E I •
n
Done, a + b a aussi la propriete indiquee, C.q.f.d.
Z. SUR UNE AUTRE MANIERE D'ENGENDRER LES IDEAUX Dn(I).
PROPOSITION 2. Soit F un sY8t~me de g~n~~ateu~s de l'id~al I. Pou~
n > O.l'ideal Dn(I) est engend~~ pa~ les ~Z~ments de la fo~me:
dill
ou: i E F, d et 0 Bont d.es entie1'8 > 0 tela que do = n.
La demonstration qui suit a ete elabor6e par A. BATBEDAT.
On suppose n > 1 , ear la proposition est triviale pour n = ° et n=l.
Soit In l'ideal de A engendre par les dill eonsideres.
-: On montre que Dn (I) c: In :
Considerons un generateur x de Dn(I):
x =
n~n-1)
~n-a+1)
a! ia
(a~ 1 ,
hF)
Posons: u n
1\ a
(p.g.e.d. <I.e n et a) ,
n =
AU
a =
IIU
Alors:
=
A«a-1
,
n-aD
.a
x 1
II
Comme
A
1\ II
= 1 ,
divise
( (a-1 , n-a)). Si
l'on pose:
«a-1
n-a))/II C ,
alors:

(car AU
-: On montre que In c: Dn (I).
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n ===> Ai
u £ J
).
n
Soit un g6n6rateur y de In : y .. di 6 , i .£ F , d6
poser 6 > 1 , car on sai t que ni £. Dn (1) • Soi t
n. On peut suI!.
6
(r. > 0)
J
la d6composition de 6 en facteurs premiers.
6
((q.,n-q.)) = d(--q )((q.-1,n-q.)).
J J j J J
Posons: p~j
J
Au second membre, Ie facteur 6/qj est premier avec Pj' Quant au
coefficient binomial ((q.-1 , n-q.)), il s'6crit:
J J
On a:
Soit II l'exposant de p. dans la d6composition de k en facteurs pre-
J
II r·
Miers (II ~ 0) ; on a II ~ i. Alors, p. divise p.J , donc c5,
J J J
donc n, et aussi k: il divise n - qj + k ; ~_
r·
encore p.J , n , mais pas k: i1 ne divise pas
J
~nntre, p~+l divise
J
n - qj + k. Ainsi, f3
est l'exposant de p. dans 1a d6composition en facteurs premiers de
J
n - qj + k. On pourra donc simplifier 1a fraction (n - qj + k)/k
II
par Pj , en sorte que Pj ne divise plus ni Ie num6rateur ni Ie de-
nominateur. II en resuite que ((q. - 1 , n - q.)) est premier avec
J J
On peut donc ecrire
((qJ' , n - q.)) = dA. , ou A. est premier avec PJ"
J J J
Le p.g.c.d. de (c5,A l .... '\l) est 1. car aucun facteur premier de t5
ne divise tous les A
j. Donc, en
muItip1iant par d: Ie p.g.c.d. de
(n • ((ql • n - ql))' .... ((qa • n - qa))) est d. Ceia entra1ne
qu'il existe des entiers m et m. teis que:
J
d = mn + L~=lmj ((qj , n - qj))

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Alors:
3., SUR LA COMPOSITION DES APPLICATIONS Dn
On peut di§finir une application Dn: I --+ Dn(l) de l'ensemble des i"
di§aux de s A dans lui -meme •
PROPOSITION 3. Pou~ deu~ entie~8 m et n ~ 0 at tout idea~ I. on a:
On peut supposer m et n ~ 2.
_0 On montre que Dm 0 Dn(I) c: Dmn(l).
D' apres la prop'os i tion 2, Dm 0 Dn (I) est engendri§ par les Ui§ments
de
la forme:
(i £ I , d' 6' m , d"6" n).
Or:
(car d'd"6'6" • mn).
-: On montre que Dmn (I) c: Dm 0 Dn (I).
Remarquons, en raisonnant par ri§currence sur Ie nombre des facteurs
premiers de m, qu'on peut se limiter a di§montrer la proposition 3
lorsque m est un nombre premier p. 11 reste donc a voir que:
Or, D (I) est engendri§ par les i§li§ments y de la forme
pn-_
(i £ I , d6 = pn).
-ou bien p divise
d,
auquel cas
d = P d1
et
d1 i6 D
Dn (I)
(car d16
=>
d1
06
£ Dn (I)) .
y = P £ 0 = n 1
p
-ou bien p ne divise
pas d dans
ce
cas, on a:
dP-1 -1
(p) ,
ce qui entraine
1 'existence d'un entier
k tel
d = dP + kpd. En outre, p divise 6 et on i§crit: 6 = p6 1•
Alors
y = u + v , avec:
que:

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et
On a:
u •
IS
di1&D(I)).
n
v • 6
(car di 1 & D (I) ->
it
Finalement, dans tous lescas, on a: y & Dp 0 Dn(!) , C.q.f.d.
COROLLAIRE 1. Pour deu:J: entiers m et n ~ 0 on a:
En effet:
Ce corolla ire resulte aussi du fait suivant: Ie polynome
(X + i)mn -' Xmn est multiple du ll
o1
ynome (X + i)n -Xn.
COROLLAIRE 2. Pour deu:J: entiers m et n ~ 0 on a:
m Dn(l) c:: Dmn(I).
En effet:
COROLLAIRE 3. Si Z'entier positi! m est inversibZe dans Z'anneau
A/I (i.e. si rnA + I = A) on a, pour tout n ~ 0:
On peut supposer n > O.
Si
rnA + I = A , on a
aUssi
rnA
+
Dmn (I)
= A ;
sinon,
existerait
dans A un ideal maximal qui eontiendrait
done aussi
i
mn
pour
tout
i £ I , done
aussi i : il
rnA + I , ee qui est absurde.
11 existe done imn £ Dmn (I) et a £ A tels que:'
-rna + imn = 1.
en effet , il
rnA et
Dmn (I)
eontiendrait
,