PROBABILITES

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PROBABILITES
I) Vocabulaire, définitions
1) Expérience, évènement
Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues possibles et que
l’on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira.
Un évènement est un ensemble de résultats possibles. Il est réalisé lorsque l’un des
résultats qui le compose est réalisé.
Si un évènement n’est composé que d’une unique issue, on dit que c’est un évènement
élémentaire.
Exemple : Jeter un dé est une expérience aléatoire. On ne peut pas savoir quel chiffre va
apparaître mais on connaît tous les résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
On peut définir l’évènement : « obtenir un multiple de 3 »
Cet évènement est composé des issues 3 et 6.
L’évènement « obtenir 2 » est un évènement élémentaire.
2) Notion de probabilité
Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence de réalisation
d’un évènement se rapproche d’une valeur particulière : la probabilité de cet évènement.
Cette valeur correspond à la « chance » qu’un évènement a de se produire.
Définition : La probabilité d’un évènement E est un nombre compris entre 0 et 1.
Si cet évènement a 80% de chance de se produire, il a une probabilité de 0,8.
On écrit p(E) = 0,8, ce qui se lit « p de E est égal à 0,8 »
Exemple : Lorsque l’on lance une pièce de monnaie équilibrée, on a une chance sur deux
1
d’obtenir le côté « pile ». La fréquence de réalisation de cet évènement est de
soit 50%.
2
On peut écrire p(« obtenir pile ») = 0.5.
3) Evènement certain, évènement impossible
Un évènement qui se produit à chaque fois a 100% de chances de se produire. C’est un
évènement certain et sa probabilité est 1.
Un évènement qui ne se produit jamais a 0% de chances de se produire. C’est un
évènement impossible et sa probabilité est 0.
II) Calculs de probabilités
1) Probabilité d’un évènement
Définition : Si tous les évènements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même
probabilité, on dit que les évènements élémentaires sont équiprobables ou qu’il y a
équiprobabilité.
Propriété : Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement A est égale
au quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.
Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules jaunes. Rien ne privilégie une
couleur, on est dans une situation d’équiprobabilité.
Soit R l’évènement « tirer une boule rouge »
3
Il y a trois cas favorables sur 8 cas possibles, ainsi p(R) =
8
Soit J l’évènement « tirer une boule jaune »
5
Il y a 5 cas favorables sur 8 cas possibles, ainsi p(J) =
8
Conséquences :
Soit n le nombre d’issues d’une expérience aléatoire et équiprobable.
1
La probabilité d’un évènement élémentaire est égale à .
n
La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires d’une expérience aléatoire
est égale à 1.
2) Probabilité de plusieurs évènements
2-1)Définitions
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A et B) est l’évènement qui se produit
lorsque les évènements A et B ont lieu tous les deux simultanément.
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A ou B) est l’évènement qui se produit
lorsque l’un des deux évènements, ou les deux, se produit.
Deux évènements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même
temps.
L’évènement contraire de A, noté non A correspond à la non réalisation de l’évènement
A.
2-2) Propriétés
Lorsque deux évènements A et B sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se
produise est égale à la somme de leurs probabilités : p(A ou B) = p(A) + p(B).
Exemple : Une urne contient 3 boules blanches, deux boules rouges et 5 jaunes.
Soit R l’évènement « tirer une boule rouge »
Soit J l’évènement « tirer une boule jaune »
Soit B l’évènement « tirer une boule blanche »
B et J sont incompatibles : on ne peut pas tirer une boule qui serait à la fois blanche et
jaune.
3 5
8
Ainsi p(B ou J) = p(B) + p(J) =
  = 0,8.
10 10 10
La somme des probabilités d’un évènement A et de son contraire est 1.
p(A) + p(non A) = 1
Exemple : Lors d’un lancer de dé les évènements M : « obtenir un nombre inférieur ou
égal à 1 » et S : « obtenir un nombre strictement supérieur à 1 » sont des évènements
contraires. On peut écrire : p(S) = 1 − p(M).
1
1 5
p(M) =
(1 est le seul lancer qui convient), ainsi p(S) = 1− 
6
6 6
3) Expériences à plusieurs épreuves
Propriété : Dans un arbre de probabilités, la probabilité du résultat auquel conduit un
chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Exemple : On lance à deux reprises un dé dont une face est rouge, 2 sont bleues et trois
sont vertes.
Premier lancer
3
6
V
1
6
2
6
Second lancer
3
6
2
6
3
6
R
3
6
B
2
6
1
6
2
16
6
1
6
V
R
B
V
B
R
V
R
B
3 3 1 1 1
   
6 6 2 2 4
1 2 2 1 2
La probabilité d’obtenir une bleue et une rouge est :    
6 6 6 6 3
La probabilité d’obtenir deux faces verte est:
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