Exercice 1 : Nombres et calculs Partie 1 1. La valeur approchée à 10 − 2 près par défaut de 2+π 3−π 2 est : A : B : 3,23 C : 3,24 D : 0,09 E: 3 0,08 2 3 2. Une forme simplifiée de l’expression (a ) est : A : a 3 a ×a 2 3. La proposition suivante : "Si x 2 = 2 alors x = B: a5 a D : a −1 C : a2 3 2 " est : A : Vraie B : Fausse 4. La proposition suivante : "Si p est un nombre premier alors p² n’est pas premier" est : A : Vraie 5. 7 75 est un nombre : A : Irrationnel B : Décimal C : Décimal non entier B : Fausse D : Rationnel non décimal 1. □A □B ⊠C □D 2. ⊠A □B □C □D 3. □A ⊠B 4. ⊠A □B 5. □A □B □C ⊠D □E Justifications (non demandées) : 1. D’après la calculatrice : ( ) ( 2 +π ÷ ) 3 − π ≃ − 3,232 donc − 3, 24 < 2 +π 3−π < − 3,23 . valeur approchée par excès valeur approchée par défaut (a ) 2 3 2. a2 × a = a 2×3 a 2 +1 = a6 a3 = a 6−3 = a 3 . 3. Si x 2 = 2 alors x = 2 ou x = − 2 . 4. p 2 = p × p n’est pas un nombre premier car il est divisible par p (il a donc trois diviseurs : 1, p et p 2 ). 7 5. = 0,09 333 … est un nombre rationnel (quotient de deux nombres entiers) mais il n’est pas décimal car sa partie 75 décimale est infinie. Partie 2 1. Décomposer les nombres 66 550 et 4 675 en produit de facteurs premiers. 66 550 2. En déduire l’écriture irréductible de la fraction . 4 675 1. 66 550 = 2 × 33 275 = 2 × 5 × 6 655 = 2 × 52 × 1331 = 2 × 52 × 11× 121 = 2 × 52 × 112 ×11 = 2 × 52 × 113 . 4 675 = 5 × 935 = 52 × 187 = 52 ×11× 17 . 2. 66 550 2× 52 ×112 × 11 2×112 2×121 242 = = = = . 2 4 675 17 17 17 5 × 11 ×17 Exercice 2 : Géométrie Sur la figure ci-dessous, ( C ) est un cercle de diamètre [ AB] , C et D sont deux points du cercle ( C ) situés de part et d’autre de [ AB] , I est le point d’intersection des droites ( AC ) et ( BD ) . On suppose de plus que : IC = 2,4 cm, BC = 1,8 cm et AD = 3 cm. I 1. a) Démontrer que les triangles AID et BCI sont semblables. b) Écrire les rapports de longueurs égaux que l’on peut en déduire. Calculer alors la longueur ID. C 2. a) Calculer la longueur IB. b) En déduire le rayon du cercle ( C ) . A B D 1. a) [ AB] est un diamètre de ( C ) , C et D sont deux points de ( C ) , donc ABC et ABD sont des triangles rectangles respectivement en C et en D. Les points D, B, I sont alignés donc ( DI ) ⊥ ( CB ) , et les points A, C, I sont alignés donc ( AI ) ⊥ ( CB ) . = BCI = 90° . On a donc ADI = CIB (angles communs aux deux triangles). De plus AID = IBC ). Les triangles AID et BCI ont deux angles égaux 2 à 2 donc ils sont semblables (on a donc IAD b) D’après la question précédente, on a : On en déduit que : dans BCI dans AID D = C . ɵI ɵI = A = B ID AD IA = . = IC BC IB Par conséquent : ID = AD 3 × IC = × 2,4 donc ID = 4 cm . BC 1,8 2. a) Dans le triangle BCI rectangle en C, on a : IB2 = IC2 + BC 2 = 2,42 + 1,82 = 9 donc IB = 3 cm . b) Dans le triangle ADB rectangle en D, on a : AB2 = AD2 + BD 2 , avec BD = ID − IB = 4 − 3 = 1 cm , donc AB2 = 32 + 12 = 10 , ce qui donne AB = 10 (diamètre du cercle ( C ) ). Par conséquent, le cercle ( C ) a pour rayon 10 . 2 Exercice 3 : Inéquations et valeurs absolues 1. a) Résoudre l’inéquation suivante : 1000 + 2 x < 460 + 3, 5 x . b) Une personne a des marchandises à faire transporter. Un premier transporteur lui demande 460 € au départ et 3,5 € par km parcourus. Un deuxième transporteur lui demande 1000 € au départ et 2 € par km parcourus. Pour quelles distances à parcourir est-il plus économique de choisir le 2e transporteur ? Justifier. b) π 2 − 10 . 2. Écrire les nombres suivants sans valeur absolue. a) 1, 8 − 3 . 3. a) Résoudre l’équation x + 2 = 5 . b) Résoudre l’inéquation x − 7 < 3 . 1000 + 2 x < 460 + 3,5 x 2 x − 3,5 x < 460 − 1000 − 1,5 x < − 540 − 540 x> − 1,5 x > 360 1. a) b) Soit x la distance à parcourir en km. Le prix du 1er transporteur est 460 + 3,5 x . Le prix du 2e transporteur est 1000 + 2 x . Il est plus économique de choisir le 2e transporteur lorsque 1000 + 2 x < 460 + 3,5 x , x ∈ ] 360 ; + ∞ ] . 1,7 2. a) soit pour une distance à parcourir supérieure à 360 km. 1,8 3 1,8 − 3 = 1,8 − 3 car 1,8 > 3 . 5 7 π2 9 b) π2 − 10 = 10 − π2 2 car 10 > π2 . 3 +5 3 4 3. a) 10 +3 7 10 b) x + 2 = 5 signifie d ( x ; − 2 ) = 5 . x − 7 < 3 signifie d ( x ; 7 ) < 3 . D’après le graphique : x = − 7 ou x = 3 . D’après le graphique : x ∈ ] 4 ; 10 [ Exercice 4 : Lecture graphique 1. Quelle est l’image de 0 par f ? Quelle est l’image de 1 par f ? 2. a) Donner, si possible, un nombre ayant exactement deux antécédents par f . b) Donner, si possible, un nombre n’ayant aucun antécédent par f. 3. Dresser le tableau de variations de f . 4. Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) < 0 . 2 5. a) Représenter sur le graphique la fonction g définie par : g ( x ) = − x − 1 . 3 b) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = g ( x ) . y 6 5 3 2 1 3 −4 −2 O 1 4 4,5 2 8 6 10 x −1 −3 y=− −5 −6 2 3 x −1 1. L’image de x = 0 par la fonction f est y = f ( 0 ) = 5 . L’image de x = 1 par la fonction f est y = f (1) = 2 . 2. a) Le nombre y = 2 a exactement deux antécédents par f : x = 1 et x = 8 . b) Le nombre y = − 6 n’a pas d’antécédent par f (car f ( x ) > − 6 ). 3. Tableau de variations de f : x 4 2 4 6 f (x) 3 5 10 D’autres réponses Sur l’intervalle [ − 4;10 ] : sont possibles. 5 f ( − 2 ) = 6 est le maximum de f . f ( 4 ) = − 5 est le minimum de f . 4. La courbe représentative de f est en dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle ] 2 ; 6 [ , donc f ( x ) < 0 pour x ∈ ] 2 ; 6 [ . 5. a) Voir le graphique ci-dessus. 2 b) La courbe représentative de f et la droite d’équation y = − x − 1 se croisent aux points d’abscisses x = 3 et 3 x = 4,5 donc on a f ( x ) = g ( x ) pour x = 3 ou x = 4, 5 . Exercice 5 : Fonctions ABCD est un carré de coté 4 cm. M est un point de [ AB] , N est un point de [ AD ] tel que AM = DN . P est le point tel que AMPN soit un rectangle. D C N On pose AM = x . P 1. a) A quel intervalle le réel x appartient-il ? b) Exprimer AN en fonction de x. c) On note f ( x ) l’aire du rectangle AMPN . Démontrer que : f ( x ) = 4 x − x 2 . A d) Compléter le tableau de valeurs de f ( x ) . e) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f . M x B 4 2. a) Démontrer que : 4 − ( x − 2 ) = f ( x ) . b) Déterminer par le calcul pour quelle(s) valeur(s) de x, l’aire du rectangle vaut 3 cm². 2 1. a) M ∈ [ AB] et AB = 4 donc x ∈ [ 0 ; 4 ] . b) AN = AD − DN , avec AD = AB = 4 et DN = AM = x , donc AN = 4 − x . c) f ( x ) = AM × AN = x ( 4 − x ) = x × 4 − x × x donc f ( x ) = 4 x − x 2 . d) Tableau de valeurs de f ( x ) (obtenu avec la calculatrice) : x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 f (x) 0 1,75 3 3,75 4 3,75 3 1,75 0 e) Représentation graphique de f : y 2. a) 4,5 4 − ( x − 2) 2 = 4 − ( x2 − 4 x + 4 ) = 4−x + 4x −4 2 = − x2 + 4 x . 4 y = 4 x − x2 On a donc 4 − ( x − 2 ) = f ( x ) . 2 3,5 3 b) Il s’agit de trouver les antécédents de y = 3 par la fonction f : 2,5 3 = 4 − ( x − 2) 2 2 ( x − 2) −1 = 0 ( x − 2 + 1) ( x − 2 − 1) = 0 ( x − 1) ( x − 3) = 0 2 1,5 1 x − 1 = 0 ou x − 3 = 0 x = 1 ou x = 3 L’aire du rectangle AMPN vaut 3 cm2 pour 0,5 x O 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 x = 1 ou x = 3 .