corrigé 2005

Exercice 1 : Nombres et calculs
Partie 1
1. La valeur approchée à
2
10
−
près par défaut de
2
3
+π
−π
est : A :
2
3
B : 3,23 C : 3,24 D : 0,09 E :
0,08
2. Une forme simplifiée de l’expression
(
)
3
2
2
a
a a
×
est : A :
3
a
B :
5
3
a
a
C :
2
a
D :
1
a
−
3. La proposition suivante : "Si
2
x 2
=
==
=
alors
x 2
=
==
=" est : A : Vraie B : Fausse
4. La proposition suivante : "Si p est un nombre premier alors p² n’est pas premier" est : A : Vraie B : Fausse
5.
7
75
est un nombre : A : Irrationnel B : Décimal C : Décimal non entier D : Rationnel non décimal
1. □ A □ B ⊠ C □ D □ E
2. ⊠ A □ B □ C □ D
3. □ A ⊠ B
4. ⊠ A □ B
5. □ A □ B □ C ⊠ D
Justifications (non demandées) :
1. D’après la calculatrice :
(
)
(
)
2 3 3,232
+π ÷ −π −≃ donc
valeur approchée parexcès
23,23
3
+π
< < −
−π
valeur approchée pardéfaut
3,24−
−−
− .
2.
(
)
3
22 3 6 6 3
2 2 1 3
aa a a
a a a a
×−
+
= = = =
×
3
a
.
3. Si
2
x 2
=
alors
x 2
= ou
x 2
= −
= −= −
= − .
4.
2
p p p
= ×
n’est pas un nombre premier car il est divisible par p (il a donc trois diviseurs : 1, p et
2
p
).
5. 7
0,09 333
75 =
…
est un nombre rationnel (quotient de deux nombres entiers) mais il n’est pas décimal car sa partie
décimale est infinie.
Partie 2 1. Décomposer les nombres 66 550 et 4 675 en produit de facteurs premiers.
2. En déduire l’écriture irréductible de la fraction
66 550
4 675
.
1.
2 2 2 2 2 3
66550 2 33 275 2 5 6 655 2 5 1331 2 5 11 121 2 5 11 11 2 5 11
= × = × × = × × = × × × = × × × = × × .
2 2
4 675 5 935 5 187 5 11 17
= × = × = × × .

2.
2
66 550 2 5
4 675 =
×
2
11 11 × ×
2
5 11 ×
2
121 242
17
17 2 11 2
= = =
17 17
× ×
×
.
Exercice 2 : Géométrie
Sur la figure ci-dessous,
(
)
C
est un cercle de diamètre
[
]
AB
, C et D sont deux points du cercle
(
)
C
situés de part et
d’autre de
[
]
AB
, I est le point d’intersection des droites
(
)
AC
et
(
)
BD
.
On suppose de plus que :
IC 2,4
=
cm,
BC 1,8
=
cm et
AD 3
=
cm.
AB
D
C
I
1. a)
[
]
AB
est un diamètre de
(
)
C
, C et D sont deux points de
(
)
C
, donc ABC et ABD sont des triangles
rectangles respectivement en C et en D.
Les points D, B, I sont alignés donc
(
)
(
)
DI CB
⊥ , et les points A, C, I sont alignés donc
(
)
(
)
AI CB
⊥ .
On a donc
ADI BCI 90°
= = .
De plus
AID CIB
= (angles communs aux deux triangles).
Les triangles AID et BCI ont deux angles égaux 2 à 2 donc ils sont semblables (on a donc
IAD IBC
=).
b) D’après la question précédente, on a :
dans AID dans BCI
D C
I I
A B
=
=
=
ɵ ɵ
.
On en déduit que :
ID AD IA
IC BC IB
= =
= == =
= = .
Par conséquent : AD 3
ID IC 2,4
BC 1,8
= × = × donc
ID 4cm
=
==
=.
2. a) Dans le triangle BCI rectangle en C, on a :
2 2 2 2 2
IB IC BC 2,4 1,8 9
= + = + =
donc
IB 3cm
=
==
=.
b) Dans le triangle ADB rectangle en D, on a :
2 2 2
AB AD BD
= +
, avec
BD ID IB 4 3 1cm
= − = − =
, donc
2 2 2
AB 3 1 10
= + =
, ce qui donne
AB 10
= (diamètre du cercle
(
)
C
) .
1. a) Démontrer que les triangles AID et BCI sont semblables.
b) Écrire les rapports de longueurs égaux que l’on peut en déduire.
Calculer alors la longueur ID.
2. a) Calculer la longueur IB.
b) En déduire le rayon du cercle
(
)
C
.

Par conséquent, le cercle
(
)
C
a pour rayon
10
2
.
Exercice 3 : Inéquations et valeurs absolues
1. a) Résoudre l’inéquation suivante :
1000 2x 460 3,5x
+ < +
+ < ++ < +
+ < +
.
b) Une personne a des marchandises à faire transporter.
Un premier transporteur lui demande 460 € au départ et 3,5 € par km parcourus.
Un deuxième transporteur lui demande 1000 € au départ et 2 € par km parcourus.
Pour quelles distances à parcourir est-il plus économique de choisir le 2e transporteur ? Justifier.
2. Écrire les nombres suivants sans valeur absolue. a)
1,8 3
−
−−
− . b)
2
10
π −
π −π −
π − .
3. a) Résoudre l’équation
x 2 5
+ =
+ =+ =
+ =
. b) Résoudre l’inéquation
x 7 3
− <
− <− <
− <
.
1. a)
1000 2x 460 3,5x
+ < +
b) Soit x la distance à parcourir en km.
2x 3,5x 460 1000
− < −
Le prix du 1
er
transporteur est
460 3,5x
+
.
1,5x 540
− < −
Le prix du 2
e
transporteur est
1000 2x
+
.
540
x
1,5
−
−
>
>>
> Il est plus économique de choisir le 2
e
transporteur lorsque
x 360
>
1000 2x 460 3,5x
+ < +
,
] ]
x 360; +
∈ ∞
∈ ∞∈ ∞
∈ ∞
. soit pour une distance à parcourir supérieure à 360 km.
2. a)
1,8 3 1,8 3
− = − car
1,8 3
>. b)
2 2
10 10
π − = −π
car
2
10
> π
.
3. a) b)
x 2 5
+ =
signifie
(
)
d x ; 2 5
− =
.
x 7 3
− <
signifie
(
)
d x ; 7 3
<
.
D’après le graphique :
x 7 ou x 3
= − =
= − == − =
= − =
. D’après le graphique :
] [
x 4;10
∈
∈∈
∈
Exercice 4 : Lecture graphique
1. Quelle est l’image de 0 par f ? Quelle est l’image de 1 par f ?
2. a) Donner, si possible, un nombre ayant exactement deux antécédents par f .
b) Donner, si possible, un nombre n’ayant aucun antécédent par f.
3. Dresser le tableau de variations de f .
4. Résoudre graphiquement l’inéquation
(
)
f x 0
<
<<
<
.
1,7 1,8
3
9 10
2
π
7
3
2
5
+ 5
4 10
7
3
+ 3

5. a) Représenter sur le graphique la fonction g définie par :
( )
2
g x x 1
3
= − −
= − −= − −
= − −
.
b) Résoudre graphiquement l’équation
(
)
(
)
f x g x
=
==
= .
1. L’image de
x 0
=
par la fonction f est
( )
y=
f 0 5
=
==
=
. L’image de
x 1
=
par la fonction f est
( )
y=
f 1 2
=
==
=
.
2. a) Le nombre
y 2
=
==
=
a exactement deux antécédents par f :
x 1
=
==
=
et
x 8
=
==
=
.
b) Le nombre
y 6
= −
= −= −
= −
n’a pas d’antécédent par f (car
(
)
f x 6
> −
) .
3. Tableau de variations de f :
Sur l’intervalle
[
]
4;10
− :
(
)
f 2 6
− =
est le maximum de f .
(
)
f 4 5
= −
est le minimum de f .
4. La courbe représentative de f est en dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle
]
[
2; 6
,
donc
(
)
f x 0
<
pour
] [
x 2;6
∈
∈∈
∈ .
5. a) Voir le graphique ci-dessus.
b) La courbe représentative de f et la droite d’équation
2
y x 1
3
= − −
se croisent aux points d’abscisses
x 3
=
et
x 4,5
=
donc on a
(
)
(
)
f x g x
= pour
x 3 ou x 4,5
= =
= == =
= = .
x
f (x)
4 2 4 10
6 5
3 5
D’autres réponses
sont possibles.
O 1
1
x
y
5
2
8
− 6
10
4
− 2 − 4
− 5
3
6
2 6
− 1
3 4,5
2
y x 1
3
= − −
− 3

Exercice 5 : Fonctions
ABCD est un carré de coté 4 cm.
M est un point de
[
]
AB
, N est un point de
[
]
AD
tel que
AM DN
=
.
P est le point tel que
AMPN
soit un rectangle.
On pose
AM x
=
.
1. a) A quel intervalle le réel x appartient-il ?
b) Exprimer AN en fonction de x.
c) On note
(
)
f x
l’aire du rectangle
AMPN
.
Démontrer que :
(
)
2
f x 4x x
= −
= −= −
= −
.
d) Compléter le tableau de valeurs de
(
)
f x
.
e) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f .
2. a) Démontrer que :
( ) ( )
=
2
4 x 2 f x
− −
− −− −
− − .
b) Déterminer par le calcul pour quelle(s) valeur(s) de x, l’aire du rectangle vaut 3 cm².
1. a)
[
]
M AB
∈ et
AB 4
=
donc
[ ]
x 0;4
∈
∈∈
∈ .
b)
AN AD DN
= −
, avec
AD AB 4
= =
et
DN AM x
= =
, donc
AN 4 x
= −
= −= −
= −
.
c)
(
)
(
)
f x AM AN x 4 x x 4 x x
= × = − = × − ×
donc
( )
2
f x 4x x
= −
= −= −
= − .
d) Tableau de valeurs de
(
)
f x
(obtenu avec la calculatrice) :
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
(
)
f x
0 1,75 3
3,75
4 3,75 3 1,75 0
e) Représentation graphique de f :
2. a)
( )
2
4 x 2
− −
(
)
2
4 x 4x 4
= − − +
2
4 x 4x 4
= − + −
2
x 4x
= − + .
On a donc
( ) ( )
2
4 x 2 f x
− − =
− − =− − =
− − = .
b) Il s’agit de trouver les antécédents de
y 3
=
par la fonction f :
( )
2
3 4 x 2
= − −
( )
2
x 2 1 0
− − =
(
)
(
)
x 2 1 x 2 1 0
− + − − =
(
)
(
)
x 1 x 3 0
− − =
x 1 0
− =
ou
x 3 0
− =
x 1
=
ou
x 3
=
L’aire du rectangle
AMPN
vaut 3 cm2 pour
x 1 ou x 3
= =
= == =
= =
.
A B M
C D
P
x
4
N
0,5
O
2,5 0,5
1 1,5
2
1
1,5
2
2,5
3
3 3,5 4
3,5
4
4,5
4,5
y
x
2
y 4x x
= −
= −= −
= −