1 Dénombrement (4 points) 2 Probabilité conditionnelle (4 points)

Université de Nice-Sophia Antipolis Licence Miage 3
Mathématiques 2015–2016
Contrôle continu 10 Mars
Durée : 1 heure 30
Toutes les réponses doivent être justifiées.
Le correcteur attachera de l’importance à la qualité de rédaction.
Une feuille A4 manuscrite autorisée - Calculatrice, téléphone et ordinateur interdits
1 Dénombrement (4 points)
Lors des jeux de Sophia, la course de fond comprenait 18 coureurs, dont 5étudiants de la Miage,
6de Polytech, 4de l’ISEM et 3d’Eurecom. On s’intéresse au classement dans l’ordre, c’est à dire à
la liste (premier, deuxième, troisième) des trois premiers arrivés. Si les ordres d’arrivée sont supposés
uniformément répartis, calculer les probabilités des évènements suivants :
1. Le premier arrivé est un étudiant de la Miage.
Il y a 5 cas favorables pour que le premier arrivé soit un étudiant de la Miage, sur 18 cas possibles ce
qui donne une probabilité de 5
18
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2. Les trois premiers arrivés sont tous des étudiants de la Miage.
Il y a `3
5˘cas favorables pour que les 3 premiers arrivés soient tous étudiants de la Miage, sur `3 18˘
cas possibles ce qui donne une probabilité de p3
5q
p3
18q“5.4.3
18.17.16 “5 3.17.8
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3. Aucun étudiant de la Miage n’est classé dans les trois premiers
Il y a `3
13˘cas favorables pour que les 3 premiers arrivés ne soientpas de la Miage, sur `3 18˘cas
possibles ce qui donne une probabilité de p3
13q
p3
18q“13.12.11
18.17.16 “13.11 3.17.8
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4. Au moins un étudiant de la Miage est classé dans les trois premiers.
D’après la question précédente 1´p3
13q
p3
18q
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2 Probabilité conditionnelle (4 points)
On suppose que dans une famille de deux enfants, les différentes répartitions ordonnées fille-garçon
sont équiprobables.
1. Sachant que l’un au moins des enfants est une fille, calculer la probabilité que les deux enfants soient
des filles.
Les seules possibilités étant FF,FG,GF, la probabilité que les deux enfants soient des filles est 2
3
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1

2. Si vous sonnez à l’appartement de cette famille et qu’une fille vous ouvre, quelle est la probabilité
que lautre enfant soit une fille ?
Ici il faut prendre en compte la probabilité que l’un des deux enfants soit venu ouvrir la porte. La
probabilité de l’événement B=" Un fille est venu ouvrir la porte" est PpBq “ 1
2PpF Gq` 1 2PpGF q`
PpF F q “ 1
8`1 8`1 4“1 2. On a donc PpF F |Bq “ PpF F YBq PpBq“PpF F q PpBq“1{4 1{2“1 2
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3 Problème de tulipes (8 points)
Un jardinier dispose de deux lots 1et 2contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes
de couleurs variées. La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1donne une tulipe jaune est égale à 1
4. La
probabilité pour qu’un bulbe du lot 2donne une tulipe jaune est égale à 1
2. Ce jardinier choisit au hasard
un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Dans les trois premières questions, on suppose que le jardinier choisit
le lot 1.
1. Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1?
Il s’agit de loi binomiale Bp10,1{4q. Soit BpN, pqavec N“50,p“1{4et q“3{4.
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2. Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?
L’espérance de Bpn, pqest np (somme de n variables de Bernouilli de paramètre p, soit 50{4“12,5.
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3. Donner en fonction de nune expression de la probabilité que le jardinier obtienne ntulipes jaunes.
Ppn tulipes jaunesq “ `50
n˘1 4
n3
4
50´n
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Dans ce qui suit, le jardinier a mélangé 50 bulbes du lot 1avec 50 bulbes du lot 2. Il plante 20 bulbes
de ce mélange.
4. Quelle est la probabilité pour qu’il n’obtienne que des tulipes jaunes ?
Ici, il faut calculer tout d’abord la probabilité qu’une tulipe prise dans le mélange soit jaune. Ppjauneq “
PpjauneYLot1q`PpjauneYLot2qet utiliser ensuite les probabilités conditionnelles. Ppjauneq “
Ppjaune|Lot1qPpLot1q ` Ppjaune|Lot2qPpLot2qSoit Ppjauneq “ 1{41{2`1{2q1{2“3
8On
en déduit que la probabilité que les 20 tulipes soient jaunes est 3
8
20
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4 Boules blanches et noires (8 points)
Un sac contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire les boules les unes après les autres, sans
remise, jusqu’à obtenir une boule blanche. On appelle Xle nombre de tirages nécessaires pour obtenir
cette boule blanche.
1. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X?
Le nombre maximum de tirages est 3, et donc Xpeut prendre les valeurs t1,2,3u.
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2

2. Donner la loi de X.
PpX“1q “ 8
10 “p1
PpX“2q “ 2
10
8
9“p2, la première boule est noire et la seconde blanche (parmi les 9 qui restent)
PpX“3q “ 2
10
1
9“p3, la première boule est noire, la seconde noire et la troisième sera forcément
blanche
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3. Représenter sa fonction de répartition F.
4. Calculer ErXset V arpXq.
ErXs “ p1`2p2`3p3
ErX2s “ p1`4p2`9p3
et V arpXq “ EpX2q ´ EpXq2
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5 Loi de Poisson (12 points)
1. On dispose de deux dés qu’on lance simultanément 12 fois de rang et on appelle Xle nombre de
double six obtenus sur les 12 lancers.
(a) Quelle est la loi de X? Donner sa moyenne et sa variance.
La probabilité d’obtenir un double 6 en un seul lancer de deux dés et p“1
36 . La variable
aléatoire Xsuit alors une loi binomiale de paramètres n“12 et p. L’espérance est donc np et
la variance npp1´pq.
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(b) Calculer PpXď2q.
On a alors
PpXď2q “ PpX“0q ` PpX“1q ` PpX“2qsoit,
PpXď2q “ p1´pq12 `12pp1´pq11 `12ˆ11
2p2p1´pq10
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(c) Que vaut cette quantité si on effectue l’approximation par une loi de Poisson ?
Bpn, pqpeut être approximé par une loi de Poisson de paramètre λ“nˆp“12
36 “1 3
On en déduit que PpXď2q „ e´λp1`λ`λ2
2q
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2. Sur la voie express Nice-Cannes, il y a en moyenne 2accidents par semaine, cette variable suivant
approximativement une loi de Poisson.
(a) Une semaine, il y a eu 4 accidents. Quelle était la probabilité d’un tel événement ?
PpX“4q “ e´224
4! “2 3e´2
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(b) Lorsque X1et X2sont indépendantes et suivent des lois de Poisson de paramètre respectifs 1
et 2, quelle est la loi suivie par la variable X1`X2?
Il faut calculer PpX1`X2“nq “ Σn
i“0PpX1“iqPpX2“n´iq “ e´λ1e´λ2Σn i“0
λi
1
i!
λpn´iq
2
pn´iq!
3

L’idée est d’introduite artificiellement n!dans ce facteur de manière à voir que
PpX1`X2“nq “ e´pλ1`λ2qΣn
i“0`n
i˘λi
1λpn´iq
2
n!, qui finalement se réécrit en
PpX1`X2“nq “ e´pλ1`λ2qpλ1`λ2qn
n!
On en conclut que X1`X2suit une loi de Poisson de paramètre λ1`λ2
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(c) En déduire la probabilité qu’il se passe 2semaines sans accident.
Ici le nombre d’accidents sur 2 semaines suit donc la loi de X`Xsoit une loi de Poisson de
paramètre 4 (=2+2). On en déduit que la probabilité qu’il n’y ait pas d’accident pendant deux
semaines d’affilée est e´4.
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4