1 Dénombrement (4 points) 2 Probabilité conditionnelle (4 points)

Université de Nice-Sophia Antipolis
Mathématiques
Licence Miage 3
2015–2016
Contrôle continu 10 Mars
Durée : 1 heure 30
Toutes les réponses doivent être justifiées.
Le correcteur attachera de l’importance à la qualité de rédaction.
Une feuille A4 manuscrite autorisée - Calculatrice, téléphone et ordinateur interdits
1 Dénombrement (4 points)
Lors des jeux de Sophia, la course de fond comprenait 18 coureurs, dont 5 étudiants de la Miage,
6 de Polytech, 4 de l’ISEM et 3 d’Eurecom. On s’intéresse au classement dans l’ordre, c’est à dire à
la liste (premier, deuxième, troisième) des trois premiers arrivés. Si les ordres d’arrivée sont supposés
uniformément répartis, calculer les probabilités des évènements suivants :
1. Le premier arrivé est un étudiant de la Miage.
Il y a 5 cas favorables pour que le premier arrivé soit un étudiant de la Miage, sur 18 cas possibles ce
5
qui donne une probabilité de 18
..........................................................................................
2. Les trois premiers arrivés sont tous des étudiants de la Miage.
`3˘
cas favorables pour que les 3 premiers arrivés soient tous étudiants de la Miage, sur 18
p3q
5
5.4.3
cas possibles ce qui donne une probabilité de 53 “ 18.17.16
“ 3.17.8
p18q
..........................................................................................
3. Aucun étudiant de la Miage n’est classé dans les trois premiers
Il y a
`3˘
5
`3˘
cas favorables pour que les 3 premiers arrivés ne soientpas de la Miage, sur 18
cas
3
p13
q
13.11
13.12.11
possibles ce qui donne une probabilité de 3 “ 18.17.16
“ 3.17.8
p18q
..........................................................................................
4. Au moins un étudiant de la Miage est classé dans les trois premiers.
Il y a
`3˘
13
p3q
D’après la question précédente 1 ´ 13
3
p18
q
..........................................................................................
2 Probabilité conditionnelle (4 points)
On suppose que dans une famille de deux enfants, les différentes répartitions ordonnées fille-garçon
sont équiprobables.
1. Sachant que l’un au moins des enfants est une fille, calculer la probabilité que les deux enfants soient
des filles.
Les seules possibilités étant FF,FG,GF, la probabilité que les deux enfants soient des filles est 23
..........................................................................................
1
2. Si vous sonnez à l’appartement de cette famille et qu’une fille vous ouvre, quelle est la probabilité
que lautre enfant soit une fille ?
Ici il faut prendre en compte la probabilité que l’un des deux enfants soit venu ouvrir la porte. La
probabilité de l’événement B=" Un fille est venu ouvrir la porte" est P pBq “ 12 P pF Gq` 12 P pGF q`
F YBq
Fq
1{4
1
P pF F q “ 81 ` 18 ` 14 “ 21 . On a donc P pF F |Bq “ P pF
“ PPpF
P pBq
pBq “ 1{2 “ 2
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3 Problème de tulipes (8 points)
Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes
de couleurs variées. La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à 14 . La
probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à 12 . Ce jardinier choisit au hasard
un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Dans les trois premières questions, on suppose que le jardinier choisit
le lot 1.
1. Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?
Il s’agit de loi binomiale Bp10, 1{4q. Soit BpN, pq avec N “ 50, p “ 1{4 et q “ 3{4.
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2. Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?
L’espérance de Bpn, pq est np (somme de n variables de Bernouilli de paramètre p, soit 50{4 “ 12, 5.
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3. Donner en fonction de n une expression de la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes.
` ˘ 1 n 3 50´n
P pn tulipes jaunesq “ 50
n 4 4
..........................................................................................
Dans ce qui suit, le jardinier a mélangé 50 bulbes du lot 1 avec 50 bulbes du lot 2. Il plante 20 bulbes
de ce mélange.
4. Quelle est la probabilité pour qu’il n’obtienne que des tulipes jaunes ?
Ici, il faut calculer tout d’abord la probabilité qu’une tulipe prise dans le mélange soit jaune. P pjauneq “
P pjauneYLot1q`P pjauneYLot2q et utiliser ensuite les probabilités conditionnelles. P pjauneq “
P pjaune|Lot1qP pLot1q ` P pjaune|Lot2qP pLot2q Soit P pjauneq “ 1{41{2 ` 1{2q1{2 “ 38 On
20
en déduit que la probabilité que les 20 tulipes soient jaunes est 38
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4
Boules blanches et noires (8 points)
Un sac contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire les boules les unes après les autres, sans
remise, jusqu’à obtenir une boule blanche. On appelle X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir
cette boule blanche.
1. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ?
Le nombre maximum de tirages est 3, et donc X peut prendre les valeurs t1, 2, 3u.
..........................................................................................
2
2. Donner la loi de X.
8
P pX “ 1q “ 10
“ p1
2 8
P pX “ 2q “ 10
9 “ p2 , la première boule est noire et la seconde blanche (parmi les 9 qui restent)
2 1
P pX “ 3q “ 10 9 “ p3 , la première boule est noire, la seconde noire et la troisième sera forcément
blanche
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3. Représenter sa fonction de répartition F .
4. Calculer ErXs et V arpXq.
ErXs “ p1 ` 2p2 ` 3p3
ErX 2 s “ p1 ` 4p2 ` 9p3
et V arpXq “ EpX 2 q ´ EpXq2
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5 Loi de Poisson (12 points)
1. On dispose de deux dés qu’on lance simultanément 12 fois de rang et on appelle X le nombre de
double six obtenus sur les 12 lancers.
(a) Quelle est la loi de X ? Donner sa moyenne et sa variance.
1
La probabilité d’obtenir un double 6 en un seul lancer de deux dés et p “ 36
. La variable
aléatoire X suit alors une loi binomiale de paramètres n “ 12 et p. L’espérance est donc np et
la variance npp1 ´ pq.
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(b) Calculer P pX ď 2q.
On a alors
P pX ď 2q “ P pX “ 0q ` P pX “ 1q ` P pX “ 2q soit,
2
10
P pX ď 2q “ p1 ´ pq12 ` 12pp1 ´ pq11 ` 12ˆ11
2 p p1 ´ pq
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(c) Que vaut cette quantité si on effectue l’approximation par une loi de Poisson ?
Bpn, pq peut être approximé par une loi de Poisson de paramètre λ “ n ˆ p “
12
36
“
1
3
2
On en déduit que P pX ď 2q „ e´λ p1 ` λ ` λ2 q
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2. Sur la voie express Nice-Cannes, il y a en moyenne 2 accidents par semaine, cette variable suivant
approximativement une loi de Poisson.
(a) Une semaine, il y a eu 4 accidents. Quelle était la probabilité d’un tel événement ?
4
P pX “ 4q “ e´2 24! “ 23 e´2
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(b) Lorsque X1 et X2 sont indépendantes et suivent des lois de Poisson de paramètre respectifs 1
et 2, quelle est la loi suivie par la variable X1 ` X2 ?
Il faut calculer P pX1 `X2 “ nq “ Σni“0 P pX1 “ iqP pX2 “ n´iq “ e´λ1 e´λ2 Σni“0
3
pn´iq
λi1 λ2
i! pn´iq!
L’idée est d’introduite artificiellement n! dans ce facteur de manière à voir que
` ˘ λi λpn´iq
2
P pX1 ` X2 “ nq “ e´pλ1 `λ2 q Σni“0 ni 1 n!
, qui finalement se réécrit en
n
2q
P pX1 ` X2 “ nq “ e´pλ1 `λ2 q pλ1 `λ
n!
On en conclut que X1 ` X2 suit une loi de Poisson de paramètre λ1 ` λ2
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(c) En déduire la probabilité qu’il se passe 2 semaines sans accident.
Ici le nombre d’accidents sur 2 semaines suit donc la loi de X ` X soit une loi de Poisson de
paramètre 4 (=2+2). On en déduit que la probabilité qu’il n’y ait pas d’accident pendant deux
semaines d’affilée est e´4 .
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4