Relations métriques dans le triangle

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1994-95
Relations métriques dans le triangle
Titre de la leçon (n° 42 en 1994): Relations métriques et trigonométriques fondamentales dans le
triangle. Applications
La donnée est un triangle ABC, on désigne par a,b,c les longueurs des cotés (on pose a+b+c =
2p), par A
^, B ^, C ^ les angles, par R le rayon du cercle circonscrit, et par S l'aire.
Le jury attend les deux formules suivantes
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
^
a
sin A
^ = b
sin B
^ = c
sin C
^ (= 2R = abc
2S )
Et peut être aussi la réduction de AB2+CB2 et AB2–CB2
On en ajoutera une troisième S = √             p(p-a)(p-b)(p-c) parce que le sujet n'est pas bien long.
La seconde de ces relations est fondamentale en géodésie; car elle permet de connaitre tous les
éléments d'un triangle lorsqu'on connait un seul coté et deux angles (donc le troisième puisque leur
somme est 2π). L'art de la géodésie consiste à mesurer une seule longueur, puis à dessiner une triang-
ulation dont on mesure (par visée) tous les angles; on peut alors calculer toutes les longueurs des
cotés de la triangulation, et de façon générale la distance entre deux sommets quelconques. Voir
l'application proposée
§1: Relation entre les cotés et un angle du triangle.
C'est la formule a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
^ . Pour l'établir on utilise (par exemple) le produit
scalaire; ce n'est autre que la formule: BC
→2 = (AC → – AB →)2 = AC →2 + AB →2 – 2AC →.AB →
Conséquence 1: On sait que si deux triangles ABC et A1B1C1 sont tels que AB = A1B1, AC = A1C1
et BC = B1C1, alors il existe une isométrie qui amène A en A1, B en B1et C en C1 (c'est le premier
théorème de la théorie des isométries planes, c'est aussi ce qu'on appelait jadis le troisème cas d'égalité
des triangles). Ils ont donc mêmes angles. Il est naturel de chercher à calculer ces angles. C'est ce que
permet cette formule (notons que les angles d'un triangle ont leur mesure entre 0 et π, donc ils sont
déterminés par leur cosinus).
Conséquence 2: Cette formule permet aussi, lorsqu'on connait un angle et les cotés adjacents, de
calculer le troisième coté (donc aussi les deux autres angles). En particulier si deux triangles ABC et
A1B1C1 sont tels que AB = A1B1, AC = A1C1 et A
^ =A1 ^, leurs trois cotés sont égaux deux à deux
donc il existe une isométrie qui les superpose. C'est le deuxième cas d'égalité des triangles.
§2: Calcul des cotés lorsqu'on a les angles et l'un des cotés.
C'est la formule a
sin A
^ = b
sin B
^ = c
sin C
^ Pour l'établir calculons l'aire
S = 1
2 BC dist(A,BC) = 1
2 a c sin B
^ .
Et en faisant jouer la symétrie des roles de A,B et C
S = 1
2 a c sin B
^ = 1
2 b a sin C
^ = 1
2 c b sin A
^
D'où la relation cherchée en divisant par 1
2 abc.

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Remarque 1: On aurait pu remplacer le calcul de l'aire par l'égalité des déterminants dét (AB
→,AC →),
dét (BC
→,BA →) et dét (CA →,CB →). Mais ceci nous aurait amené à utiliser les angles de vecteurs (AB →,AC →)
(BC
→,BA →) et (CA →,CB →), et à identifier leur sinus à celui des angles A
^, B ^ et C ^. Difficulté inutile !
Remarque 2: Soit O le centre du cercle circonscrit. On sait
que 2 (AB
→,AC →) = (OB →,OC →), en termes d'angles de secteurs
ceci se traduit par 2 A
^ = BOC ^ ou par 2(π – A ^) = BOC ^
(suivant le cas de figure). Or on a 2 HOC
^ = BOC ^ (fig ci-
contre) donc A
^ = HOC ^ ou π – A ^ = HOC ^. Ce qui donne
a
2 = CH = R sin HOC
^ = R sin A ^
Ainsi ces rapports sont égaux à 2R (ce qui a peu d'intérêt). Noter que c'est une nouvelle démonstration
de la formule.
Exercice: Si r est le rayon du cercle inscrit , on a : S = pr .
(Diviser le triangle en trois triangles de sommet le centre du cercle inscrit)
Conséquence 1: Dés qu'on connait un coté et deux angles (donc les trois angles), on peut calculer les
deux autres cotés. En particulier si deux triangles ABC et A1B1C1 sont tels que AB = A1B1, A
^ = A1 ^
et B
^ = B1 ^, alors leurs trois cotés sont égaux deux à deux, donc il existe une isométrie qui les
superpose. C'est le premier cas d'égalité des triangles.
Conséquence 2: On montrera que dans un triangle quelconque "au plus grand coté est opposé le plus
grand angle", plus précisément que si A
^ ≤ B ^ ≤ C ^ alors a ≤ b ≤ c. Si les trois angles sont aigus, c'est
une conséquence du fait que le sinus est croissant sur [0,π/2]. Si C
^ est obtus, les deux autres sont
aigus et on a A
^ ≤ B ^ ≤ π – C ^ (car A ^ + B ^ = π – C ^), d'où sin A ^ ≤ sin B ^ ≤ sin C ^.
§3: AB2+CB2 et AB2–CB2:
(pour mémoire) Voir leçon sur le produit scalaire
§4: Calcul de l'aire à partir de cotés. On a vu que S = ab sin C
^, et on peut tirer cos C ^ de la formule
du §1. D'où S = ab
2 √
1 – (a2 + b2 – c2
2ab )2 = 1 4 √           
4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2. Il reste à factoriser.
§5: Applications. On peut les centrer sur la géodésie, plus précisément sur les exercices suivants.
Mesure de la distance d'un point B accessible à un point A inaccessible.
On choisit C tel qu'on connaisse BC =
. On mesure (par visée) les angles B
^ et C ^ du
triangle ABC, et on a AB = \s\do2( ) \f(sin
C
^,sin (π–B ^–C ^)) .
Mesure de la distance entre deux points inaccessibles A et B.
On choisit C et D tels qu'on connaisse CD = . On mesure (par visée) les angles marqués. On a alors
AD = sin (α+β)
sin (π–α–β–δ)
BD = sin β
sin (π–β–γ–δ) et
AB2 = AD2 + BD2 – 2 AD BD cos γ.

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1994-95
Relations métriques dans le triangle rectangle
Titre de la leçon (n° 33 en 1994): Relations métriques et trigométriques dans le triangle rectangle.
Applications
Le jury attend les banalités sur la trigonométrie du triangle rectangle, mais surtout les énoncés
suivants: Soit ABC un triangle rectangle en A, AH la hauteur issue de A, et M le milieu de BC. Alors
P1 : AB2 + AC2 = BC2.
P2 : AH2 = – HB
.HC
P3 : AB2 = BC
.BH
P4 : AM = BM (=CM)
Réciproquement un triangle ABC qui vérifie l'une quelconque de ces propriétés est rectangle en A.
Voici deux présentations possibles de la leçon. Je ne sais pas choisir entre les deux. La
seconde colle probablement mieux au titre proposé, car elle fait jouer un rôle plus important à la
trigonométrie. La première est plus proche de ce qu'on raconte actuellement dans les collèges, mais la
trigonométrie et les relations métriques y sont juxtaposées sans aucun lien logique
Première présentation. Nous démontrerons d'abord P1 en utilisant la théorie des aires (ce qui est
conforme aux modes actuelles). .
§1: Quelques propriétés des triangles rectangles.
Théorème 1: Si le triangle ABC est rectangle en A, alors (P1) AB2+AC2 = BC2.
En effet: Posons AB = c, AC = b et BC = a. Dessi-
nons un carré de coté b+c, et plaçons quatre trian-
gles superposables à ABC, comme sur la figure ci-
contre. Puisque B
^ + C ^ = 1 droit, le losange αβγδ a
tous ses angles droits (car 1plat – B
^ – C ^ = 1 drt);
c'est donc un carré. Dés lors
Aire UVWX = (b+c)2
= Aire αβγδ + 4 Aire ABC = a2 + 4 (1
2 bc)
D'où la relation b2+c2 = a2, c'est à dire P1.
Théorème 2: Si le triangle ABC est tel que (P1) AB2+AC2 = BC2, alors (P2) AH2 = – HB
.HC .
En effet: Ecrivons P1 pour les triangles rectangles AHC et AHB, nous avons AC2 = AH2+HC2 et
AB2 = AH2+HB2. D'où en tenant compte de l'hypothèse BC2 = AC2+AB2:
BC2 = 2AH2 + HC2 + HB2
2AH2 = BC2 – HC2 – HB2 = (BC
+HC ).BH  – BH 2 = BH .(BC +HC +BH ) = 2 BH .BC
Théorème 3: Si le triangle ABC vérifie la relation (P2) AH2 = – HB
.HC , alors (P3) AB2 = BH .BC .
En effet: En ajoutant AH2 = – HB
.HC  et la relation P1 pour le triangle ABH, nous obtenons P3.
Théorème 4: Si le triangle ABC vérifie (P3) AB2 = BH
.BC , alors on a (P4) AM = BM (=CM).
En effet: Ecrivons P1 pour les triangles rectangles MHA et BHA. Nous avons AM2 = AH2+HM2 et
AB2 = AH2+HB2. D'où AM2 = (AB2–HB2) + HM2. L'hypothèse AB2 = BH
.BC  nous permet d'en

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déduire AM2 = BH
.BC  – HB2 + HM2 = BH .BC  – BH 2 + HM 2 = BH .HC  + HM 2.Soit encore
AM2 = (BM
 + MH )(BM  + HM ) + HM 2 = BM 2.
Théorème 5: Si le triangle (non aplati) ABC vérifie (P4) AM = BM (=CM), alors il est rectangle en A.
En effet: Notons A' la projection orthogonale de B sur AC. Puisque les triangles rectangles vérifient
P4, nous avons A'M = BM = CM. Et d'après notre hypothèse on a aussi AM = BM. Donc les points
C, A et A' sont sur un même cercle γ de centre M. Comme ils sont alignés c'est que deux d'entre eux
sont confondus. Puisque le triangle n'est pas aplati, on a A≠C. Si on avait A'=C, alors la droite AC
serait la tangente en C au cercle γ, ce qui entrainerait AM>CM. C'est donc que ce sont A et A' qui sont
confondus. Ainsi la projection orthogonale de B sur AC est A.
§2: Relations trigonométriques. Rappels: Etant donnés deux droites orientées D1 et D2 sécantes en O,
il existe un nombre λ tel que:
a) quel que soit M sur D1, et sa projection orthogonale M' sur D2, OM'
 = λ OM .
b) quel que soit P sur D2 et sa projection orthogonale P' sur D1, OP'
 = λ OP .
Ce nombre ne dépend que de l'angle des deux droites orientées; il est appelé le cosinus de l'angle.
Pour tout angle α aigu, le cosinus du complémentaire de α est appelé le sinus de α; le sinus et
le cosinus d'un angle aigu sont positifs. Ceci nous permet d'affirmer que dans le triangle ABC
rectangle en A, nous avons:
AB = BC cos B
^ = BC sin C
^ et AC = BC cos C
^ = BC sin B
^
On pourrait ajouter AC = AB tg B
^.
§3: Applications: Ce mot apparait à la fin de presque tous les sujets proposés; je finis par me
demander quel sens il faut lui donner !! Je proposerai tout de même:
a) Calcul de la distance de deux points donnés dans un repère orthonormé.
b) Trois points ABC étant donnés en repère orthonormé, montrer que AB et AC sont orthogo-
naux si et seulement si (xB–xA)(xC–xA) + (yB–yA)(yC–yA) = 0 (Au lieu de la formule donner un
exemple numérique).
c) Démontrer la relation sin2 + cos2 = 1. En effet dans le triangle restangle ABC:
cos2B
^ + sin2B ^ = AB2
BC2 + AC2 BC2 qui est égal à 1 à cause de P1.
d) Dans le triangle rectangle ABC, on a 1
AH2 = 1
AB2 + 1 AC2 (puisque AH2
AB2 = sin2B
^, et AH2
AC2
= cos2B
^). L'intérêt de cette relation est qu'elle s'étend à l'espace.
Si on donne des points B, C et D sur les
arêtes d'un trièdre triorthogonal de sommet A, et si H
est la projection orthogonale de A sur le plan BCD,
on a 1
AH2 = 1
AB2 + 1 AC2 + 1 AD2 . Pour s'en
convaincre on applique la relation cidessus aux
triangles rectangles ABK et ACD.
Seconde présentation. Elle repose sur la connaissance préalable de la notion de cosinus.
§1: Rappels de trigonométrie. C'est le paragraphe 2 de l'autre présentation.
§2: Quelques propriétés des triangles rectangles.
Théorème 1: Si le triangle ABC est rectangle en A, alors (P1) AB2 + AC2 = BC2.

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En effet nous avons cos B
^ = BA
BC
= B H
BA
 d'où la relation (P3) AB2 = BC
.BH . De même AC2 =
CB
.CH . Il suffit d'ajouter ces deux relations.
Théorèmes 2, 3, 4 et 5: Voir l'autre présentation.
§3: Applications: Identique à ce qui a été écrit ci-dessus.