ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D`EXERCICES 3 Exercice 1

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D’EXERCICES 3
DANIELE FAENZI
Exercice 1 (Étude de SL(2,F3)).Soit G= SL(2,F3),Zle centre de G
et posons P= PSL(2,F3) = G/Z. On a |G|= 24,P∼
=A4. On note πla
projection canonique de Gsur P.
(1) Calculer le centre de G. En déduire que Gn’est pas isomorphe à S4.
(2) Dénombrer tous les éléments d’ordre 2de G.
(3) Calculer D(P)et P/D(P).
(4) Déduire que le cardinal de D(G)divise 8(Indication : calculer le
cardinal de π−1(D(P))).
(5) Démontrer que en effet |D(G)|= 8 (Indication : démontrer que D(H)
contient des éléments d’ordre 2, donc qu’il contient Z).
(6) Déduire que D(H)∼
=H8(Indication : on pourra utiliser la classifi-
cation des groupes d’ordre 8).
(7) Démontrer que Gest isomorphe à H8o Z/3Z. L’opération est-elle
triviale ?
Exercice 2. Soit Xun solide dans R3. On considère le groupe Gdes symé-
tries de X, i.e. les isométries de R3qui laissent fixe X. À chaque symétrie σ
on associe la matrice Aσde l’automorphisme de R3induit par σ. Le groupe
des symétries positives Hest alors le sous-groupe de G:
H={σ∈G|det(Aσ)=1}.
(1) Soit X=Tle tétrahèdre dans R3donné comme enveloppe convexe
des points (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
(a) En faisant opérer A4sur les sommets de T, montrer que Gest
isomorphe à S4.
(b) Montrer que Hest isomorphe à A4.
(c) Considérer l’opération de A4sur les couples d’arêtes opposées
de T, en en déduire un morphisme de groupes ϕ:A4→S3.
Quel est l’image de ϕ? Quel est le noyau ?
(2) Soit X=Cle cube dans R3donné comme enveloppe convexe des 8
points (±1,±1,±1), et soit Gle groupe des symétries de C.
(a) Faire opérer S4sur les diagonales principales de C. Démontrer
que Hest isomorphe à S4.
Date: 22 avril 2008.
1

2 DANIELE FAENZI
(b) Faire opérer S4sur les couples de faces opposés de C, et consi-
dérer le morphisme obtenu ϕ:S4→S3. Quel est l’image de
ϕ? Quel est le noyau ?
Exercice 3. Soient G= SL(n, R),E=Rn, et posons :
SO(n, R) = {g∈G|ggt= 1}.
(1) Démontrer que SO(n, R)est un groupe, et que SO(2,R)est homéo-
morphe à :
S1={x∈R2| ||x|| = 1}.
(2) Décrire les orbites de SO(n, R)pour l’opération naturelle sur E.
Soit maintenant F=Cm,n= 2m, et identifions Eet Fpar :
ϕ(z1, . . . , zn)=(x1, y1, . . . , xn, yn),si zk=xk+iyk.
(3) Démontrer que ϕdonne un isomorphisme de GL(m, C)sur un sous-
groupe de GL(n, R).
(4) Soit U(m)le sous-ensemble de GL(m, C)défini par :
U(m) = {g∈GL(m, C)|g gt= 1},
et posons SU(m) = U(m)∩SL(m, C). Démontrer que U(m)et SU(m)
sont des groupes et que U(1) est homéomorphe à S1.
(5) Démontrer que SU(2) est homéomorphe à
S3={x∈R4| ||x|| = 1}.
E-mail address :[email protected]
Université de Pau et des Pays de l’Adour, L.M.A., I.P.R.A. Avenue de l’uni-
versité BP 1155, 64013 PAU Cedex, Téléphone : [phone], Télé-
copie : [phone]