ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D`EXERCICES 3 Exercice 1

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D’EXERCICES 3
DANIELE FAENZI
Exercice 1 (Étude de SL(2, F3 )). Soit G = SL(2, F3 ), Z le centre de G
et posons P = PSL(2, F3 ) = G/Z. On a |G|= 24, P ∼
= A4 . On note π la
projection canonique de G sur P .
(1) Calculer le centre de G. En déduire que G n’est pas isomorphe à S4 .
(2) Dénombrer tous les éléments d’ordre 2 de G.
(3) Calculer D(P ) et P/D(P ).
(4) Déduire que le cardinal de D(G) divise 8 (Indication : calculer le
cardinal de π −1 (D(P ))).
(5) Démontrer que en effet |D(G)| = 8 (Indication : démontrer que D(H)
contient des éléments d’ordre 2, donc qu’il contient Z).
(6) Déduire que D(H) ∼
= H8 (Indication : on pourra utiliser la classification des groupes d’ordre 8).
(7) Démontrer que G est isomorphe à H8 o Z/3Z. L’opération est-elle
triviale ?
Exercice 2. Soit X un solide dans R3 . On considère le groupe G des symétries de X, i.e. les isométries de R3 qui laissent fixe X. À chaque symétrie σ
on associe la matrice Aσ de l’automorphisme de R3 induit par σ. Le groupe
des symétries positives H est alors le sous-groupe de G :
H = {σ ∈ G | det(Aσ ) = 1}.
(1) Soit X = T le tétrahèdre dans R3 donné comme enveloppe convexe
des points (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
(a) En faisant opérer A4 sur les sommets de T , montrer que G est
isomorphe à S4 .
(b) Montrer que H est isomorphe à A4 .
(c) Considérer l’opération de A4 sur les couples d’arêtes opposées
de T , en en déduire un morphisme de groupes ϕ : A4 → S3 .
Quel est l’image de ϕ ? Quel est le noyau ?
(2) Soit X = C le cube dans R3 donné comme enveloppe convexe des 8
points (±1, ±1, ±1), et soit G le groupe des symétries de C.
(a) Faire opérer S4 sur les diagonales principales de C. Démontrer
que H est isomorphe à S4 .
Date: 22 avril 2008.
1
2
DANIELE FAENZI
(b) Faire opérer S4 sur les couples de faces opposés de C, et considérer le morphisme obtenu ϕ : S4 → S3 . Quel est l’image de
ϕ ? Quel est le noyau ?
Exercice 3. Soient G = SL(n, R), E = Rn , et posons :
SO(n, R) = {g ∈ G | gg t = 1}.
(1) Démontrer que SO(n, R) est un groupe, et que SO(2, R) est homéomorphe à :
S 1 = {x ∈ R2 | ||x|| = 1}.
(2) Décrire les orbites de SO(n, R) pour l’opération naturelle sur E.
Soit maintenant F = Cm , n = 2m, et identifions E et F par :
ϕ(z1 , . . . , zn ) = (x1 , y1 , . . . , xn , yn ),
si zk = xk + iyk .
(3) Démontrer que ϕ donne un isomorphisme de GL(m, C) sur un sousgroupe de GL(n, R).
(4) Soit U(m) le sous-ensemble de GL(m, C) défini par :
U(m) = {g ∈ GL(m, C) | g g t = 1},
et posons SU(m) = U(m)∩SL(m, C). Démontrer que U(m) et SU(m)
sont des groupes et que U(1) est homéomorphe à S 1 .
(5) Démontrer que SU(2) est homéomorphe à
S 3 = {x ∈ R4 | ||x|| = 1}.
E-mail address: [email protected]
Université de Pau et des Pays de l’Adour, L.M.A., I.P.R.A. Avenue de l’université BP 1155, 64013 PAU Cedex, Téléphone : +33(0)5 59 40 75 15, Télécopie : +33(0)5 59 40 70 01