Transparents - Jérôme Buzzi`s

Minimalit´e Transitivit´e Attracteurs Entropie Probas invariantes R´ecurrence
Syst`emes Dynamiques et Applications
g´eom´etriques et en th´eorie des nombres
MAT 551
J´erˆome Buzzi (CNRS & Universit´e Paris-Sud)
http://jbuzzi.wordpress.com/teaching
[email protected]
Amphi 3
1er octobre 2010
Ecole polytechnique

Minimalit´e Transitivit´e Attracteurs Entropie Probas invariantes R´ecurrence
Notions d’invariance
Xespace m´etrique compact
T=R,Zou N
φ:T×X→Xcontinu
D´efinition
Y⊂X est invariant si φt(Y)⊂Y pour tout t ∈T .
D´efinition
(X, φ)est minimal si les seules parties invariantes sont ∅,X .
D´efinition
Y⊂X est strictement invariant si φt(Y) = Ypour tout t ∈T .
Lemme
∀x∈X , ω(φ, x)est un compact non-vide strictement invariant.

Minimalit´e Transitivit´e Attracteurs Entropie Probas invariantes R´ecurrence
Minimalit´e et densit´e des (semi)orbites
Lemme
La minimalit´e d’un syst`eme dynamique topologique (X, φ)est
´equivalente `a n’importe laquelle des propri´et´es suivantes:
1. ses seules parties ferm´ees et invariantes (∀t>0φt(K)⊂K)
sont ∅et X ;
2. ses seules parties ferm´ees et strictement invariantes (∀t>0
φt(K) = K) sont ∅et X ;
3. pour tout x ∈X , ω(x) = X ;
4. pour tout x ∈X , O+(x) = X ;
5. pour tout x ∈X , OT(x) = X .
Proof.
(1) =⇒(2) =⇒(3) =⇒(4) =⇒(5) =⇒(1)
Toute rotation irrationnelle est minimale

Minimalit´e Transitivit´e Attracteurs Entropie Probas invariantes R´ecurrence
Cat´egories de Baire
Th´eor`eme (Baire)
Dans un espace m´etrique complet, toute intersection d´enombrable
d’ouverts denses est dense.
D´efinition
Un Gδest une intersection d´enombrable d’ouverts. Un ensemble
contenant un Gδ-dense est appel´e un ensemble gras ou de
deuxi`eme cat´egorie ou encore r´esiduel au sens de Baire. Le
compl´ementaire est appel´e maigre ou de premi`ere cat´egorie au
sens de Baire.
analogue `a ensemble de mesure totale/nulle
Attention! L’ensemble des x∈Rsatisfaisant une condition
diophantienne:
∃C>0∃γ > 0∀n≥1d(x,n−1Z)≥Cn−γ
est de mesure totale pour Lebesgue ET maigre au sens de Baire

Minimalit´e Transitivit´e Attracteurs Entropie Probas invariantes R´ecurrence
Transitivit´e topologique
D´efinition
(X, φ)est topologiquement transitif s’il admet une orbite dense.
On suppose que toute orbite est d’int´erieur vide dans X.
Lemme
La transitivit´e topologique est caract´eris´ee par n’importe laquelle
des assertions suivantes:
(1) il existe x ∈X tel que O(x) = X ;
(2) il existe un Gδdense de points de X tels que O(x) = X ;
(3) il existe x ∈X tel que O+(x) = X ;
(4) il existe un Gδdense de points de X tels que
ω(φ, x) = O+(x) = X ;
(5) pour toute paire d’ouverts non-vides U,V de X , il existe
t∈T+arbitrairement grand tel que U ∩φ−1
t(V)6=∅.