CORRIGE TD n°4 - Psychosmose.free.fr, Bienvenue

19
CORRIGE TD n°4
EXERCICE 1 : les trous d’Young
On considère une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ=656,3 nm, se propageant
le long de l’axe Oz. On intercale sur le trajet de cette onde un écran percé de deux trous de
dimension négligeables, écartés d’une distance a, comme représenté sur la figure ci-dessous.
Chaque trou peut être considéré comme une source ponctuelle émettant un champ électrique
d’amplitude E0. On place un écran à une distance D. On observe la figure d’interférence au point
P situé sur l’écran, à la côte x. La distance D est beaucoup plus grande que l’écart a et que la côte
x. 1. Ecrire l’expression de la différence de marche, ainsi que la différence du trajet (2) par
rapport au trajet (1) en fonction de D, a, x, λ.
2. Calculer l’interfrange.
3. Faire les applications numériques pour D=2m, a=2mm et x=10cm.
CORRECTION
1. Soit H le projeté orthogonal de S1 sur S2H. D’après le théorème de Malus, la différence de
marche 21 2 sinSH a
δ
θ == . Or tan /
x
D
θ
=
et .aD On en déduit que 1
θ
 et donc
que tan sin
θ
θθ  . Ce qui nous donne que 21 2 /S H ax D
δ
=
=.
Le déphasage nous est donné par : 21 21
22ax
D
π
π
ϕδ
λ
λ
==
.
2. On obtient l’interfrange lorsque ai
D
λ
=
soit D
ia
λ
=.
3. L’interfrange est donc de 0,632 mm.

20
EXERCICE 2 : Interfrange
On réalise une expérience d’interférences avec des fentes d’Young dans l’air. On obtient un
interfrange i0= 2 mm. Le dispositif est ensuite immergé totalement dans de l’eau d’indice n = 4/3.
Quelle est la nouvelle valeur de l’interfrange ?
CORRECTION
La différence de marche dans doit être multipliée par l’indice optique de l’eau donc le déphasage
s’écrit 21 2nax
π
δ
λ
= et donc l’interfrange est 0
i
D
ina n
λ
=
=.
EXERCICE 3 : Interférences à 3 ondes
On considère une onde monochromatique plane de longueur d’onde λ = 656,3 nm se propageant
le long de l’axe Oz avec une polarisation rectiligne.
On place un écran percé de trois trous de dimensions négligeables disposés symétriquement,
comme montré sur la figure ci-dessous.
Chaque trou peut être considéré comme une source ponctuelle d’amplitude E0 du champ
électrique. On place un écran à la distance D, que l’on prendra beaucoup plus grande que
l’écartement a des trous. 2 et 1 Dmamm==.
1. Ecrire l’expression de la différence de marche entre le rayon passant par le trou en +a/2 et
le rayon passant par le centre. De même, calculer la différence de marche entre le rayon
passant par le trou en –a/2 et le rayon passant par le centre. En déduire les différences de
phase des trajets (1) et (2) par rapport à celui issu du trou central O.
2. Calculer l’expression du champ électrique E observé au point P.

21
3. Déduire l’expression de l’éclairement lumineux E au point P. Tracer l’éclairement E en
fonction de la position Y.
4. Décrire la figure d’interférences obtenue. Définir l’interfrange i et donner son expression
pour le cas étudié ici. Valeur numérique de i.
CORRECTION
1. Calculons les différences de marche. D’après le théorème de Malus :
1sin
2
a
OH
δ
θ =− =− et 22 sin
2
a
SK
δ
θ == . Or tan Y
D
θ
=
et YDd’où
tan sin
θ
θθ et donc 12
aY
OH D
δ =− =− et 22 2
aY
SK D
δ ==

22
On en déduit les différences de phase 1aY
D
π
ϕ
λ
=− et 2aY
D
π
ϕ
λ
=.
2. Les sources S1 O et S2 sont des sources secondaires cohérentes (c’est un dispositif de
division du front d’onde) qui sont déphasées l’une par rapport à l’autre. Pour avoir accès
au champ en P, on applique le théorème de superposition si bien que
() ( )
()
(
)
(
)
012
exp 1 exp expEP E i t kr i i ωϕϕ =−++
⎡⎤
⎣⎦
où 1
ϕ
et 2
ϕ
sont les déphasages des
rayons (1) et (2) par rapport au rayon qui passe par O.
() ( )
()
0exp 1 exp exp
aY aY
EP E i t kr i i
DD
ππ
ωλλ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
=−+−+
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
() ( )
()
0exp 1 2cos aY
EP E i t kr D
π
ωλ
⎡⎤
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
3. On en déduit l’éclairement E(P).
() () ()
2
*2 2 2
00
1 2cos 1 4cos 4cos
aY aY aY
PEPEPE E
DDD
πππ
λλλ
⎡⎤⎡ ⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎢⎥⎢ ⎥
==+ =++
⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎢⎥⎢ ⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣ ⎦
E
()
22
00
2
cos 1 2
1 4cos 4 3 4cos 2cos
2
aY
aY aY aY
D
PE E
DDD
π
πππ
λ
λλλ
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎜⎟
⎜
⎢⎥
+⎟
⎟
⎜⎜⎟
⎟
⎜
⎡
⎤
⎢⎥
⎜
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
⎝⎠
⎟
⎜
⎟⎟⎟
⎟
⎜⎜⎜
⎢
⎥
⎢⎥
=+ + =+ +
⎜
⎟⎟⎟
⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟
⎜
⎜⎜⎜
⎟
⎢
⎥
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
⎜⎟
⎣
⎦
⎟
⎜
⎢⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
E
En posant aY
D
π
ϕλ =,
() ( )
2
03 4cos 2cos 2PE ϕϕ
⎡
⎤
=+ +
⎣
⎦
E.

23
4. On a deux séries de franges : une série de franges très brillantes et une série de franges
sombres. Entre deux franges très brillantes, on trouve une frange d’éclairement plus
faible, entourée par deux franges noires. Toutes ses franges sont perpendiculaires au plan
de la figure.
On définit l’interfrange par la longueur que l’on trouve entre deux franges très brillantes.
On a alors 22,623 mm
D
ia
λ
== .
EXERCICE 4 : Miroir de Lloyd
Le miroir de Lloyd est constitué d’une lame de verre plane opaque utilisée comme un miroir plan.
La surface de ce miroir est un rectangle de côtés 15 cm et 5 cm environ ; la planéité de ce miroir
est parfaite. Ce miroir épais (pour éviter les déformations), donc lourd, est placé sur un support
rigide, installé sur un banc optique indéformable. Il est possible à l’aide de la vis V de régler
l’inclinaison de ce miroir par rapport aux rayons incidents.