Calcul Différentiel 1

Calcul Différentiel 1
Notes de cours
Licence 2 – Semestre 3
Ioane Muni Toke
Version 2013

2
Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

Table des matières
1 Topologie des espaces vectoriels normés 5
1.1 Notion de norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Rudiments de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Parties ouvertes et fermées d’un espace vectoriel normé . . . . . . . 8
1.2.2 Suites dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Quelques définitions pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Cas de la dimension finie et de RNen particulier . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Continuité de fonctions de RNdans RP17
2.1 Limite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Fonctions continues sur les fermés bornés de RN. . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Quelques mots sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Différentiabilité de fonctions de RNdans RP27
3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Applications continûment différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Application linéaire tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Différentiabilité d’ordre k43
4.1 Fonctions de classe Ck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Extrema de fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Pour aller plus loin 55
5.1 Difféomorphismes et inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Introduction à la notion de forme différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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4 TABLE DES MATIÈRES
Université de la Nouvelle-Calédonie Licence 2 S&T Mention Mathématiques

Chapitre 1
Rudiments de topologie des
espaces vectoriels normés
Dans ce chapitre, nous donnons quelques rudiments de topologie des espaces vectoriels
normés. Ce cadre de travail est suffisant dans ce cours puisque l’objectif des chapitres
suivants est de travailler avec les fonctions de RNdans RP, espaces vectoriels normés de
dimension finie.
Dans tout ce chapitre, K=Rou Cdésigne le corps de base. |·|désigne donc suivant
le contexte la valeur absolue d’un réel ou le module d’un complexe. Soit Eun K-espace
vectoriel de dimension quelconque. Le cas particulier où Eest de dimension finie sera
présenté en section 1.3.
1.1 Notion de norme
Définition 1.1 (Norme).On appelle norme sur Etoute application k · k :E→R+
vérifiant :
(N1) ∀x∈E, ∀λ∈K,kλxk=|λ|kxk(homogénéité positive) ;
(N2) ∀x∈E, (kxk= 0 ⇐⇒ x= 0) (séparation) ;
(N3) ∀(x, y)∈E2,kx+yk ≤ kxk+kyk(inégalité triangulaire).
Remarque 1.2.Une application vérifiant l’homogénéité et l’inégalité triangulaire, mais pas
la séparation est appelée semi-norme.
Définition 1.3 (Espace vectoriel normé).On appelle espace vectoriel normé tout couple
(E, k · k) où Eest un espace vectoriel et k · k une norme sur E.
L’énoncé suivant propose quelques exemples de normes dans le cas d’un espace de
dimension finie (RN). Dans les chapitres suivants, nous travaillerons avec des fonctions
définies sur RN, c’est donc un exemple fondamental.
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