ds1_spe_08_09

DEVOIR SURVEILLE N°1
Sophie Touzet TS 5/6 Spé
EXERCICE 1
EXERCICE 1EXERCICE 1
EXERCICE 1 :
::
: ( 9 points)
Première partie : Question de cours
Question de coursQuestion de cours
Question de cours
Prérequis : on suppose connu le théorème de Bézout.
1. Démontrer le résultat suivant :
« Si m et n sont deux entiers naturels non nuls dont le PGCD vaut d, alors il existe deux entiers relatifs u et v
tels que mu – nv = d. »
2. Dire, en justifiant la réponse, si la réciproque est vraie, c’est-à-dire si l’on a le résultat suivant :
« m et n étant des entiers naturels non nuls, s’il existe deux entiers relatifs u et v et un entier naturel d tels que
mu – nv = d, alors d est le PGCD de m et n .»
Deuxième partie :
On rappelle que pour tout entier naturel non nul k, et pour tout réel x :
x
k
– 1 = ( x – 1 ) ( 1 + x + x
2
+… + x
k -1
).
1. a) Soient n un entier naturel non nul, et d un diviseur positif de n.
Montrer que a
d
– 1 est un diviseur de a
n
– 1.
b) En déduire que 2
2004
– 1 est divisible par 7, par 63, puis par 9.
2. Soient m et n deux entiers naturels non nuls, et d leur PGCD.
Soient u et v des entiers relatifs tels que mu – nv = d. On suppose u et v strictement positifs.
a) Vérifier que (a
m u
– 1 ) – ( a
n v
– 1) a
d
= a
d
– 1 .
b) Montrer que a
d
– 1 est le PGCD de a
m u
– 1 et de a
n v
– 1 .
c) Calculer, en utilisant le résultat précédent, le PGCD de 2
63
– 1 et de 2
60
– 1 .
Exercice 2
Exercice 2Exercice 2
Exercice 2 ( 6 points)
1. Montrer que tout entier relatif n, les entiers 14n + 3 et 5n + 1 sont premiers entre eux.
2. On considère l’équation (E) : 87 x + 31 y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier, en utilisant par exemple la question 1. que 87 et 31 sont premiers entre eux.
b) Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que 87 u + 31v = 1, puis une solution de (E), et enfin
l’ensemble des solutions de (E) dans
ℤ
2
.
c) Application : déterminer les points de la droite d’équation 87x + 31y – 2 = 0, dont les coordonnées sont
des entiers naturels, et dont l’abscisse est comprise entre 0 et 100.
Exercice 3
Exercice 3Exercice 3
Exercice 3 ( 5 points)
Pour tout entier naturel n ≥ 1, on pose u
n
= 1 ! + 2 ! + … + n ! .
On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite (u
n
) :
u
1
= 1 ; u
2
= 3 ; u
3
= 3
2
; u
4
= 3 × 11 ; u
5
= 3
2
× 17 ; u
6
= 3
2
× 97 ;
u
7
= 3
4
×
73 ; u
8
= 3
2
×
11 × 467 ; u
9
= 3
2
×
131
×
347 ; u
10
= 3
2
×
11
×
40787.
1. Montrer que u
n
n’est jamais divisible par 2, ni par 5, ni par 7.
2. Peut-on affirmer que u
n
est divisible par 11 à partir d’un certain rang ?
3. Soient n et p deux entiers naturels non nuls tels que p divise u
n
.
a) Donner une condition suffisante pour que p divise u
m
pour tout m ≥ n .
b) Cette condition est-elle nécessaire ?