THÉORIE DES GROUPES ET PARTICULES ÉLÉMENTAIRES 1

546 ПОЛУЧАСОВЫЕ ДОКЛАДЫ HALF-HOUR REPORTS
THÉORIE DES GROUPES
ET PARTICULES ÉLÉMENTAIRES
LOUIS MICHEL
1. Rappel historique et notations
Moins de trois ans après la création de la mécanique quantiquef1)
paraissait le livre de H. Weyl « Gruppentheorie und Quantenmechanik
(Huzel Leipzig 1928) (2) suivi par celui de E. P. Wigner « Gruppen-
theorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik » der Atom-
spektren» (Vieweg, Braunschweig 1931) (8) et celui de Van der Warden
« Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik » (Sprin-
ger, Berlin 1932) (4).
Non seulement deux des auteurs étaient des mathématiciens, mais
une partie importante des travaux du troisième sur ce sujet avait été
faite en collaboration avec J. Von Neumann (б). Ces trois livres trai-
taient surtout des spectres atomiques, mais ils ont fortement influencé
les autres applications de la théorie des groupes aux particules élé-
mentaires.
Avant de rappeler un théorème essentiel utilisé dans ces livres,
commençons par donner un exemple banal simplifiant à l'extrême :
seule la partie paire f+(r) = (1/2) (f(r)+f (—r)) [respectivement
U(n9r2) = (1/2) (/fa, r2) + /(r2, r±)) ] de l'intégrand contribue
à l'intégrale sur tout l'espace \ f (r) d3r (resp. \ / (r±, r2) d8rtd*r2) ;
ceci explique respectivement la règle de sélection de Laporte pour les
spectres atomiques et la séparation du spectre de l'hélium en deux
spectres distincts (6) (ortho et parahélium). Ces deux phénomènes
étaient inexplicables avant l'avènement de la mécanique quantique.
Dans les trois remarquables livres cités, il s'agissait entre autres.
de généraliser au groupe des rotations de l'espace (S03) et au groupe
symétrique Sn (permutations de n objets) les considérations établies
dans l'exemple pour le groupe de deux éléments (Z2 ou S2). Comme
nous le verrons, à cause du spin de l'électron, c?est le groupe
SU2, recouvrement universel de S03, qui intervient. Les physiciens
dénotent traditionnellement Dj la représentation unitaire irréductible
de dimension 2/ + 1 de SU2 (à une équivalence près). On rappelle la
réduction :
J1+J2
( 1 ) Dh <g>Dh ~ ® Dj, / + /t + /2 entier > 0.
j=lii-jal
Rappelons encore ce qui nous est nécessaire sur les représentations
de Sn et Un. Les représentations irréductibles du groupe symétrique

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>л sont étiquetées par des partitions de n : [Я*1 . . . Я"* ... Х*ь]
vec ^i > Я2 . . . > %k > 0, S
aA*
= ft. P°ur *ои* ^ > 1» deux
eprésentatibns seulement sont de dimension un, les représentations
omplètement symétrique ln], antisymétrique [ln]. On sait que
2) [я]с[...^...]в[.м Л*** ...]<=> Я, = A4, a, = ai,
2') [ln] c: [ ] ® [ ] <* Ä4 = Ä,«*^j"*a^
a{ = a* = Яа-|+1 — Яа-1+2»
)ans ce dernier cas, les représentations seront dites complémentaires,
Parfois, nous noterons simplement [ к une représentation irreduc-
ible de Sn, en notant alors [ ]l la complémentaire.
Nous appelons représentation primaire une somme directe de
eprésentations unitaires irréductibles équivalentes.
n
Soit $в{1) un espace d'Hubert ; nous notons Sêm = ® Sß(1) =
= Sê{V ® . • . ® Sê{1) le produit tensoriel de n copies de SB* Par
ermutation des facteurs le groupe Sn agit sur fflW. Décomposons
ette représentation, que nous noterons [ Тдего, en soriime directe de
^présentations primaires, et notons Sß^jx le sous-espace de $6in>
хт lequel agit la représentation primaire © [ k". Pour le sujet des
vres cités, le théorème suivant est fondamental :
Théorème: Si $ß{1) est de dimension finie k, l'action du
roupe unitaire Uk sur $ß{1) est transportée sur $ß(n\ où il agit
n
ar ® Uk- La décomposition de cette représentation de Uh en somme
irecte de représentations primaires fournit les mêmes espaces &B^\%*
n peut donc noter par les mêmes symboles [ к les représentations
réductibles de Uk ainsi obtenues (ce sont toutes les représentations
mtinues). Plus précisément
i) pourSn [ 1Л(»)~©хИ*[ ]я,
l') pour Уд ®ï4~©A,SU к
ï и% et s*, sont les dimensions de la représentation
:notée
[ к respec-
vement pour le groupe Uk et le groupe Sn.
Remarque 1: Si k<.n, seules interviennent les représen-
tions de Un ou de Sn telles que 2а*<£. Par exemple les
iprésentations de U2 sont [h4, %2] où les entiers %if h2 satisfont
>Я2>0,
36*'

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[ R.e.m a r q u e 2 : Ьа restriction d'une représentation irréductible
de Uk sur le sous-groupe SUh, est irréductible." Ainsi la restriction
de lAi,. U de U% sur SJ72cest Dj avec 2/ = X±.— X2, et
fcdim
[Xlf Я2] =
==h — h2+l = 2/+l. .
Nous noterons encore A$${1) pour $?fil] (resp. VSßll) pour <$?$}).
C'est l'espace des tenseurs de rang n complètement antisymétriques
(resp. symétriques) sur J#(1> (ds dimejißion qijçlponque),
П nous faut aussi expliquer en quelques phrases ce qu'est la méca-
nique quaîntique (7). Dans cette mécanique, un état physique est repré-
senté par un vecteur x ), norme : ( x, x ) = 1, d'un espace d'Hil-
bert. Une grandeur physique ïï est représentée par Л, un opérateur
self adjoint sur $6(B). Le résultat de la mesure de SI pour l'état x)
appartient au spectre de A. La mécanique quantique ne permet de
prédire" que l'espérance mathématique de ce résultat : ( x, Ax) ~
= Tr APX où Px est le projecteur sur le sous-espace à une dimension
engendré par x). Notons que deux vecteurs propres normes de Px,
qui ne diffèrent donc que par une phase, représentent le même état
physique, puisqu'ils impliquent les mêmes prédictions. On appelle
les A des observables, et il est'utile de considérer les différentes
àlgèbres associatives qu'ils engendrent (9). Les Px eux-mêmes sont
des observables. Ainsi
(4) Tr PxPy = \(x, y) \*
est la probabilité d'observer dans l'état x) (resp. y)) le système qu'on
savait être dansi'état y) (resp. x)) (10).
2. Invariance relativiste
Dès 1928, Dirac (u) créa pour l'électron une mécanique quantique
relativiste. Dans une telle théorie, la composante connexe eP0 du
groupe de Lorentz inhomogène (ia) — que les physiciens appellent
groupe de Poincarê, puisque le premier il en montra l'intérêt physique —
est un groupe d'automorphismes de l'algèbre des observables qui
agit donc sur les Px tout en laissant invariantes les probabilités de
transitions Tr PxPy. Le groupe <9*0 agit donc par isométries sur Se, e1
par conséquent (18) cette action est réalisée par une représentatior
unitaire projective (que l'on admet continue). Par définition de la
notion de particule (système qu'on peut isoler et dont on peut négli-
ger la comppsition interne) sur l'espace $ß(1) des états d'une parti-
cule, la représentation est irréductible. La caractérisation des repré-
sentations unitaires projectives continues irréductibles de GP0 cor-
respondant aux particules élémentaires a été accomplie par Wigner (14]
çn 1937 ; elles sont données par des représentations de IF0 (16)> 1(

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•ecouvrement universel de S*0 et sont définies par les invariants
m>0 et s(s+l) avec 2s entier>0
5) ou
m = 0 et 2% entier.
ls correspondent respectivement à la valeur de la masse m > 0 et du
pin s ou | % | de la particule.
' Les générateurs (= éléments de l'algèbre de Lie multipliés par
= У—1) de GJ*O sont des observables : l'impulsion pour les transla
ions d'espace, l'énergie pour celle de temps. Ce dernier observable
st l'Hamiltonien H. Pour un système physique, il détermine son
volution ; les observables commutant avec H sur l'espace des états
lu système sont des constantes du mouvement. Les états stationnai-
es sont des états propres de H, la valeur propre étant leur énergie.
La cinématique des particules élémentaires (conservation de
'énergie, de l'impulsion, du moment cinétique, règles de sélection et
:orrélations angulaires de réactions successives, effets de polarisation,
itc.) n'est autre qu'une étude détaillée, géométrique, du groupe éJV
)'une dizaine il y a vingt ans, le nombre des différentes particules
onnues dépasse aujourd'hui largement la centaine. La découverte de
louvelles particules, la détermination de leur masse et spin (ainsi
[ue d'autres caractéristiques), leur classification, sont parmi les
principales activités de la physique actuelle des particules fonda-
nen taies.
Le groupe complet de Poincarê est engendré par éP0l par une
->• ->
éflexion d'espace, telle que « P » : t, r -*• t, —r, et' par une réfle-
-»• -*•
:ion de genre temps, telle que « T » : t, r -* 1, r, Depuis le XIXe
iècle les physiciens ont conscience de l'invariance des lois physiques
»ar'rapport aux réflexions spatiales. C'est vrai à l'échelle macroscopi-
[ue où n'interviennent que les interactions électromagnétiques et la
cavitation (si l'on excepte la production d'énergie nucléaire, soit
•ar l'homme, soit au sein des étoiles). C'est encore vrai pour les
nteractions nucléaires, beaucoup plus intenses que les interactions
lectromagnétiques, mais de faible portée (10~18 cm). Il existe dans
a nature un quatrième type d'interactions, aussi de très courte' por-
ée, mais beaucoup plus faibles en intensité. On les appelle interac-
ions faibles (ou encore de Fermi). On n'a'pu provoquer des réactions
ntrë particules par leur intermédiaire que depuis 10 ans. Toutes les
articules connues, à l'exception du photon, semblent douées d'inter-
ctions faibles. Aussi ces interactions sont responsables de la désint-
égration spontanée de la plupart des particules découvertes avant
960. Plusieurs contradictions apparentes entre certains résultats
xpérimentaux concernant ces désintégrations furent résolues en
957 par la confirmation de l'hypothèse de Lee et Yang (16) que leà

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interactions faibles violent la parité, c'est-à-dire ne sont pas inva-
riantes pour les réflexions spatiales «Р»3*0. Disons encore que cej
réflexions ne sont des automorphismes de l'algèbre des observables
que dans l'approximation (souvent valide) où l'on peut ,négligei
les interactions faibles. Les mêmes résultats expérimentaux impli-
quaient aussi la violation de « С », l'involution qui échange particu-
les et antiparticules et qui permit à Dirac en 1931 de prédire l'existence
de l'électron positif découvert Tannée suivante. Jusqu'en 1957, « С ï
avait paru être aussi une symétrie fondamentale des lois physiques.
Cette dissymétrie pour « P » et « С » peut être attribuée en partie aux
neutrinos, particules de masse nulle, de spin 1/2, les seules qui n'ont
que des interactions faibles (et gravifiques) ; conformément à des
prédictions théoriques, il fut établi en 1962 qu'il existe deux espèces
de neutrinos. Chacune d'elles a des particules et des antiparticules,
mais les états des unes et des autres ne se correspondent ni par « P »,
ni par « С » mais seulement par le produit « PC » (17). Cependant la
violation de « P » et de « С » apparaît aussi dans des désintégrations
dues aux interactions faibles, où n'interviennent pas les neutrinos.
Le produit « PC » semblait être une invariance fondamentale de la
physique, lorsqu'en 1964 fut découvert un mode rare (fréquence 2.10~3)
de la désintégration des Kl qui est une manifestation de violation de
« PC » et qui ne semble pas due à la non-symétrie de l'environnement
(terre, et même galaxie) pour cette involution.
Nous ne savons pas réaliser des réflexions temporelles, mais « T »
peut être interprété comme renversement du mouvement et aucun
résultat expérimental n'a encore infirmé l'hypothèse que « T » est
un antiautomorphisme involutif de l'*-algèbre des observables. Mais
il faut souligner que les différentes explications théoriques proposées
pour la violation observée de « PC » violent toutes aussi « T » de
façon à préserver le produit «PCT » comme symétrie de la physique.
En effet, en théorie quantique des champs, le meilleur cadre de
pensée que nous ayons actuellement pour étudier les particules fon-
damentales, la covariance par rapport à la composante connexe cP0
du groupe de Poincarê entraîne l'équivalence entre « PCT » , antiau-
tomorphisme involutif de la théorie , et « bonne relation entre spin
et statistique».
Il nous faut expliquer cette dernière phrase. Si Шч et SB2 sont les
espaces des états de deux systèmes physiques, le produit tensoriel
Sßt ® SB est l'espace des états de leur réunion si ces systèmes, sont
différents. Mais l'espace des états d'un système de n particules identi-
ques, dont S6{t) est l'espace des états pour chacune d'elles est soit
n n
A$ßll) (statistique de Fermi-Dirac) soit VSB(1) (statistique de Bose-
Einstein) suivant que ces particules aient un spin s demi-entier ou
entier (18).