Chapitres 1.3-2.3 - MIS - Université de Picardie Jules Verne

ME 4.2
Licence Professionnelle Automatisme et Robotique
Session 2016 - Amiens
Fabio MORBIDI
Laboratoire MIS
Équipe Perception et Robotique
Université de Picardie Jules Verne
E-mail: [email protected]
Organisation du cours
Date
matin/
après midi
CM
16 oct. 2015
matin
X
30 oct. 2015
matin
X
28 jan. 2016
après midi
11 fév. 2016
après midi
6 avr. 2016
matin & a.m.
TD
Contrôle
Lieu
Promeo
X
X
X
Promeo
DS
Dpt. EEA
TP1
Dpt. EEA
TP2
Dpt. EEA
Matin: 8h30-12h15, pause 10h15-10h30
Après midi: 13h15-17h00, pause 15h15-15h30
2
Plan du cours
Chapitre 1: Cinématique du solide
1. Définition d’un solide indéformable
2. Vitesse et accélération des points d’un solide
3. Torseur cinématique
4. Types de liaisons et études de cas
θ
Chapitre 2: Cinétique et dynamique des systèmes de solides
1. Torseur cinétique
2. Opérateur d’inertie
3. Torseur dynamique et Principe Fondamental de la Dynamique
4. Études de cas: efforts sur les préhenseurs, couple moteur, liaison
des robots au sol pour les cellules de soudage [TD]
3
Mouvement plan sur plan
On appelle mouvement plan sur plan le mouvement d’un solide S attaché
au repère R1 tel qu’un plan de S, (O1, x1, y1) par exemple, reste confondu
avec un plan (O, x, y) du repère de référence R
Le torseur cinématique se réduit dans ces conditions à:
{V(S/R)} =
Ω(S/R)
(O1 ∈ S/R)
V
avec
O1
Ω(S/R)
= ψ̇ z
et la condition
(O1 ∈ S/R) · z = 0
V
pour que le point O1 reste dans le plan de base
4
Mouvement plan sur plan
Il existe un point I unique appelé Centre Instantané de Rotation (CIR)
du mouvement de S par rapport à R tel que:
(I ∈ S/R) = 0
V
S
(B ∈ S/R)
V
B
(A ∈ S/R)
V
y
y1
R1
O1
A
x1
I
(I ∈ S/R) = 0
V
z
O
x
Repère R
5
Mouvement plan sur plan
S
(B ∈ S/R)
V
B
(A ∈ S/R)
V
y
y1
R1
O1
A
x1
I
Centre Instantané
de Rotation
z
O
Repère R
x
Remarques
• Le point I existe s’il y a un vecteur Ω(S/R)
vitesse de rotation non nul
• La position du point I varie au cours du temps
6
Mouvement plan sur plan
Définition
1. On appelle base b du mouvement de S par rapport à R
la trajectoire de I dans le repère R
2.
On appelle roulante r du mouvement de S par rapport à R
la trajectoire de I dans le repère R1
S
(B ∈ S/R)
V
B
(A ∈ S/R)
V
y
y1
R1
O1
Trajectoire
de I
A
x1
I
z
O
Repère R
x
7
Mouvement plan sur plan
Determination du CIR
Il est aisé à partir de la définition de I de connaître sa position
à un instant t si on connaît au moins la vitesse de deux points.
En effet, pour un point A on écrit:
−
→
−
→
(A ∈ S/R) = V
(I ∈ S/R) + Ω(S/R)
V
∧ IA = 0 + θ̇ z ∧ IA
−
→
Cette équation montre que le vecteur IA est perpendiculaire au vecteur
(A ∈ S/R)
vitesse connu V
Le point I se situe sur cette perpendiculaire. Si on connaît une autre
vitesse pour un second point B l’intersection des droites donne la position
à l’instant t du point I
y
B
S
(A ∈ S/R)
V
A
−
→
IA
z
I
O
Repère R
x
8
Mouvement plan sur plan
Propriétés de la base et de la roulante
1. La base et la roulante sont deux courbes tangentes
en I à chaque instant (en effet, nous avons V (I/b) = V (I/r))
(I ∈ r/b) est nulle par définition du CIR,
2. Comme la vitesse relative V
que cette vitesse relative représente la vitesse de glissement de r
par rapport à b, on peut dire que les deux courbes roulent sans
glisser l’une sur l’autre
S
y
(B ∈ S/R)
V
B
(A ∈ S/R)
V
y1
R1
O1
A
x1
I
z
O
Repère R
x
9
Propriétés générales des torseurs
et V
Egalité : deux torseurs sont égaux si les éléments de réduction Ω
en un même point sont égaux
Somme : la somme (en un même point) de deux torseurs est un torseur
(l’ensembles des torseurs cinématiques est donc fermé p.r.à addition)
Deux torseurs particuliers
Glisseur: il correspond (en cinématique) à un mouvement de
rotation autour d’un axe fixe. En effet, pour tout point A situé
sur l’axe, on a:
(A) = 0
V
Couple: il correspond à un mouvement de translation pour lequel on
ne peut pas trouver de point à vitesse nulle
Théorème
Tout torseur se décompose de façon unique en la somme
d’un glisseur et d’un couple
10
Définition des actions mécaniques
• Une action mécanique peut être exercée sur un solide S1 pour le
maintenir au repos, le déplacer ou le déformer
Par exemple: le pied d’un footballeur qui frappe un ballon,
le rotor qui entraîne l’axe d’une turbine ou encore les champs
électriques et magnétiques qui dévient l’électron
• Ces actions sont exercées par le solide S2 sur le solide S1
S2
S1
11
Définition de actions mécaniques
Définition:
Deux solides S1 et S2 sont en interaction si on peut trouver dans l’un une
modification de position et d’orientation qui entraîne une modification
dans l’autre
Définition:
On appelle force la grandeur vectorielle décrivant une interaction capable
de produire un mouvement ou de créer une déformation.
On dit alors que S2 exerce une action mécanique sur S1 si relativement
à un référentiel les mouvements (ou déformations) de S1 par rapport
à ce référentiel sont différents selon que S2 soit présent ou absent
S2
S1
12
Définition des actions mécaniques
Les actions se classent en deux grandes catégories :
• Actions à distance : elles sont liées à des champs d’accélération
(pesanteur) ou électromagnétiques, par exemple
• Actions de contact : de pression (par exemple, le pied qui frappe
un ballon, le gaz qui maintient le ballon sous pression)
Les actions s’exercent soit sur :
• Une surface : contact solide-solide, l’action
d’un gaz sur un solide
• Un volume : c’est le cas de la gravité
Nous sommes intéressés à des actions de contact sur surface
13
Liaisons
On va considerer les différentes liaisons existantes entre deux solides.
L’association de surfaces peut être (liste non exaustive):
1. Ponctuelle (bille sur plan)
2. Linéaire rectiligne (cylindre sur plan)
3. Linéiqueire (bille dans cylindre de même rayon)
ar. rot. 3D 4. Rotule (bille dans sphère de même rayon)
Nombre de
contraintes (DDL)
croissant (décroissant)
ar. pris.
5. Appui plan (plan sur plan)
ar. pris./rot.
6. Pivot glissant (cylindre à base circulaire dans cylindre à base circulaire)
ar. pris.
7. Glissière (cylindre à base non circulaire dans cylindre à base non circulaire)
8. Encastrement (aucun mouvement relatif)
1
ar. pris. = articulation
prismatique
d’un robot
ar. rot. = articulation
rotoïde d’un robot
3
4
2
6
5
14
Liaisons
Degrés de liberté d’un liaison
• On appelle degrés de liberté dans une liaison, les mouvements relatifs
indépendants d'un solide par rapport à l'autre autorisés par cette liaison
• En d'autres termes, c’est le nombre de paramètres scalaires utiles pour
paramétrer la position du solide par rapport au repère de référence et
que l’on peut faire varier indépendamment les uns des autres
Liaison unilatérale
Certaines liaisons peuvent varier au cours du
temps, par exemple un livre posé sur une table.
Il peut être posé (contact avec la table) ou enlevé
(il n’y a plus de contact). On parle alors de contact
unilatéral.
Si techniquement il y a impossibilité d’enlever le
livre de la table alors il y a contact bilatéral
15
1. Liaison ponctuelle
• Cette liaison suppose dans la pratique des solides indéformables du type sphère
en appui sur un plan, cylindres croisés ou toute surface de forme quelconque en
appui sur une autre en un point
• On suppose le contact permanent en O, donc la vitesse ne peut pas avoir de
composante selon l’axe (O, z)
• Soit une liaison ponctuelle d’axe z. Le moment en O des actions transmissibles
entre S2 et S1 est nul. De plus si le contact s’effectue sans frottement alors les
efforts transmissibles sont d’axe z
• Le torseur cinématique de cette liaison (exprimé en O) est de la forme :
(S2)
{V(S2 /S1 )} =
Ωx
Vx (O ∈ S2 /S1 )
Ωy
Vy (O ∈ S2 /S1 )
Ωz
0
O
Composantes des vecteurs
de vitesse (5 DDL)
16
1. Liaison ponctuelle
Exemple: Roulement à une rangée de billes
Contact
ponctuel
Le contact entre chaque bille du roulement et une des cages
est de type ponctuel
17
2. Liaison linéaire rectiligne
• Cette liaison est du type cylindre en appui sur un plan.
La ligne de contact entre les deux solides est une droite
• Le torseur cinématique de cette liaison (en O) est de la forme :
{V(S2 /S1 )} =
Ωx
Vx
0
Vy
Ωz
0
O
Remarque: Pour fabriquer des
roulements de petite dimension on
utilise non pas des billes mais des
aiguilles (cylindres).
Le contact aiguille avec
la cage de roulement
est de type linéaire
rectiligne
18
4. Liaison rotule
• Cette liaison est du type sphère dans une sphère creuse de même
diamètre. La surface de contact entre les deux solides est la sphère
• Le torseur cinématique de cette liaison (en O) est de la forme :
{V(S2 /S1 )} =
Ωx
0
Ωy
0
(S2)
Ωz
0
O
(S1) (S2)
(S2)
O
(S1 )
(S1)
Exemple
19
5. Liaison appui plan
• Cette liaison est du type plan sur plan. La surface de contact entre
les deux solides est un plan
• Le torseur cinématique de cette liaison (en O) est de la forme :
{V(S2 /S1 )} =
0
Vx
0
Vy
Ωz
0
O
(S1)
Exemple: appui plan défini par
une butée avec roulements
20
6. Liaison pivot glissant
• Cette liaison est du type cylindre à base circulaire dans un cylindre
creux à base circulaire de même rayon. La surface de contact entre
les deux solides est un cylindre
• Le torseur cinématique (en O) de cette liaison est de la forme :
{V(S2 /S1 )} =
Ωx
Vx
0
0
0
0
O
z
(S2)
y
(S1)
x
21
6. Liaison pivot glissant
• Exemples
(S1) (S2)
Injecteur d’un moteur
à combustion interne
Tiges de métal et parois
d’un babyfoot
22
7. Liaison glissière
• Cette liaison est du type cylindre à base non circulaire dans un
cylindre identique. La surface de contact entre les deux solides
est la surface du cylindre
• Le torseur cinématique (en O) de cette liaison est de la forme :
{V(S2 /S1 )} =
0
Vx
0 0
0 0
O
Exemple
23
Analyse des mécanismes
• Nous allons maintenant nous intéresser à des systèmes de solides
en liaison les uns avec les autres par des liaisons sans frottement
(liaisons parfaites). Les solides sont indéformables
• L’objectif est à la fois d’étudier la cinématique d’un mécanisme
(relation entrée/sortie) et les actions mécaniques entre les solides
du système
• Chaque solide étant en contact avec un ou plusieurs autres,
on retrouvera une des liaisons élémentaires pour chaque
liaison entre deux solides. On pourra donc tracer un graphe,
dit le graphe des liaisons
L12
Exemple de graphe
des liaisons
S1
Nœud du graphe: solide
S2
Arête du graphe: type de liaison
L13
S3
24
Analyse des mécanismes
Selon les cas nous avons différentes situations :
1 - Liaison fermée
Le schéma ci-dessous représente un réducteur simple. Le solide 1 est
en liaison pivot glissant avec le solide 0 de même que le solide 2 avec 0
On peut faire l’hypothèse d’un contact
ponctuel entre 1 et 2 ce qui permet de
tracer le graphe des liaisons
suivant:
lias. pivot
lias. pivot
0
25
Analyse des mécanismes
2 - Liaison ouverte
Dans certains cas – les robots industriels par exemple – il y a des bras
articulés qui se promènent dans l’espace
Par exemple le robot en figure:
Le graphe des liaisons est :
rotule
rotule
26
Analyse des mécanismes
Chaîne ouverte
• Dans le cas d’une chaîne dite ouverte (comme dans un robot manipulateur)
on a n + 1 solides en liaisons les uns par rapport aux autres, chaque solide i
étant en contact avec i − 1 et i + 1
• On considère que le bâti est noté 0. Il y a donc
n liaisons entre les solides
• On suppose généralement que les efforts extérieurs sont appliqués au
dernier solide de la chaîne (l’outil du manipulateur)
27
Analyse des mécanismes
Chaîne ouverte
• Par composition des mouvements, on peut écrire que :
{V(n/0)} =
n
{V(i/n − i)}
i=1
• Nous aurons donc 6 équations scalaires pour un nombre Nc d’inconnues
cinématiques indépendantes (la somme des inconnues de chaque torseur
cinématique). Nc s’appele le degré de mobilité de la chaîne
28
Analyse des mécanismes
3 - Liaison “complexe”
Dans la majorité des cas on trouve une combinaison des assemblages
précédents
Exemple de liaison complexe: train épicyloïdal (5 solides)
29
Analyse des mécanismes
3 - Liaison “complexe”
Dans la majorité des cas on trouve une combinaison des assemblages
précédents
Lias. rotule
Mur
Barre métallique
Lias. pivot
Lias. rotule
Exemple: portique
30
Analyse des mécanismes
3 - Liaison “complexe”
Nous savons que les liaisons sont
de type rotule en A et B, donc:
{V(2/0)} =
Graphe des liaisons
du portique
Ωx
0
Ωy
0
Ωz
0
A
De la même façon nous avons:
{V(2/0)} =
Ωx
0
Ωy
0
Ωz
0
B
31
Plan du cours
Chapitre 1: Cinématique du solide
1. Définition d’un solide indéformable
2. Vitesse et accélération des points d’un solide
3. Torseur cinématique
4. Types de liaisons et études de cas
θ
Chapitre 2: Cinétique et dynamique des systèmes de solides
1. Torseur cinétique
2. Opérateur d’inertie
3. Torseur dynamique et Principe Fondamental de la Dynamique
4. Études de cas: efforts sur les préhenseurs, couple moteur, liaison
des robots au sol pour les cellules de soudage [TD]
32
Quantité de mouvement
Pour un point matériel M de masse élémentaire dm la quantité
de mouvement associée au mouvement de ce point par rapport
à un repère R est :
M
(M/R) dm
p(M/R) = V
dm
R
Pour un système matériel continu S on a à un instant t
quelconque :
p(S/R) =
∀ M ∈S
(M/R) dm
V
Si le solide est homogène de masse volumique ρ (resp. surfacique
ou linéique) on a:
p(S/R) =
∀ M ∈S
(M/R) ρ dν
V
Élément de matière
infinitésimal autour
du point M
Remarque: La quantité de mouvement étant calculée à partir du
vecteur vitesse, elle dépend du repère par rapport auquel on travaille
33
Moment cinétique
M
Définition:
On appelle moment cinétique au point A la quantité :
σ (A, S/R) =
∀ M ∈S
−−→ AM ∧ V (M/R) dm
dm
A
R
Remarque: Le moment cinétique dépend lui aussi du repère par
rapport auquel on travaille. Le point A de calcul de ce moment est
un point quelconque, pas nécessairement appartenant au solide S
Propriété:
On montre aisément la relation caractéristique d’un torseur :
−−→
σ (B, S/R) = σ (A, S/R) + p(S/R) ∧ AB
Remarque: rappel la relation de Varignon …
−−→
V (B ∈ S/R) = V (A ∈ S/R) + Ω(S/R) ∧ AB
34
Torseur cinétique
On peut donc en conclure qu’il existe un torseur appelé
torseur cinétique de S par rapport à R qui est noté :
{C(A, S/R)} =
⎧
⎨
⎩
p(S/R) =
σA (S/R) =
∀ M ∈S
∀ M ∈S
(M/R) dm
V
⎫
⎬
−−→ ⎭
AM ∧ V (M/R) dm A
Remarque:
Comme pour tous les torseurs son expression varie selon le point
où il est calculé. En particulier on peut décider de le calculer au
point G, le centre de masse du solide S
En utilisant le principe de conservation de la masse, on trouve:
⎧
⎫
⎨
⎬
MS V (G/R)
{C(G, S/R)} =
−−→ ⎩ ⎭
GM
∧
V
(M/R)
dm
∀ M ∈S
G
où MS est la masse totale du solide S
35
Torseur cinétique
Exemple: calcul du torseur cinétique d’une barre
Considérer une barre d’épaisseur négligeable, de longueur l,
homogène de masse m en liaison pivot d’axe z avec le bâti.
On utilise la lettre M pour indiquer un point générique de la barre.
Question: calculer le torseur cinétique au centre de gravité G
de la barre
y1
z
x1
dx1
M
y
x1
x
36
y1
Torseur cinétique
z
Exemple: torseur cinétique d’une barre
x1
−−→
Le vecteur position OG vaut
ce qui donne:
dx1
−−→
1
OG = x1
2
M
y
x1
x
l
V (G/R) = α̇ y1
2
Pour calculer le moment cinétique, il faut prendre un petit élément
de longueur dx1 situé à une distance x1 de G. L’élément de masse dm
vaut (m/l)dx1, donc:
∀ M ∈S
−−→ GM ∧ V (M/R) dm =
l
0
(x1 − l/2) x1 ∧ x1 α̇ y1 dm
m
=
α̇ z
l
l
0
m l2
α̇ z
(x1 − l/2) x1 dx1 =
12
37
Torseur cinétique
Exemple: torseur cinétique d’une barre
Donc le torseur cinétique au point G se résume à:
⎧
ml
⎪
⎪
⎨ 2 α̇ y1
{C(G, S/R)} =
2
⎪
m
l
⎪
⎩
α̇ z
12
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
y1
G
z
x1
dx1
M
y
x1
x
38
Energie cinétique
S
M
Définition:
L’énergie cinétique T d’un système matériel S
en mouvement par rapport à R est donnée par:
T (S/R) =
1
2
R
∀ M ∈S
2 (M/R) dm
V
O
Exemple:
L’énergie cinétique d’une barre en rotation par rapport à O:
1
T (barre/R) =
2
2 (M/R) dm = 1
V
2
∀ M ∈barre
l
0
m
m l2 2
2
(u α̇ x1 ) du =
α̇
l
6
39
Moments d’inertie
Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe
Soit un système matériel S. Son moment d’inertie par rapport
à une droite Δ est donné par:
IΔ =
∀ M ∈S
HM 2 dm
Δ
S
Dans cette expression le point H
correspond à la projection orthogonale
de M sur la droite Δ
Donc H M représente la distance
entre le point M et la droite
u
40
Moments d’inertie
Moment d’inertie d’un solide par rapport à un plan
Soit un système matériel S. Son moment d’inertie par rapport
à un plan P est donné par:
IP =
∀ M ∈S
HM 2 dm
Dans cette expression le point H correspond à la projection
orthogonale de M sur le plan P.
Donc H M représente la distance entre le point M et le plan P.
Lorsque l’on effectue l’intégration, pour M donné le point H
l’est aussi mais comme M varie lors de l’intégration, H varie aussi
41
Plan du cours
Chapitre 1: Cinématique du solide
1. Définition d’un solide indéformable
2. Vitesse et accélération des points d’un solide
3. Torseur cinématique
4. Types de liaisons et études de cas
θ
Chapitre 2: Cinétique et dynamique des systèmes de solides
1. Torseur cinétique
2. Opérateur d’inertie
3. Torseur dynamique et Principe Fondamental de la Dynamique
4. Études de cas: efforts sur les préhenseurs, couple moteur, liaison
des robots au sol pour les cellules de soudage [TD]
42
S
Torseur dynamique
On définit le torseur dynamique au point A d’un système
matériel S en mouvement par rapport à un repère R par :
{D(A, S/R)} =
⎧
⎨
Quantité d'accélération
∀ M ∈S
Γ(M/R) dm
⎫
⎬
M
A
R
−−→
⎩ ⎭
δA (S/R) = ∀ M ∈S AM ∧ Γ(M/R) dm A
Moment dynamique par rapport à A
Rélation entre le torseur cinétique et dynamique
Les deux torseurs sont construits de la même manière avec dans l’un
les vitesses et dans le second les accélérations. Il est logique de voir si
il n’existe pas des relations de dérivation entre les deux. En effet, nous
trouvons que (G = centre de masse du solide; MS = masse du solide):
∀ M ∈S
−−→ d
V(A/R)
V(G/R)
[σA (S/R)]R + M
mSV
AM ∧ Γ(M/R) dm = δA (S/R) =
(A/R)∧∧V
(G/R)
dt
Moment cinétique par rapport à A
Zero, si A = G
43
Principe fondamental de la dynamique (PFD)
• Le PFD est dû à Newton (“deuxième loi de Newton”).
Il énonce une relation entre les causes (les actions
mécaniques) et les effets (le mouvement caractérisé
l’accélération et non la vitesse)
• Il existe des référentiels privilégiés dits galiléens (Rg ) dans
lesquels le mouvement d’un point matériel isolé est rectiligne
uniforme: ceci constitue le principe d’inertie
par
Isaac Newton
(1642-1727)
• Galilée (G. Galilei): Tout corps persévère dans l’état de repos
ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve
à moins que quelque force n’agisse sur lui et ne le contraigne
à changer d’état
• Pour le monde grec (Aristote) au contraire le mouvement devait
s’arrêter dès que cessaient la cause qui lui avait donné naissance
• Assumption: Nous nous intéressons à des systèmes n’échangeant pas
de matière avec l’extérieur: ce sont des systèmes dits isolé (ou fermés)
44
Principe fondamental de la dynamique (PFD)
Énoncé général (PFD en rotation)
Le moment dynamique par rapport à un point A donné d'un corps
S dans un référentiel galiléen Rg est proportionnel à la somme des
moments des forces qu'il subit exprimés au point A
Ceci s’écrit:
δA (S/Rg ) =
n
A (Fi )
M
i=1
A (Fi ) est le moment de la force F
i par rapport à A
où M
L'expression se simplifie si l'on considère le moment par rapport au
centre de masse G, ou bien par rapport à un point géométrique A
fixe dans le référentiel galiléen
Remarque: On peut résumer le PFD en rotation et en translation
avec deux torseurs. Le torseur dynamique {D(A, S/Rg )} et le "torseur
d'action” (qui nous n’avons pas étudié dans ce cours)
45
Département EEA, UPJV : 33 rue Saint-Leu, 80039 Amiens (2o étage)
Parking
Accès au dépt. EEA
46