Dynamique des solides
GMP2 - Énergie cinétique
-
1. Définitions
L’énergie cinétique élémentaire correspondant à un élément dm, centré sur P(Σ), et dont la vitesse par rapport à
un repère Galiléen R0est égale à ~
Va(P), est définie par :
dEc=1
2~
V2
a(P).dmPar sommation sur le solide (Σ), on obtient
Ec=1
2ZΣ
~
V2
a(P) dmunité SI : Kg.m2.s2
L’unité de l’énergie cinétique est à comparer à celle du travail d’une force :
par définition, le travail d’une force ~
Fdurant le déplacement d’un point Aà un point Best donné par la relation :
WAB=~
F .
AB. L’unité du travail correspond donc à une distance multipliée par une force, soit : Newton x mètre.
Sachant qu’1 Newton = 1 Kg.m.s2(penser à la relation ~
P=m.~g), le travail a donc la dimension, en unités MKSA :
Kg.m.s2.m. Conclusion : c’est la même dimension pour l’énergie cinétique.
2. Calcul de l’énergie cinétique
2.1. Cas du mouvement d’un solide (S) autour d’un point O fixe par rapport à R0
Nous avons déjà vu que ~
VPΣ/0=~
VOΣ/0+
P O ~
Σ/0=
P O ~
Σ/0=~
Σ/0
OP
donc l’énergie cinétique peut s’écrire :
Ec/0) = 1
2ZΣ
~
V2
a(P) dm=1
2ZΣ~
Σ/0
OP 2
dm
=1
2ZΣ~
Σ/0
OP .~
Σ/0
OP dm
=1
2ZΣ~
Σ/0
OP ,~
Σ/0,
OP dmproduit mixte
=1
2ZΣ
~
Σ/0.
OP ~
Σ/0
OP dmdeux permutations circulaires
=1
2~
Σ/0.ZΣ
OP ~
Σ/0
OP dmoù on reconnait dans l’intégrale l’opérateur d’inertie
Bilan :
Ec/0) = 1
2~
Σ/0.~σO/0) Si le point O est fixe
1
2.2. Cas général
Considérons un système matériel (Σ) de masse Met de centre de masse G. Soit RG
0le repère "barycentrique" déduit
de R0par translation.
Quel que soit le point PΣ, nous pouvons écrire
~
Va(P) = ~
Va(G) + d0
dt
GP
la vitesse de Pest donc la somme de la vitesse d’entraînement (celle du centre de masse) et de la vitesse relative (le
terme d0
dt
GP caractéristique des effets de rotations du solide).
Sachant que
~
Va(G) + d0
dt
GP 2
=~
Va(G)2+d0
dt
GP 2
+ 2.~
Va(G).d0
dt
GP
On peut ré-écrire l’énergie cinétique, en partant de la définition, avec cette dernière relation
Ec/0) = 1
2ZΣ
~
V2
a(P) dm=1
2ZΣ
~
Va(G)2dm+1
2ZΣd0
dt
GP 2
dm+1
2ZΣ
~
Va(G).d0
dt
GP dm
avec
1
2ZΣ
~
Va(G)2dm=1
2M.~
Va(G)2
1
2ZΣ
~
Va(G).d0
dt
GP dm=1
2~
Va(G).ZΣ
d0
dt
GP dm=~
0par définition du centre de gravité
dans le cas d’un seul solide noté Σ:d0
dt
GP =dΣ
dt
GP +~
Σ/0
GP avec d0
dt
GP =dΣ
dt
GP =~
0car G
et PΣ
Bilan :
Ec/0) = 1
2M.~
Va(G)2+1
2ZΣ~
Σ/0
GP .~
Σ/0
GP dm
En identifiant au cas du solide tournant autour d’un point fixe, il vient
Ec/0) = 1
2M.~
Va(G)2+1
2~
Σ/0.~σG/0) Troisième théorème de Koënig
2.3. Autre forme
Si on considère les deux torseurs suivants dans une même base de projection :
le torseur cinématique {VΣ/0}=Gn~
Σ/0;~
VGΣ/0o
le torseur cinétique {CΣ/0}=Gn~
Rc/0); ~σG/0)o
On peut écrire
Ec/0) = 1
2{VΣ/0}∗{CΣ/0}comoment des torseurs cinétique et cinématique
Le comoment étant un invariant scalaire, la formule précédente est valable en Get donc en tout point du solide (Σ).
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