Énergie cinétique

Dynamique des solides
GMP2 - Énergie cinétique
-
1. Définitions
L’énergie cinétique élémentaire correspondant à un élément dm, centré sur P ∈ (Σ), et dont la vitesse par rapport à
~a (P ), est définie par :
un repère Galiléen R0 est égale à V
1~2
V (P ).dm Par sommation sur le solide (Σ), on obtient
2 a
Z
1
~ 2 (P ) dm unité SI : Kg.m2 .s−2
Ec =
V
2 Σ a
dEc =
L’unité de l’énergie cinétique est à comparer à celle du travail d’une force :
par définition, le travail d’une force F~ durant le déplacement d’un point A à un point B est donné par la relation :
−−→
WA−→B = F~ .AB. L’unité du travail correspond donc à une distance multipliée par une force, soit : Newton x mètre.
Sachant qu’1 Newton = 1 Kg.m.s−2 (penser à la relation P~ = m.~g), le travail a donc la dimension, en unités MKSA :
Kg.m.s−2 .m. Conclusion : c’est la même dimension pour l’énergie cinétique.
2. Calcul de l’énergie cinétique
2.1. Cas du mouvement d’un solide (S) autour d’un point O fixe par rapport à R0
−→ ~
−−→ ~
−−→
~P ∈Σ/0 = V
~O∈Σ/0 + −
~
Nous avons déjà vu que V
PO ∧ Ω
Σ/0 = P O ∧ ΩΣ/0 = ΩΣ/0 ∧ OP
donc l’énergie cinétique peut s’écrire :
1
Ec (Σ/0) =
2
Z −→2
1
2
~ Σ/0 ∧ −
~
Ω
OP
dm
Va (P ) dm =
2 Σ
Σ
Z −→ ~
−−→
1
~ Σ/0 ∧ −
Ω
OP . Ω
dm
=
Σ/0 ∧ OP
2 Σ
Z −→ ~
−−→
1
~ Σ/0 ∧ −
=
Ω
OP , Ω
,
dm produit mixte
Σ/0 OP
2 Σ
Z
−→
1
−→
~ Σ/0 . −
~ Σ/0 ∧ −
=
Ω
OP ∧ Ω
OP dm deux permutations circulaires
2 Σ
Z −−→ ~
−−→
1~
OP ∧ ΩΣ/0 ∧ OP dm où on reconnait dans l’intégrale l’opérateur d’inertie
.
= Ω
Σ/0
2
Σ
Z
Bilan :
Ec (Σ/0) =
1~
ΩΣ/0 .~σO (Σ/0) Si le point O est fixe
2
1
2.2. Cas général
Considérons un système matériel (Σ) de masse M et de centre de masse G. Soit R0G le repère "barycentrique" déduit
de R0 par translation.
Quel que soit le point P ∈ Σ, nous pouvons écrire
0 −
→
~a (P ) = V
~a (G) + d −
GP
V
dt
la vitesse de P est donc la somme de la vitesse d’entraînement (celle du centre de masse) et de la vitesse relative (le
d0 −−→
terme GP caractéristique des effets de rotations du solide).
dt
Sachant que
2
2
0
0 −
→
d0 −−→
d −−→
2
~
~
~a (G). d −
Va (G) + GP
GP
GP
= Va (G) +
+ 2.V
dt
dt
dt
On peut ré-écrire l’énergie cinétique, en partant de la définition, avec cette dernière relation
1
Ec (Σ/0) =
2
~ 2 (P ) dm = 1
V
a
2
Σ
Z
1
V~a (G)2 dm +
2
Σ
Z
Z Σ
2
Z
0 −
→
d0 −−→
1
~a (G). d −
GP
GP dm
dm +
V
dt
2 Σ
dt
avec
1
•
2
~a (G)2
~a (G)2 dm = 1 M.V
V
2
Σ
Z 0
Z
1
1~
d −−→
d0 −−→
~
•
GP dm = ~0 par définition du centre de gravité
Va (G). GP dm = Va (G).
2 Σ
dt
2
Σ dt
Σ
0
0
−−→
dΣ −−→ ~
d −−→
d −−→
d −−→
~
GP =
GP + ΩΣ/0 ∧ GP avec
GP =
GP = 0 car G
• dans le cas d’un seul solide noté Σ :
dt
dt
dt
dt
et P ∈ Σ
Z
Bilan :
Z −→ ~
−−→
1 ~
1
2
~ Σ/0 ∧ −
Ec (Σ/0) = M.Va (G) +
Ω
GP . Ω
dm
Σ/0 ∧ GP
2
2 Σ
En identifiant au cas du solide tournant autour d’un point fixe, il vient
Ec (Σ/0) =
1~
1 ~
σG (Σ/0)
M.Va (G)2 + Ω
Σ/0 .~
2
2
Troisième théorème de Koënig
2.3. Autre forme
Si on considère les deux torseurs suivants dans une même base de projection :
n
o
~ Σ/0 ; V
~G∈Σ/0
• le torseur cinématique {VΣ /0} =G Ω
n
o
~ c (Σ/0); ~σG (Σ/0)
• le torseur cinétique {CΣ /0} =G R
On peut écrire
1
Ec (Σ/0) = {VΣ /0} ∗ {CΣ /0} comoment des torseurs cinétique et cinématique
2
Le comoment étant un invariant scalaire, la formule précédente est valable en G et donc en tout point du solide (Σ).
2