Dynamique des solides
GMP2 - Énergie cinétique
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1. Définitions
L’énergie cinétique élémentaire correspondant à un élément dm, centré sur P∈(Σ), et dont la vitesse par rapport à
un repère Galiléen R0est égale à ~
Va(P), est définie par :
dEc=1
2~
V2
a(P).dmPar sommation sur le solide (Σ), on obtient
Ec=1
2ZΣ
~
V2
a(P) dmunité SI : Kg.m2.s−2
L’unité de l’énergie cinétique est à comparer à celle du travail d’une force :
par définition, le travail d’une force ~
Fdurant le déplacement d’un point Aà un point Best donné par la relation :
WA−→B=~
F .−−→
AB. L’unité du travail correspond donc à une distance multipliée par une force, soit : Newton x mètre.
Sachant qu’1 Newton = 1 Kg.m.s−2(penser à la relation ~
P=m.~g), le travail a donc la dimension, en unités MKSA :
Kg.m.s−2.m. Conclusion : c’est la même dimension pour l’énergie cinétique.
2. Calcul de l’énergie cinétique
2.1. Cas du mouvement d’un solide (S) autour d’un point O fixe par rapport à R0
Nous avons déjà vu que ~
VP∈Σ/0=~
VO∈Σ/0+−−→
P O ∧~
ΩΣ/0=−−→
P O ∧~
ΩΣ/0=~
ΩΣ/0∧−−→
OP
donc l’énergie cinétique peut s’écrire :
Ec(Σ/0) = 1
2ZΣ
~
V2
a(P) dm=1
2ZΣ~
ΩΣ/0∧−−→
OP 2
dm
=1
2ZΣ~
ΩΣ/0∧−−→
OP .~
ΩΣ/0∧−−→
OP dm
=1
2ZΣ~
ΩΣ/0∧−−→
OP ,~
ΩΣ/0,−−→
OP dmproduit mixte
=1
2ZΣ
~
ΩΣ/0.−−→
OP ∧~
ΩΣ/0∧−−→
OP dmdeux permutations circulaires
=1
2~
ΩΣ/0.ZΣ−−→
OP ∧~
ΩΣ/0∧−−→
OP dmoù on reconnait dans l’intégrale l’opérateur d’inertie
Bilan :
Ec(Σ/0) = 1
2~
ΩΣ/0.~σO(Σ/0) Si le point O est fixe
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