Énergie cinétique

Dynamique des solides
GMP2 - Énergie cinétique
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1. Définitions
L’énergie cinétique élémentaire correspondant à un élément dm, centré sur P∈(Σ), et dont la vitesse par rapport à
un repère Galiléen R0est égale à ~ Va(P), est définie par :
dEc=1
2~
V2
a(P).dmPar sommation sur le solide (Σ), on obtient
Ec=1
2ZΣ
~
V2
a(P) dmunité SI : Kg.m2.s−2
L’unité de l’énergie cinétique est à comparer à celle du travail d’une force :
par définition, le travail d’une force ~ Fdurant le déplacement d’un point Aà un point Best donné par la relation :
WA−→B=~ F .−−→ AB. L’unité du travail correspond donc à une distance multipliée par une force, soit : Newton x mètre.
Sachant qu’1 Newton = 1 Kg.m.s−2(penser à la relation ~ P=m.~g), le travail a donc la dimension, en unités MKSA :
Kg.m.s−2.m. Conclusion : c’est la même dimension pour l’énergie cinétique.
2. Calcul de l’énergie cinétique
2.1. Cas du mouvement d’un solide (S) autour d’un point O fixe par rapport à R0
Nous avons déjà vu que ~ VP∈Σ/0=~ VO∈Σ/0+−−→ P O ∧~ ΩΣ/0=−−→ P O ∧~ ΩΣ/0=~ ΩΣ/0∧−−→ OP
donc l’énergie cinétique peut s’écrire :
Ec(Σ/0) = 1
2ZΣ
~
V2
a(P) dm=1
2ZΣ~
ΩΣ/0∧−−→ OP 2
dm
=1
2ZΣ~
ΩΣ/0∧−−→ OP .~
ΩΣ/0∧−−→ OP dm
=1
2ZΣ~
ΩΣ/0∧−−→ OP ,~ ΩΣ/0,−−→ OP dmproduit mixte
=1
2ZΣ
~
ΩΣ/0.−−→
OP ∧~ ΩΣ/0∧−−→ OP dmdeux permutations circulaires
=1
2~
ΩΣ/0.ZΣ−−→
OP ∧~ ΩΣ/0∧−−→ OP dmoù on reconnait dans l’intégrale l’opérateur d’inertie
Bilan :
Ec(Σ/0) = 1
2~
ΩΣ/0.~σO(Σ/0) Si le point O est fixe
1

2.2. Cas général
Considérons un système matériel (Σ) de masse Met de centre de masse G. Soit RG
0le repère "barycentrique" déduit
de R0par translation.
Quel que soit le point P∈Σ, nous pouvons écrire
~
Va(P) = ~ Va(G) + d0
dt
−−→
GP
la vitesse de Pest donc la somme de la vitesse d’entraînement (celle du centre de masse) et de la vitesse relative (le
terme d0
dt
−−→
GP caractéristique des effets de rotations du solide).
Sachant que
~
Va(G) + d0
dt
−−→
GP 2
=~ Va(G)2+d0
dt
−−→
GP 2
+ 2.~ Va(G).d0
dt
−−→
GP
On peut ré-écrire l’énergie cinétique, en partant de la définition, avec cette dernière relation
Ec(Σ/0) = 1
2ZΣ
~
V2
a(P) dm=1
2ZΣ
~
Va(G)2dm+1
2ZΣd0 dt
−−→
GP 2
dm+1
2ZΣ
~
Va(G).d0
dt
−−→
GP dm
avec
•1
2ZΣ
~
Va(G)2dm=1
2M.~
Va(G)2
•1
2ZΣ
~
Va(G).d0
dt
−−→
GP dm=1
2~
Va(G).ZΣ
d0
dt
−−→
GP dm=~ 0par définition du centre de gravité
•dans le cas d’un seul solide noté Σ:d0
dt
−−→
GP =dΣ
dt
−−→
GP +~ ΩΣ/0∧−−→ GP avec d0
dt
−−→
GP =dΣ
dt
−−→
GP =~ 0car G
et P∈Σ
Bilan :
Ec(Σ/0) = 1
2M.~
Va(G)2+1
2ZΣ~
ΩΣ/0∧−−→ GP .~
ΩΣ/0∧−−→ GP dm
En identifiant au cas du solide tournant autour d’un point fixe, il vient
Ec(Σ/0) = 1
2M.~
Va(G)2+1
2~
ΩΣ/0.~σG(Σ/0) Troisième théorème de Koënig
2.3. Autre forme
Si on considère les deux torseurs suivants dans une même base de projection :
•le torseur cinématique {VΣ/0}=Gn~
ΩΣ/0;~ VG∈Σ/0o
•le torseur cinétique {CΣ/0}=Gn~
Rc(Σ/0); ~σG(Σ/0)o
On peut écrire
Ec(Σ/0) = 1
2{VΣ/0}∗{CΣ/0}comoment des torseurs cinétique et cinématique
Le comoment étant un invariant scalaire, la formule précédente est valable en Get donc en tout point du solide (Σ).
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