Probabilités Expérience aléatoire : Evènement :
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Probabilités Domaine des mathématiques qui étudie le « hasard » Expérience aléatoire : Expérience qui peut avoir plusieurs résultats possibles (issues). On ne peut pas prévoir à l’avance quel sera le résultat. Exemple : Jeu de « pile ou face » = c’est une expérience aléatoire qui possède 2 issues : issue « pile », issue « face ». Lancer de dé = c’est une expérience aléatoire qui possède 6 issues : issue « 1 », issue « 2 », issue « 3 », issue « 4 », issue « 5 », issue « 6 ». Evènement : Possibilité d’avoir une ou plusieurs issues. Ensemble de ces résultats. Exemple : Lancer de dé = Si je prends comme évènement « obtenir 1 » « obtenir 1 » c’est l’évènement qui correspond à obtenir l’issue « 1 ». Si je prends comme évènement « obtenir un nombre pair » « obtenir un nombre pair » sur un dé à 6 faces c’est l’évènement qui correspond à obtenir les issues « 2 », « 4 » et « 6 ». Un évènement A est impossible lorsque p(A) = 0 Il n’y a aucune chance pour qu’il se réalise. Exemple : Lancer de dé = Si je prends comme évènement A « obtenir 7 » Je n’ai aucune chance d’obtenir 7, donc c’est un évènement impossible. p(A) = 0 Un évènement B est certain lorsque p(B) = 1 Cet évènement se réalisera forcément. Exemple : Lancer de dé = Si je prends comme évènement B « obtenir un résultat entre 1 et 6 » Cet évènement est certain car il va nécessairement se réaliser dès le lancer le dé. Natacha - CRPE 2016 Probabilités Probabilité : Sert à mesurer le nombre de « chances » d’obtenir une ou plusieurs issues. Il s’agit d’un quotient qui détermine la « chance » qu’un évènement a de se produire. C’est la probabilité de l’évènement. PROPRIETE 1 La probabilité d’un évènement est égale au quotient : 𝐍𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝐫é𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐭𝐬 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 à 𝐥𝐚 𝐫é𝐚𝐥𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥′é𝐯è𝐧𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐍𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝐫é𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐭𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬 . Exemple : Jeu de « pile ou face » = j’ai 2 résultats possibles. Je prends l’évènement F = « obtenir « face » (correspond à l’issue « face ») Je calcule la probabilité d’obtenir « face » : - on a une chance sur deux d’obtenir le côté « pile » - on a une chance sur deux d’obtenir le côté « face » La probabilité d’obtenir « face » est donc de 1 sur 2 donc p(F) = 𝟏 𝟐 PROPRIETE 2 La probabilité d’un évènement est toujours comprise entre 0 et 1. PROPRIETE 3 La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1. Exemple : Jeu de « pile ou face » = Probabilité d’obtenir « pile » = p(F) = Probabilité d’obtenir « face » = p(F’) 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 Donc la somme des probabilités p(F) + p(F’) = Lancer de dé = 𝟏 𝟔 𝟏 = 𝟔 𝟏 = 𝟔 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 =1 Probabilité d’obtenir « 1 » = p(F) = Probabilité d’obtenir « 2 » = p(G) Probabilité d’obtenir « 3 » = p(H) etc. …….. Donc la somme des probabilités p(F) + p(G) +… p(K) =6 X ( Natacha - CRPE 2016 𝟏 𝟔 )=1 Probabilités PROPRIETE 4 L’ évènement contraire à A est « non A » On a p(A) + p(non A) = 1 donc la probabilité de l’évènement contraire à A est = 1 – p(A) Exemple : Jeu de « pile ou face » = L’évènement contraire d’ « obtenir pile» est l’évènement « obtenir face ». Donc p(A) = 𝟏 𝟐 et p(non A) = 𝟏 𝟐 soit p(A) + p(non A ) = 1 Lancer de dé = Evènement A « obtenir 1 », soit p(A) = 𝟏 𝟔 Donc l’évènement non A (contraire de A) a 5 issues possibles qui réalisent l’évènement puisque le contraire d’ « obtenir 1 » sur un dé, c’est obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6, soit l’évènement non A = « obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6 ». Pour calculer la probabilité de non A = Calcul de la probabilité = 1 « obtenir 2 » + probabilité d’ « obtenir 3 » + … = 5 X 6 Utilisation de la propriété p(A) + p(non A) = 1 1 p(A) = + p(non A) = 1 6 Donc p(non A) =1 – p(A) soit 1 - Natacha - CRPE 2016 1 6 = 𝟓 𝟔 Probabilités
