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Localisation d’un épicentre
Arnaud BURTIN & Florence LÉVY
Octobre 2006
Introduction
Nous cherchons à déterminer la localisation épicentrale d’un événement sismique, en traitant
plusieurs aspects du problème :
– influence de la géométrie du réseau sismique,
– influence de l’incertitude sur les temps d’arrivée,
– cas où la vitesse des ondes est mal connue,
– cas où le temps origine de l’événement sismique est mal connu ou inconnu.
La situation de référence est la suivante. Le réseau sismique est constitué de six stations, dont les
coordonnées sont
(x1, y1) = (3 km,15 km) ; (x2, y2) = (3 km,16 km)
(x1, y1) = (3 km,15 km) ; (x2, y2) = (3 km,16 km)
(x3, y3) = (4 km,15 km) ; (x4, y4) = (4 km,16 km)
(x5, y5) = (5 km,15 km) ; (x6, y6) = (5 km,16 km) .
Les temps d’arrivée des ondes observés à ces stations sont
tobs
1= 3.12 s ±σ;tobs 2= 3.26 s ±σ
tobs
3= 2.98 s ±σ;tobs 4= 3.12 s ±σ
tobs
5= 2.84 s ±σ;tobs 6= 2.98 s ±σ ,
avec σ= 0.1 s. Ce sont en fait des gaussiennes d’écart-type σqui décrivent l’incertitude sur les me-
sures.
Le temps origine est supposé connu : l’événement sismique a lieu à T= 0 s. La vitesse des ondes
est également fixée, à V= 5 km/s.
Nous ne détaillerons pas la méthode de résolution du problème inverse, qui a été traitée en
cours.
Dans la situation de référence décrite ci-dessus, nous obtenons une densité de probabilité pour
la localisation du séisme en forme de croissant (Figure 1) : la distance entre le réseau sismique et
l’épicentre est donc relativement bien contrainte, mais pas son azimut. L’explication à cela est que
l’incertitude sur les temps d’arrivée des ondes (±0.1 s) est de l’ordre du temps mis par les ondes
pour parcourir les distances entre les différentes stations du réseau. Pour mieux contraindre l’azi-
mut de l’événement sismique, deux solutions sont envisageables : avoir une meilleure distribution
de stations (Paragraphe 1), ou réduire l’incertitude sur les temps d’arrivées (Paragraphe 2).
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FIG. 1 – Densité de probabilité de la localisation épicentrale : influence du nombre de stations et de leur distribution.
L’échelle de gris varie de 0 (blanc) à la valeur maximale de la densité de probabilité (noir). Figure du haut : un réseau
sismique de six stations. Figure du bas : deux réseaux sismiques de six stations.
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FIG. 2 – Densité de probabilité de la localisation épicentrale : influence de l’incertitude sur les temps d’arrivée aux
stations. L’échelle de gris varie de 0 (blanc) à la valeur maximale de la densité de probabilité (noir). Figure du haut :
incertitude sur les temps d’arrivée de 0.02 s. Figure du bas : incertitude sur les temps d’arrivée de 0.5 s.
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1 Influence de la géométrie du réseau sismique
On comprend aisément que rajouter des stations très proches du réseau existant n’apportera
pas une réponse efficace au problème de l’azimut mal contraint. Nous choisissons donc de placer
un réseau sismique à une dizaine de kilomètres de celui de référence (Figure 1). Les coordonnées
des nouvelles stations sont
(x7, y7) = (3 km,5 km) ; (x8, y8) = (3 km,6 km)
(x9, y9) = (4 km,5 km) ; (x10, y10) = (4 km,6 km)
(x11, y11) = (5 km,5 km) ; (x12, y12) = (5 km,6 km) ,
et les temps d’arrivées des ondes à ces stations
tobs
7= 3.12 s ±σ;tobs 8= 3.26 s ±σ
tobs
9= 2.98 s ±σ;tobs 10 = 3.12 s ±σ
tobs
11 = 2.84 s ±σ;tobs 12 = 2.98 s ±σ .
La valeur de σest la même que pour le réseau de référence, soit σ= 0.1 s. Le temps mis par
les ondes pour parcourir la distance entre les deux réseaux sismiques (∼2 s) étant très supérieure
à l’incertitude sur les temps d’arrivées (±0.1 s), nous pouvons grâce à nos deux réseaux réduire
considérablement l’incertitude sur l’azimut du séisme (Figure 1). La densité de probabilité sur la
localisation épicentrale n’est plus en forme de croissant : elle se limite à une petite tâche.
2 Influence de l’incertitude sur les temps d’arrivée
Nous considérons maintenant uniquement le réseau de stations de référence, mais faisons varier
l’incertitude sur les temps d’arrivée des ondes. Si σest divisé par cinq par rapport à sa valeur de
référence (i.e., σ= 0.02 s au lieu de 0.1 s), la localisation épicentrale est mieux contrainte, tant en
distance qu’en azimut (Figure 2). Si σest cinq fois plus fort que sa valeur de référence (i.e., σ= 0.5
s au lieu de 0.1 s), le contraire est observé (Figure 2). L’azimut est dans ce cas extrêmement mal
déterminé, car l’incertitude sur les temps d’arrivée est supérieure au temps mis par les ondes pour
aller d’une station à l’autre du réseau. La distance réseau-épicentre est aussi moins bien contrainte,
ce qui se comprend facilement.
3 Cas où la vitesse des ondes est mal connue
Nous nous replaçons dans la situation de référence, mais supposons que la vitesse est mal
connue. Trois paramètres doivent alors être déterminés : les coordonnées Xet Yde l’épicentre,
et la vitesse. Nous ne disposons pas d’informations a priori sur Xet Y. En revanche, la gamme
de valeurs en général prises par la vitesse dans la croûte est connue. Nous prenons donc une gaus-
sienne comme probabilité a priori sur la vitesse, autour d’une valeur moyenne de 5 km/s. La vitesse
étant un paramètre de Jeffreys, il est préférable de travailler en logarithme. Nous posons
v= ln V
Voavec Vo= 1 m/s .
Alors, l’information a priori s’écrit
ρM= 1 ×exp −(v−vo)2
2σ2
v,
et les temps calculés
ti
calc =p(X−xi)2+ (Y−yi)2
exp v.
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FIG. 3 – Cas où la vitesse des ondes est mal connue. À gauche, densité de probabilité de la localisation épicentrale.
L’échelle de gris varie de 0 (blanc) à la valeur maximale de la densité de probabilité (noir). À droite, probabilité marginale
sur la vitesse.
La densité de probabilité a posteriori σM(X, Y, v)est ensuite déterminée de façon classique.
Comme notre principal objectif est de localiser l’épicentre, nous calculons la probabilité marginale
MF E(X, Y ) = Z+∞
−∞
dv σM(X, Y, v).
L’intégration peut en fait être limitée à l’intervalle [vmin, vmax]. La figure 3 montre le résultat
obtenu. La conséquence de l’incertitude sur la vitesse est que la distance station-épicentre est dé-
sormais mal contrainte. Avons-nous amélioré la connaissance de la vitesse grâce à l’événement sis-
mique ? La réponse s’obtient en déterminant la probabilité marginale pour la vitesse
MF V (v) = Z+∞
−∞
dX Z+∞
−∞
dY σM(X, Y, v)
et en la représentant graphiquement (Figure 3). Nous notons que la valeur de la vitesse est en effet
mieux connnue maintenant.
4 Cas où le temps d’origine de l’événement sismique est mal connu ou
inconnu
La situation est ici celle de référence mais avec un temps origine de l’événement sismique mal
connu. La procédure à suivre est du même type que celle adoptée au paragraphe précédent. Deux
cas peuvent être envisagés. Dans l’un, nous disposons d’une information a priori sur le temps ori-
gine qui s’exprime, par exemple, par une gaussienne avec pour valeur moyenne To= 0 s et pour
écart-type σT= 0.2s. Alors,
ρM= 1 ×exp −(T−To)2
2σ2
T.
Dans l’autre cas, nous n’avons aucune connaissance a priori du temps origine :
ρM= 1 .
Les temps calculés s’écrivent
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