text pdf

Localisation d’un épicentre
Arnaud BURTIN & Florence LÉVY
Octobre 2006
Introduction
Nous cherchons à déterminer la localisation épicentrale d’un événement sismique, en traitant
plusieurs aspects du problème :
– influence de la géométrie du réseau sismique,
– influence de l’incertitude sur les temps d’arrivée,
– cas où la vitesse des ondes est mal connue,
– cas où le temps origine de l’événement sismique est mal connu ou inconnu.
La situation de référence est la suivante. Le réseau sismique est constitué de six stations, dont les
coordonnées sont
(x1 , y 1 ) = (3 km, 15 km)
;
(x2 , y 2 ) = (3 km, 16 km)
(x1 , y 1 ) = (3 km, 15 km)
;
(x2 , y 2 ) = (3 km, 16 km)
(x3 , y 3 ) = (4 km, 15 km)
;
(x4 , y 4 ) = (4 km, 16 km)
(x5 , y 5 ) = (5 km, 15 km)
;
(x6 , y 6 ) = (5 km, 16 km) .
Les temps d’arrivée des ondes observés à ces stations sont
tobs
1 = 3.12 s ± σ
;
tobs
2 = 3.26 s ± σ
tobs
3 = 2.98 s ± σ
;
tobs
4 = 3.12 s ± σ
tobs
5 = 2.84 s ± σ
;
tobs
6 = 2.98 s ± σ
,
avec σ= 0.1 s. Ce sont en fait des gaussiennes d’écart-type σ qui décrivent l’incertitude sur les mesures.
Le temps origine est supposé connu : l’événement sismique a lieu à T = 0 s. La vitesse des ondes
est également fixée, à V = 5 km/s.
Nous ne détaillerons pas la méthode de résolution du problème inverse, qui a été traitée en
cours.
Dans la situation de référence décrite ci-dessus, nous obtenons une densité de probabilité pour
la localisation du séisme en forme de croissant (Figure 1) : la distance entre le réseau sismique et
l’épicentre est donc relativement bien contrainte, mais pas son azimut. L’explication à cela est que
l’incertitude sur les temps d’arrivée des ondes (± 0.1 s) est de l’ordre du temps mis par les ondes
pour parcourir les distances entre les différentes stations du réseau. Pour mieux contraindre l’azimut de l’événement sismique, deux solutions sont envisageables : avoir une meilleure distribution
de stations (Paragraphe 1), ou réduire l’incertitude sur les temps d’arrivées (Paragraphe 2).
1
F IG . 1 – Densité de probabilité de la localisation épicentrale : influence du nombre de stations et de leur distribution.
L’échelle de gris varie de 0 (blanc) à la valeur maximale de la densité de probabilité (noir). Figure du haut : un réseau
sismique de six stations. Figure du bas : deux réseaux sismiques de six stations.
2
F IG . 2 – Densité de probabilité de la localisation épicentrale : influence de l’incertitude sur les temps d’arrivée aux
stations. L’échelle de gris varie de 0 (blanc) à la valeur maximale de la densité de probabilité (noir). Figure du haut :
incertitude sur les temps d’arrivée de 0.02 s. Figure du bas : incertitude sur les temps d’arrivée de 0.5 s.
3
1
Influence de la géométrie du réseau sismique
On comprend aisément que rajouter des stations très proches du réseau existant n’apportera
pas une réponse efficace au problème de l’azimut mal contraint. Nous choisissons donc de placer
un réseau sismique à une dizaine de kilomètres de celui de référence (Figure 1). Les coordonnées
des nouvelles stations sont
(x7 , y 7 ) = (3 km, 5 km)
;
(x8 , y 8 ) = (3 km, 6 km)
(x9 , y 9 ) = (4 km, 5 km)
;
(x10 , y 10 ) = (4 km, 6 km)
(x11 , y 11 ) = (5 km, 5 km)
;
(x12 , y 12 ) = (5 km, 6 km) ,
tobs
7 = 3.12 s ± σ
;
tobs
8 = 3.26 s ± σ
tobs
9 = 2.98 s ± σ
;
tobs
10 = 3.12 s ± σ
tobs
11 = 2.84 s ± σ
;
tobs
12 = 2.98 s ± σ
et les temps d’arrivées des ondes à ces stations
.
La valeur de σ est la même que pour le réseau de référence, soit σ = 0.1 s. Le temps mis par
les ondes pour parcourir la distance entre les deux réseaux sismiques (∼ 2 s) étant très supérieure
à l’incertitude sur les temps d’arrivées (± 0.1 s), nous pouvons grâce à nos deux réseaux réduire
considérablement l’incertitude sur l’azimut du séisme (Figure 1). La densité de probabilité sur la
localisation épicentrale n’est plus en forme de croissant : elle se limite à une petite tâche.
2
Influence de l’incertitude sur les temps d’arrivée
Nous considérons maintenant uniquement le réseau de stations de référence, mais faisons varier
l’incertitude sur les temps d’arrivée des ondes. Si σ est divisé par cinq par rapport à sa valeur de
référence (i.e., σ = 0.02 s au lieu de 0.1 s), la localisation épicentrale est mieux contrainte, tant en
distance qu’en azimut (Figure 2). Si σ est cinq fois plus fort que sa valeur de référence (i.e., σ = 0.5
s au lieu de 0.1 s), le contraire est observé (Figure 2). L’azimut est dans ce cas extrêmement mal
déterminé, car l’incertitude sur les temps d’arrivée est supérieure au temps mis par les ondes pour
aller d’une station à l’autre du réseau. La distance réseau-épicentre est aussi moins bien contrainte,
ce qui se comprend facilement.
3
Cas où la vitesse des ondes est mal connue
Nous nous replaçons dans la situation de référence, mais supposons que la vitesse est mal
connue. Trois paramètres doivent alors être déterminés : les coordonnées X et Y de l’épicentre,
et la vitesse. Nous ne disposons pas d’informations a priori sur X et Y . En revanche, la gamme
de valeurs en général prises par la vitesse dans la croûte est connue. Nous prenons donc une gaussienne comme probabilité a priori sur la vitesse, autour d’une valeur moyenne de 5 km/s. La vitesse
étant un paramètre de Jeffreys, il est préférable de travailler en logarithme. Nous posons
V
v = ln
avec Vo = 1 m/s .
Vo
Alors, l’information a priori s’écrit
(v − vo )2
= 1 × exp −
2σv2
ρM
,
et les temps calculés
p
ticalc
=
(X − xi )2 + (Y − yi )2
exp v
4
.
F IG . 3 – Cas où la vitesse des ondes est mal connue. À gauche, densité de probabilité de la localisation épicentrale.
L’échelle de gris varie de 0 (blanc) à la valeur maximale de la densité de probabilité (noir). À droite, probabilité marginale
sur la vitesse.
La densité de probabilité a posteriori σM (X, Y, v) est ensuite déterminée de façon classique.
Comme notre principal objectif est de localiser l’épicentre, nous calculons la probabilité marginale
Z
+∞
M F E(X, Y ) =
dv σM (X, Y, v) .
−∞
L’intégration peut en fait être limitée à l’intervalle [vmin , vmax ]. La figure 3 montre le résultat
obtenu. La conséquence de l’incertitude sur la vitesse est que la distance station-épicentre est désormais mal contrainte. Avons-nous amélioré la connaissance de la vitesse grâce à l’événement sismique ? La réponse s’obtient en déterminant la probabilité marginale pour la vitesse
Z
+∞
Z
+∞
dX
M F V (v) =
dY σM (X, Y, v)
−∞
−∞
et en la représentant graphiquement (Figure 3). Nous notons que la valeur de la vitesse est en effet
mieux connnue maintenant.
4
Cas où le temps d’origine de l’événement sismique est mal connu ou
inconnu
La situation est ici celle de référence mais avec un temps origine de l’événement sismique mal
connu. La procédure à suivre est du même type que celle adoptée au paragraphe précédent. Deux
cas peuvent être envisagés. Dans l’un, nous disposons d’une information a priori sur le temps origine qui s’exprime, par exemple, par une gaussienne avec pour valeur moyenne To = 0 s et pour
écart-type σT = 0.2 s. Alors,
(T − To )2
ρM = 1 × exp −
.
2σT2
Dans l’autre cas, nous n’avons aucune connaissance a priori du temps origine :
ρM = 1 .
Les temps calculés s’écrivent
5
F IG . 4 – Cas où le temps origine de l’événement sismique est mal connu (figures du haut) ou inconnu (figures du bas).
À gauche, densité de probabilité de la localisation épicentrale. L’échelle de gris varie de 0 (blanc) à la valeur maximale de
la densité de probabilité (noir). Le trait blanc tireté correspond à une distance de 2 km sur la figure du haut, 15 km sur
celle du bas. À droite, probabilité marginale sur le temps origine.
p
(X − xi )2 + (Y − yi )2
+T .
V
Nous calculons la densité de probabilité a posteriori σM (X, Y, T ), puis la probabilité marginale
Z +∞
M F E(X, Y ) =
dT σM (X, Y, T ) .
ticalc
=
−∞
La probabilité marginale pour le temps peut aussi être déterminée, afin d’établir si notre connaissance du temps origine s’est améliorée :
Z +∞
Z +∞
M F T (T ) =
dX
dY σM (X, Y, T ) .
−∞
−∞
La figure 4 montre les résultats obtenus dans les deux cas considérés. Lorsqu’une information
a priori est connue sur le temps origine, la densité de probabilité sur la localisation épicentrale
6
est en forme de croissant, comme pour la situation de référence. La distance épicentre-station est
cependant moins bien contrainte. L’incertitude sur cette distance est de l’ordre de 2 km, soit 2σT ×V ,
ce qui n’est pas surprenant. Dans le cas où nous ne disposons d’aucune information a priori sur
T , alors la distance épicentrale n’est pas du tout contrainte. L’incertitude sur cette distance est ici
d’une quinzaine de km, car nous avons testé des temps d’origine compris entre ∆T = ±1.5 s (donc
2 |∆T | × V = 15 km). Nous notons cependant que la connaissance du temps origine a pu être
améliorée : alors que nous n’avons entré aucune information a priori sur ce temps, la M F T (T )
présente un pic vers − 0.25 s.
Conclusion
Nous avons montré que pour contraindre efficacement l’azimut d’un séisme, une bonne distribution des stations sismiques est nécessaire, ainsi que des mesures des temps d’arrivées des ondes
les plus précises possible. Avoir une faible erreur sur les données permet aussi de réduire l’incertitude sur la distance épicentrale. Enfin, cette distance épicentrale sera d’autant mieux contrainte que
la vitesse des ondes et le temps origine du séisme seront bien connus.
Nous n’avons pas traité le cas où vitesse et temps origine sont tous deux indéterminés. Le principe est le même qu’aux paragraphes 3 et 4, mais la durée recquise pour le calcul est alors plus
importante.
Annexes
Codes Matlab joints :
1) epicenter.m
clear all; close all;
% Contrôle continu pour module de Problèmes Inverses
% Densité de Probabilité
% Arnaud Burtin & Florence Lévy
% --- Déclaration des configurations et paramètres
% Choix du calcul
%choix = ’V_fixe’; choix = char(choix); % Vitesse connue
choix = ’V_free’; choix = char(choix); % Vitesse mal connue
% Localisation des stations
% Coordonnées en km
X_sta = [3 3 4 4 5 5]; % extra stations 3 3 4 4 5 5
Y_sta = [15 16 15 16 15 16]; % extra stations 5 6 5 6 5 6
% Déclaration des temps observés en seconde
t_obs = [3.12 3.26 2.98 3.12 2.84 2.98]; % extra temps 3.12 3.26 2.98 3.12 2.84 2.98
%t_obs = [3.12 3.26 5 3.12 2.84 2.98]; % avec un temps erroné
% Erreur sur la mesure des temps
sigma = 0.1;
% Déclaration de la vitesse de propagation des ondes en km/s
% dans le cas où la vitesse est connue
if choix == ’V_fixe’;
V = 5;
end;
% dans le cas où la vitesse est mal connue
if choix == ’V_free’;
% Passage en log
v0 = 1.6;
v = [-0.5:0.01:3];
sv = 0.3;
Prior_v = exp(-((v-v0).^2)./(2*(sv^2))); % information a priori sur v (gaussienne)
7
end;
% Déclaration de l’espace en 2D (X,Y), coordonnées en km
X = [-0.5:0.1:20.5];
Y = [-0.5:0.1:20.5];
% ---------% -- Calcul des informations a priori
if choix == ’V_fixe’;
% pas d’information a priori sur la localisation
rho_M = 1;
% Hypothèse de la faille
%X0 = 10; sx=1;
%rho_M = exp(-((X-X0).^2)./(2*(sx^2)));
%rho_M = meshgrid(rho_M);
end;
if choix == ’V_free’;
% information a priori sur v seulement
rho_M = Prior_v;
end;
% ---------% -- Calcul des densités de probabilité selon les informations a proiri du problème
if choix == ’V_fixe’;
for i = 1:length(X);
for j = 1:length(Y);
t_calc = sqrt((X_sta-X(i)).^2+(Y_sta-Y(j)).^2)./V;
%rho_D(j,i) = 1.*exp(-1/2.*sum((t_calc-t_obs).^2)./(sigma.^2)); %
rho_D(j,i) = 1.*exp(-sum(abs(t_calc-t_obs))./sigma); % Laplacien
Gaussien
end;
end;
% Calcul de sigma a posteriori
sigma_M = 1.*rho_M.*rho_D;
% Plot de l’image
imagesc(X,Y,-sigma_M); axis(’xy’); colormap(bone);
hold on; ht=plot(X_sta,Y_sta,’vk’); set(ht,’MarkerFaceColor’,’k’);
xlabel(’Distance sur X (km)’); ylabel(’Distance sur Y (km)’);
axis(’equal’); xlim([X(1) X(length(X))]);
end;
% ---if choix == ’V_free’;
for i = 1:length(X); clc; disp([’Itération: ’ num2str(i) ’ / ’ num2str(length(X))])
for j = 1:length(Y);
for k = 1:length(v);
t_calc = sqrt((X_sta-X(i)).^2+(Y_sta-Y(j)).^2)./(exp(v(k)));
rho_D(j,i,k) = 1.*exp(-1/2.*sum((t_calc-t_obs).^2)./(sigma.^2)); % Gaussien
%rho_D(j,i,k) = 1.*exp(-sum(abs(t_calc-t_obs))./sigma); % Laplacien
8
end;
end;
end;
% Calcul de sigma a posteriori
for k = 1:length(v);
sigma_M(:,:,k) = rho_M(k).*rho_D(:,:,k);
end;
% Probabilité marginale sur V
sigma_M_margi_V = sum(sigma_M,3);
% Plot de l’image
figure;
imagesc(X,Y,-sigma_M_margi_V); axis(’xy’); colormap(bone);
hold on; ht=plot(X_sta,Y_sta,’vk’); set(ht,’MarkerFaceColor’,’k’);
xlabel(’Distance sur X (km)’); ylabel(’Distance sur Y (km)’);
axis(’equal’); xlim([X(1) X(length(X))]);
end;
% ----------
2) epicenter_T.m
clear all; close all;
% Contrôle continu pour module de Problèmes Inverses
% Densité de Probabilité
% Arnaud Burtin & Florence Lévy
% --- Déclaration des configurations et paramètres
% Localisation des stations
% Coordonnées en km
X_sta = [3 3 4 4 5 5]; % extra stations 10 20
Y_sta = [15 16 15 16 15 16]; % extra stations 4 0
% Déclaration des temps observés en seconde
t_obs = [3.12 3.26 2.98 3.12 2.84 2.98]; % extra temps 1 1.2
%t_obs = [3.12 3.26 5 3.12 2.84 2.98]; % avec un temps erroné
% Erreur sur la mesure des temps
sigma = 0.1;
% Déclaration de la vitesse de propagation des ondes en km/s
% dans le cas où la vitesse est connue
V = 5;
% Déclaration de l’espace en 2D (X,Y), coordonnées en km
X = [-0.5:0.1:20.5];
Y = [-0.5:0.1:20.5];
% Incertitude sur le temps origine
% en seconde
t0 = 0; st = 0.2;
t = [-1.5:0.02:1.5]; t=t’;
Prior_t = exp(-((t-t0).^2)./(2*(st^2)));
Prior_t = reshape(Prior_t,1,1,length(Prior_t));
% ---------% -- Calcul des informations a priori
9
% Dans le cas où l’on ne connait rien
%rho_M = 1;
% ---------% -- Calcul des densités de probabilité selon les informations a proiri du problème
% Dans le cas où l’on ne connait pas bien le temps origine
for i = 1:length(X); clc; disp([’Itération: ’ num2str(i) ’ / ’ num2str(length(X))])
for j = 1:length(Y);
for k = 1: length(t);
t_calc = sqrt((X_sta-X(i)).^2+(Y_sta-Y(j)).^2)./V+t(k);
%rho_D(j,i,k) = 1.*exp(-1/2.*sum((t_calc-t_obs).^2)./(sigma.^2)); %
rho_D(j,i,k) = 1.*exp(-sum(abs(t_calc-t_obs))./sigma); % Laplacien
Gaussien
end;
rho_D(j,i,:) = rho_D(j,i,:).*Prior_t; % En commentaire si pas d’info a priori sur T
end;
end;
% Calcul de sigma marginal
sigma_M_margi_t = sum(rho_D,3);
% Plot de l’image
figure;
imagesc(X,Y,-sigma_M_margi_t); axis(’xy’); colormap(bone);
hold on; ht=plot(X_sta,Y_sta,’vk’); set(ht,’MarkerFaceColor’,’k’);
xlabel(’Distance sur X (km)’); ylabel(’Distance sur Y (km)’);
axis(’equal’); xlim([X(1) X(length(X))]);
% ----------
10