Exercices sur Gauss, Bézout et nombres premiers

Exercices sur Gauss, Bézout et nombres premiers
Exercice 1 :
Partie 1 : Restitution organisée de connaissances
1. Enoncer le théorème de Bézout.
2. Enoncer le théorème de Gauss.
3. En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
4. p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Déduire du théorème de Gauss que si a est un entier relatif tel que    et    alors
  .
Partie 2 :
On se propose de déterminer l’ensemble E des entiers relatifs  tels que   
    .
1. Recherche d’éléments de E
(a) Montrer, en utilisant un théorème du cours, qu’il existe un couple d’entiers relatifs 
 tel
que :   . (On ne cherchera pas à donner un exemple numérique d’un tel couple pour le
moment)
(b) On pose  . Démontrer, en utilisant a), que  appartient à E.
(c) Préciser tous les couples  d’entiers tels que :    .
(d) Donner un exemple d’entier  appartenant à E.
2. Caractérisation des éléments de E
(a) Soit   . Démontrer que   .
(b) En déduire qu’un entier relatif  appartient à E si, et seulement si, il peut s’écrire sous la forme
   avec   .
3. Application
Arthur sait qu’il a entre 400 et 500 cartes de collection. S’il fait des tas de 17, il lui en reste 9 et s’il fait
des tas de 5, il lui en reste 3.
Combien a-t-il de cartes ?
Exercice 2 :
1. On considère l’équation (E) :    , où  et  sont des entiers relatifs.
(a) Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs  tels que :
   . Trouver un tel couple.
(b) En déduire une solution particulière de l’équation (E).
(c) Résoudre l’équation (E).
(d) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on considère la droite D d’équation
cartésienne     
On note  l’ensemble des points  du plan tels que      et     .
Déterminer le nombre de points de la droite D appartenant à l’ensemble  et dont les coordonnées
sont des nombres entiers.

2. On considère l’équation (F) :   , où et  sont des entiers relatifs.
(a) Démontrer que si le couple  est solution de (F), alors 
(b) Soient  et  des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :
Modulo 5, est congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5, est congru à
Modulo 5, est congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5, est congru à
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de  et de  par 5 ?
(c) En déduire que si le couple  est solution de (F), alors  et  sont des multiples de 5.
3. Démontrer que si  et  sont des multiples de 5, alors le couple  n’est pas solution de
l’équation (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?
Exercice 3 :
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 2013.
2) En déduire la décomposition en facteurs premiers de  et de 
Exercice 4 : Soit  un entier naturel non nul.
1) Etablir que l’équation (E) : ²²  où  et  sont des entiers relatifs n’a pas de
solutions.
2) On considère l’équation notée (F) : ²²  où  et  sont des entiers relatifs.
a) Montrer que   .
Démontrer que si  est solution de (F) alors ²  .
b) Compléter le tableau suivant :
Reste de la division euclidienne de par7 0 1 2 3 4 5 6
Reste de la division euclidienne de
² par7.
c) Démontrer que  est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7 (on pourra s’aider d’un tableau).
En déduire que l’équation (F) n’admet pas de solution.

Exercice 5 :
On considère l’algorithme suivant où   désigne la partie entière de .
et  sont des entiers naturels
Saisir 
 prend la valeur 1
Tant que   
Si   alors Afficher  et
Fin si
prend la valeur  
Fin Tant que.
1) Quels résultats affiche cet algorithme pour    ?
2) Que donne cet algorithme dans le cas général ?
3) Interpréter la 5
ème
ligne de l’algorithme.