Exercices sur Gauss, Bézout et nombres premiers

Exercices sur Gauss, Bézout et nombres premiers
Exercice 1 :
Partie 1 : Restitution organisée de connaissances
1.
2.
3.
4.
Enoncer le théorème de Bézout.
Enoncer le théorème de Gauss.
En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Déduire du théorème de Gauss que si a est un entier relatif tel que ≡ 0[] et ≡ 0[] alors
≡ 0[].
Partie 2 :
On se propose de déterminer l’ensemble E des entiers relatifs tels que ≡ 9[17]
.
≡ 3[5]
1. Recherche d’éléments de E
(a) Montrer, en utilisant un théorème du cours, qu’il existe un couple d’entiers relatifs , tel
que : 17 + 5 = 1. (On ne cherchera pas à donner un exemple numérique d’un tel couple pour le
moment)
(b) On pose = 17 × 3 + 9 × 5 . Démontrer, en utilisant a), que appartient à E.
(c) Préciser tous les couples , d’entiers tels que : 17 + 5 = 1.
(d) Donner un exemple d’entier appartenant à E.
2. Caractérisation des éléments de E
(a) Soit ∈ . Démontrer que − ≡ 0[85].
(b) En déduire qu’un entier relatif appartient à E si, et seulement si, il peut s’écrire sous la forme
= 43 + 85 avec ∈ ℤ.
3. Application
Arthur sait qu’il a entre 400 et 500 cartes de collection. S’il fait des tas de 17, il lui en reste 9 et s’il fait
des tas de 5, il lui en reste 3.
Combien a-t-il de cartes ?
Exercice 2 :
1. On considère l’équation (E) : 11 − 7! = 5, où et ! sont des entiers relatifs.
(a) Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs ; tels que :
11 − 7 = 1. Trouver un tel couple.
(b) En déduire une solution particulière de l’équation (E).
(c) Résoudre l’équation (E).
(d) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé #; $%, &%, on considère la droite D d’équation
cartésienne 11 − 7! − 5 = 0.
On note ( l’ensemble des points ) ; ! du plan tels que 0 ≤ ≤ 50 et 0 ≤ ! ≤ 50.
Déterminer le nombre de points de la droite D appartenant à l’ensemble ( et dont les coordonnées
sont des nombres entiers.
2. On considère l’équation (F) : 11
+
− 7! + = 5, où et ! sont des entiers relatifs.
(a) Démontrer que si le couple ; ! est solution de (F), alors
+
≡ 2! + [5].
(b) Soient et ! des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :
Modulo 5,
est congru à
Modulo 5,
+
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
est congru à
Modulo 5, ! est congru à
Modulo 5, 2! + est congru à
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de
(c) En déduire que si le couple ; ! est solution de (F), alors
+
et de 2! + par 5 ?
et ! sont des multiples de 5.
3. Démontrer que si et ! sont des multiples de 5, alors le couple ; ! n’est pas solution de
l’équation (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?
Exercice 3 :
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 2013.
2) En déduire la décomposition en facteurs premiers de 2013. et de 99 × 2013/
Exercice 4 : Soit un entier naturel non nul.
1) Etablir que l’équation (E) : 14 ² + 7!² = 10+0 où
solutions.
et ! sont des entiers relatifs n’a pas de
2) On considère l’équation notée (F) : 3 ² + 7!² = 10+0 où et ! sont des entiers relatifs.
a) Montrer que 100 ≡ 27.
Démontrer que si ; ! est solution de (F) alors 3 ² ≡ 20 7.
b) Compléter le tableau suivant :
Reste de la division euclidienne de par7
0
Reste de la division euclidienne de
3 ²par7.
1
2
3
4
c) Démontrer que 20 est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7 (on pourra s’aider d’un tableau).
En déduire que l’équation (F) n’admet pas de solution.
5
6
Exercice 5 :
3
3
On considère l’algorithme suivant où 1 2 5 désigne la partie entière de .
4
6et 7 sont des entiers naturels
Saisir 6
7 prend la valeur 1
Tant que 7 ≤ √6
3
3
Si − 1 2 5 = 0alors Afficher 7 et
4
4
Fin si
7prend la valeur 7 + 1
Fin Tant que.
1) Quels résultats affiche cet algorithme pour 6 = 12 ?
2) Que donne cet algorithme dans le cas général ?
3) Interpréter la 5ème ligne de l’algorithme.
4
3
4